基于最大功效積的磁諧振無線電能傳輸系統的PCB線圈優化設計

陳 政 閆 海 毛行奎 蘭石發

（1. 福州大學電氣工程與自動化學院，福州 350108；2. 古田溪水力發電廠，福建 寧德 352000）

將電能進行無線傳輸，是人類一直以來的夢想，自從法國物理學家赫茲發現電磁波后，美籍科學家特斯拉便提出利用電磁波攜帶能量實現無線電能傳輸的構想[1]，多年來國外的一些科學家堅持開展著這項研究，但是進展緩慢[2]，直到2007年MIT的科學家們成功在 1.9m距離外“隔空”點亮一盞 60W的燈泡[3]以來，全世界范圍內掀起了一股研究無線電能傳輸的熱潮[4-5]。

在許多應用場合，對于無線電能傳輸系統的PCB線圈尺寸有一定的限制，因此在有限空間下對其進行優化是很有必要的，文獻[6]提出以最大效率為目標，以強耦合系數為優化函數，對PCB線圈進行優化。但優化后的線圈在效率最優的情況下，功率往往較低。文獻[7]針對磁耦合諧振系統滿足最大輸出功率時效率比較低的情況，提出了功效積指標。

首先，本文通過對磁諧振無線電能傳輸系統進行建模分析，通過分析系統的輸出功率和傳輸效率與負載、互感、頻率之間的關系，得出系統無法實現對同一負載同時兼顧最大輸出功率與最大傳輸效率兩種特性，提出了以功效積為優化函數，優化PCB線圈。之后，運用Mathcad數學軟件作出功效積優化函數隨線圈各參數變化的曲線，通過找這些曲線的最優點初步確定線圈參數。隨后，在此基礎上，采用電磁場有限元分析軟件Ansoft進行仿真優化設計。最后，根據優化結果制作了一組線圈，并對互感和交流電阻進行了測試，驗證了該方法的正確性。

1 系統建模分析

1.1 系統電路模型

圖1所示是四線圈結構的磁諧振無線電能傳輸系統的電路等效模型。根據補償結構的不同，可分為 SSSS、SSSP、PSSS、PSSP[8]，其中，S表示串聯，P表示并聯，其中SSSS型四線圈互感耦合模型如圖1所示，Us是正弦高頻激勵源，Rs為其內阻，L1—L4是各線圈的自感，C1—C4是各線圈的補償電容，R1—R4是各線圈的等效電阻，M12、M23、M34是各線圈間的互感，RL是負載阻抗。

圖1 磁耦合結構互感耦合模型

本文選取 SSSS模型作為分析對象，如圖1所示，各線圈回路的阻抗可表示為

由電路理論[9]可得，各線圈電壓方程為

為了簡化分析，可引入發射阻抗的概念，令Z12、Z23、Z34表示后一級線圈回路反射到前一級線圈回路的阻抗，則各反射阻抗可表示為

系統的輸入阻抗可以表示為

根據圖1可得，系統的輸出功率和傳輸效率：

當系統工作在諧振頻率時，電源線圈和負載線圈為單匝結構，可忽略其交流電阻、交叉互感[9]，各線圈自阻抗和反射阻抗可簡化為

根據電路理論，電源線圈感應到發射線圈的電壓源可以表示為ωM12I1，將負載線圈的阻抗折算到接收線圈，得到圖2所示的兩線圈等效電路模型。

圖2 系統的等效電路模型

根據圖2，由式（2）、式（4）至式（6）可得

1.2 線圈參數對系統傳輸特性的影響

從式（7）可以看出，Po和η 均與ω、RL、收發線圈參數及 M23等因素有關，而互感與傳輸距離 D有關[10]。下面以負載電阻RL對系統傳輸特性的影響為例進行分析。

在進行負載對系統傳輸特性影響的分析中，選擇系統工作頻率 f=4MHz，R2=0.15Ω，R3=0.36Ω，M23=19.6nH，M34=0.45μH，RL=500Ω的傳輸線圈，交流激勵源U21=2V，根據上述公式，借助數學分析軟件Mathcad對磁諧振式無線供電技術的傳輸特性進行分析。

分別對系統的Po與η 求關于R0的一階導數，可得

令0()0Rη′=，可得效率最優負載：

圖3為Po和η 隨R0的變化曲線。由圖3可知，Po和η 無法實現同時達到兩者的最佳值。

圖3 Po、η 與R0的關系曲線

運用上述負載對系統傳輸特性的分析方法，可以得出ω、M23與輸出功率、效率的關系如圖4所示。

圖 4Po、η 與ω、M23的關系曲線

由圖4可知，隨著頻率、互感的增加，系統輸出功率最優時，效率較低，Po和η 不能兼顧。

1.3 SSSS拓撲系統的功效積分析

通過以上分析可得，對于一個系統而言，Po和η 不可兼得。鑒于此，本文應用功效積這個綜合性指標，為系統參數優化提供理論基礎，使系統在滿足輸出功率的情況下，也能實現較高的傳輸效率，定義功效積為輸出功率和傳輸效率的乘積[11]，用符號ψ 表示，由式（7）可得

