線性代數(shù)微課教學(xué)設(shè)計(jì)研究
——以逆矩陣的定義教學(xué)為例

馮艷剛

（1.阜陽(yáng)師范學(xué)院 商學(xué)院；2.區(qū)域物流規(guī)劃與現(xiàn)代物流工程安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 阜陽(yáng) 236037）

1 引言

近年來(lái)，隨著“全國(guó)高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競(jìng)賽”活動(dòng)的成功舉辦，“微課”這一概念越來(lái)越深入人心[1].作為信息技術(shù)與教學(xué)改革不斷深化融合的一個(gè)重要產(chǎn)物，微課在一定程度上顛覆了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，給人耳目一新的感覺(jué)[2].因此，微課概念一經(jīng)提出，就受到業(yè)界學(xué)者的普遍關(guān)注，并迅速在全國(guó)高校推廣開(kāi)來(lái).接下來(lái)，我們首先分析微課的特點(diǎn)，然后以《線性代數(shù)》課程中逆矩陣的定義為例，研究微課的教學(xué)設(shè)計(jì)問(wèn)題.

2 微課的特點(diǎn)

微課（Micro Lessons），也叫微課程，是相對(duì)于常規(guī)課程來(lái)說(shuō)的一種微小課程[3]，用以講授單一知識(shí)點(diǎn)或突破某個(gè)教學(xué)問(wèn)題.微課通常由簡(jiǎn)短的微課視頻及與之相配套的其它教學(xué)資源組成，它既是教師課堂上的授課素材，也是學(xué)生進(jìn)行課前預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)的重要資料.作為一種現(xiàn)代化的教育形式，微課在推動(dòng)移動(dòng)學(xué)習(xí)和在線學(xué)習(xí)方面發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用[4].同常規(guī)課程相比，微課具有以下特點(diǎn)：

2.1 微課具有“微”的特點(diǎn)

這里的“微”具有以下幾層含義：（1）課程時(shí)間短.微課的講解時(shí)間較短，通常以8—10分鐘為宜，這同傳統(tǒng)的40或45分鐘為一節(jié)課的教學(xué)課例有著顯著的區(qū)別；（2）講授的知識(shí)點(diǎn)少.微課的主要目的是為了突出課堂教學(xué)中某個(gè)學(xué)科知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，通常只講授一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、一個(gè)重難點(diǎn)或易錯(cuò)點(diǎn)；（3）占用資源較少.從資源的容量上來(lái)說(shuō)，“微課”視頻及配套輔助材料所占流量一般在幾十兆左右，學(xué)習(xí)者可以流暢地在線觀摩課例，查看教案、課件等輔助材料；（4）教學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔，內(nèi)容精致.由于微課的時(shí)間比較短，因此在語(yǔ)言的組織上要力求簡(jiǎn)潔，在知識(shí)要點(diǎn)的設(shè)計(jì)上要精致巧妙，達(dá)到“多一分則過(guò)，少一分則缺”的效果.

2.2 微課也是課

微課雖然只是一個(gè)短小的視頻，但它仍然具有教學(xué)環(huán)節(jié)的完整性，正所謂“麻雀雖小，五臟俱全”.就一個(gè)知識(shí)點(diǎn)而言，微課的設(shè)計(jì)仍然要包括教師課堂教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程，要有導(dǎo)入、講授和總結(jié)等環(huán)節(jié)[6].

針對(duì)微課的以上特點(diǎn)，教師在進(jìn)行微課設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)注意教學(xué)內(nèi)容的選擇和各教學(xué)環(huán)節(jié)的巧妙設(shè)計(jì).以下我們以《線性代數(shù)》課程中逆矩陣的定義為例，研究微課的教學(xué)設(shè)計(jì)問(wèn)題.