由式（11），可得功效積隨等效負載 R0的變化曲線，如圖5所示。

圖5 ψ 與R0的關系曲線

由圖5可以看出，功效積存在最優等效負載。令dψ/dR0=0，可得功效積最優負載：

將式（9）、式（12）代入式（7），可得最大效率和最大功效積指標下的Po和η，見表1。

表1 最大效率與最大功效積指標下系統傳輸特性對比

由表 1，可知在最大功效積指標下，傳輸效率降低了4.3%，但功率卻增加了14.7%。綜上所述，以功效積為優化指標，能較好的兼顧輸出功率和傳輸效率。

2 線圈的優化設計

2.1 PCB線圈

圖6為長方形PCB線圈的結構圖。其中，Amax、Bmax為線圈的最大尺寸，Amin、Bmin為線圈的最小尺寸；lw為N匝導體的總長度；w為導體線寬；s為線間距；t為銅厚。

圖6 長方形PCB線圈

由圖6可推導出線圈的幾何關系如下：

線圈優化時需滿足以下約束條件：

1）線圈最大尺寸：A1max=80mm，B1max=100mm，A2max=50mm，B2max=80mm。

2）工作頻率：f=4MHz。

3）傳輸距離：D=130mm。

其中，下標 1、2表示發射線圈和接收線圈，A1min、B1min、A2min、B2min均不得小于零。

2.2 理論優化

交流電阻可根據以下公式近似計算[12]：

式中，σ 為銅的電導率，δ 為趨膚深度；μo為真空磁導率；f為工作頻率；Rdc為線圈的直流電阻。

圖7為單匝線圈互感耦合模型圖，其中圓形線圈的互感可通過下式計算[9]：

式中，r1、r2分別為發射線圈和接收線圈的半徑，D為兩線圈中心間的距離，E(k)、K(k)為具有模數k的第一類和第二類橢圓積分。

圖7 單匝線圈模型

當長方形線圈的面積與圓形線圈的面積相等時，長方形線圈間的互感與圓形線圈間的互感近似相等[14]，故多匝長方形線圈間的互感可通過下式計算：式中，N1、N2為發射和接收線圈的匝數；r1a、r2a為長方形線圈最大尺寸與最小尺寸的等效圓形半徑的平均值。

將式（12）代入功效積表達式（11），可得最優負載下的功效積（以下簡稱最大功效積），再結合交流電阻、互感計算公式以及式（13）所示的線圈各參數之間的幾何關系，可推導出基于PCB線圈參數的最大功效積表達式ψmax（N,w,s,t），以此作為優化函數，運用數學分析軟件 Mathcad，采用單因素法描繪出ψmax隨各優化目標參數的變化曲線。

1）銅厚

先假定 N1=7，w1=3mm，s1=1mm，N2=6，w2=2mm，s2=1mm，設t1=t2=t，作出ψmax與t的關系曲線，如圖8所示。

圖8 ψmax與t的關系曲線

由圖8可得，最大功效積隨銅厚的增加而增加，這是由于隨著銅厚的增加，交流電阻值明顯降低的結果。且在銅厚小于70μm內，功效積增速明顯，而在銅厚大于70μm后增速減緩，考慮性價比，取t1=t2=70μm。

2）線間距

固定 N1=7，w1=3mm，N2=6，w2=2mm，s2=1mm，t1=t2=70μm，ψmax與 s1的關系曲線如圖 9所示，隨線間距的減小最大功效積不斷增大，但這是在忽略了導線之間臨近效應的情況下，實際上隨著線間距的減小，臨近效應的影響會逐漸越大，反而會造成最大功效積減小，所以實際應用中，線間距不宜取的太小，初步取s1=0.5mm。

圖9 ψmax與s1、s2的關系曲線

固定 N1=7，w1=3mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，t1=t2=70μm，ψmax與 s2的關系如圖 9所示。同理，取s2=0.5mm。

3）線圈匝數

固定 w1=3mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，如圖10所示。由圖可知，最大功效積隨著N1的增加而逐漸減少，考慮到實際應用時，線圈自感值不能大小，因此本文取N1=4。

圖10 ψmax與N1、N2的關系曲線

固定 N1=4，w1=3mm，s1=0.5mm，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，由圖10可知，最大功效積在N2=6時取到最大值，因此取N2=6。

4）線寬

固定 N1=4，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，ψmax與 w1的關系曲線如圖 11所示。隨著w1的增加最大功效積逐漸增加，這是因為w1的增加可以有效減小電阻值，但隨著線寬的增加，會帶來渦流損耗的增加，所以實際線寬不宜過大，取w1=4mm。

圖11 ψmax與w1、w2的關系曲線圖

固定 N1=4，w1=4mm，s1=0.5mm，N2=6，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，ψmax與 w2的關系曲線如圖 11所示。由圖可知，最大功效積隨著接收線圈線寬的增加先增加后減小，因此取w2=2mm。

綜上所述，可以確定以最大功效積為目標的PCB線圈理論優化的參數為：N1=4，w1=4mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm。

2.3 仿真優化

交流電阻和互感的計算公式是近似的，偏差比較大，理論優化存在一定的局限性。以下基于電磁場有限元分析軟件ANSYS Maxwell，利用其參數掃描功能對不同參數下線圈的交流電阻值和互感值進行仿真，并將仿真值代入最大功效積表達式，再利用單因素法進行PCB線圈參數的最終優化。

圖12為在Maxwell仿真軟件xyz坐標系下建立的長方形PCB線圈的二維仿真模型。

圖12 長方形PCB線圈二維仿真模型

其中交流電阻值通過渦流損耗計算得到，互感值通過軟件自帶的電感矩陣得到。

1）銅厚

固定 N1=7，w1=3mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm。設 t1=t2=t，對 t進行參數掃描，由仿真結果可得如圖13所示的最大功效積曲線。

考慮到銅厚的性價比，取t=70μm。

圖13 ψmax與t的關系曲線

2）線寬

固定 N1=7，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，對線寬 w1進行參數掃描，由仿真結果可得如圖14所示。由圖可得，當w1=4mm時，最大功效積取得最大值，因此取w1=4mm。

固定 N1=7，w1=4mm，s1=0.5mm，N2=6，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，對線寬w2進行參數掃描，由仿真結果可得如圖14所示。同理，取w2=2mm。

圖14 ψmax與w1、w2的關系曲線

3）線圈匝數

固定 w1=4mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，將發射線圈匝數由 1匝增加到7匝，由仿真結果可得如圖15所示的最大功效積曲線。考慮實際情況下，匝數不能太小，因此取N1=4。

圖15 ψmax與N1、N2的關系曲線

固定 N1=4，w1=4mm，s1=0.5mm，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，接收線圈匝數進行變化，由仿真結果可得如圖15所示的曲線。由圖可得，當N2=6時，最大功效積取得最大值，因此取N2=6。

4）線間距

固定 N1=4，w1=4mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，對線寬 s1進行參數掃描，由仿真結果如圖16所示。由圖可得，當s1超過2mm時，最大功效積基本不增加，因此取s1=2mm。

圖16 ψmax與s1、s2的關系曲線

固定 N1=4，s1=2mm，w1=4mm，N2=6，w2=2mm，t1=t2=70μm，對線寬 s2進行參數掃描，由仿真結果如圖16所示。由圖可知，當s2=0.5mm時，最大功效積取到最值，因此取s2=0.5mm。

綜上所述，可以確定以最大功效積為目標的PCB線圈仿真優化的參數為：N1=4，w1=4mm，s1=2mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm。

3 線圈制作與測試

根據上述優化方法，制作了兩組線圈，理論優化線圈實物如圖17所示。

圖17 理論優化的線圈實物

采用阻抗分析儀在4MHz頻率下測得線圈的交流電阻見表 2（阻抗分析儀的型號為 WK-6520A，最高測試頻率為 15MHz）。根據表格 2中的線圈參數值，可以看出電阻的仿真值與計算值很相近，電阻的計算值與實測值有一些誤差，導致誤差的原因可能有：①測量探頭的接觸電阻而帶來的附加電阻；實測時周圍難免有導體和導磁體，比如阻抗分析儀的外殼就為金屬物；②線圈導體的銅厚未達到設計值的要求。減小該誤差的方法：①采用測量精度更高的阻抗分析儀；②搭建輔助電路，以測量線圈的交流損耗，最后計算出更準確的交流電阻值。

表2 線圈的交流電阻

根據反射阻抗的式（7），通過阻抗分析儀測得發射線圈阻抗實部的最大值，可間接得到發射和接收線圈的互感值，見表 3，互感的計算值和實測值是很接近的。

表3 不同距離下線圈之間的互感

再根據仿真分析優化的結果，制作的線圈實物圖如圖18所示。

圖18 仿真優化的線圈實物

按照上述測試方法，得到表4所示的交流電阻和表5所示的互感值。具體分析過程和上述一樣。

表4 線圈的交流電阻

表5 不同距離下線圈之間的互感

根據表2和表4，得出實測值與計算值的誤差、仿真值與計算值的誤差，見表 6（表格里前一個數是表2的，后一個是表4的），計算與仿真的誤差很小，說明仿真用的模型較準確，計算公式較精準。計算、仿真值與實測值之間的誤差主要是由測量誤差導致的。

表6 誤差對比

4 結論

本文通過對四線圈結構的磁諧振無線傳輸系統進行建模分析，得出了影響系統傳輸效率和輸出功率的因素，以線圈的參數為變量對系統傳輸特性進行分析，發現Po和η 無法實現同時達到兩者的最佳值。因此，本文以最大功效積為優化目標，提出了一種在有限尺寸空間下的PCB線圈優化設計方法。通過理論和仿真的優化方法，尋找最優功效積下的線圈各參數，最后，根據優化結果，制作了兩組線圈，分別對兩組線圈的互感和交流電阻進行了測試。測試結果與理論計算和仿真結果基本一致，從而驗證了所提方法的可行性與正確性。

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