3 逆矩陣的定義微課教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 設(shè)計(jì)思路

線性代數(shù)知識(shí)雖然應(yīng)用廣泛，但是具有一定的抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中常會(huì)產(chǎn)生“學(xué)習(xí)線性代數(shù)到底有什么用”的疑問(wèn).針對(duì)這一問(wèn)題，我們的具體設(shè)計(jì)思路如下：首先讓學(xué)生觀看一段視頻，引入矩陣?yán)碚撛诿艽a學(xué)中的應(yīng)用，告訴學(xué)生線性代數(shù)知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題中所起的重要作用.設(shè)置懸念：加密的電文如何解密？其次將矩陣之間的乘法運(yùn)算與數(shù)與數(shù)之間的乘法運(yùn)算進(jìn)行類比，引入本節(jié)課要介紹的逆矩陣的概念；再次提醒學(xué)生在理解逆矩陣概念時(shí)需要注意的一些地方；最后回答本節(jié)課一開(kāi)始提出的電文解密問(wèn)題.

3.2 教學(xué)過(guò)程

3.2.1 問(wèn)題導(dǎo)入

先播放電視劇《永不消逝的電波》中解密電文的一個(gè)場(chǎng)景，視頻播放完畢后教師講解：剛才我們看到的這段視頻是來(lái)自電視劇《永不消逝的電波》中解密電文的一個(gè)片段，在我們觀看一些戰(zhàn)爭(zhēng)題材的影視劇時(shí)，經(jīng)常可以看到這樣的場(chǎng)景.發(fā)送電文時(shí)，為了保密起見(jiàn)，通常會(huì)對(duì)電文進(jìn)行加密.當(dāng)接收方接收到加密的電文后需要對(duì)其進(jìn)行解密，才能了解電文的真正意思.那么電文的加密和解密工作是如何進(jìn)行的呢？

教師繼續(xù)講解：在密碼學(xué)中，有一種加密方法，將26個(gè)英文字母和26個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字一一對(duì)應(yīng).當(dāng)要發(fā)送電文時(shí)，先要把電文轉(zhuǎn)換成數(shù)字.比如要發(fā)送一份內(nèi)容為“ABC”的電文時(shí)（我們稱之為明文），先要把它轉(zhuǎn)換成數(shù)字1、2、3，我們把它用矩陣X=(1,2,3)T來(lái)表示.然后對(duì)X進(jìn)行加密，加密的方法是在X的左側(cè)乘以矩陣A，這里的矩陣A稱為加密矩陣.如果令A(yù)=，記 Y=AX=(6,5,4)T，Y就是加密了的電文.Y對(duì)應(yīng)的字母為“FED”，當(dāng)接收方接收到加密電文后，如何對(duì)其解密呢？

通過(guò)對(duì)如何破解加密電文問(wèn)題的引入，可以吸引學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.此時(shí)教師可以和學(xué)生開(kāi)玩笑說(shuō)：“想成為密碼大師嗎？今天就讓我們來(lái)學(xué)習(xí)如何利用逆矩陣破解加密電文.”

3.2.2 對(duì)逆矩陣定義的講解

大家都知道，在數(shù)的乘法運(yùn)算中，對(duì)于給定的數(shù)a，如果存在數(shù)b，使得ab=ba=1，則稱b是a的倒數(shù)，將其記為b=或a-1，這里要求a≠0.在矩陣的乘法運(yùn)算中，單位矩陣所起的作用與數(shù)與數(shù)之間的乘法運(yùn)算中數(shù)字1所起的作用類似.對(duì)于給定的矩陣A，是否存在一個(gè)矩陣B，使得AB=BA=E？

如果存在，該如何來(lái)定義矩陣B呢？我們來(lái)看下面的定義：

定義 對(duì)于n階矩陣A，如果有一個(gè)n階矩陣B，使得AB=BA=E，則稱矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為是A的逆矩陣，記作B=A-1.

針對(duì)學(xué)生在理解逆矩陣概念時(shí)可能存在的一些誤區(qū)，設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的嗎？

分析：事實(shí)上，若B和C都是A的逆矩陣，則有AB=BA=E，AC=CA=E，根據(jù)矩陣乘法運(yùn)算的結(jié)合律可得：B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C,所以A的逆矩陣是唯一的.

問(wèn)題2：可逆矩陣及其逆矩陣一定是方陣嗎？

分析：AB是以A的行數(shù)為行數(shù)B的列數(shù)為列數(shù)的矩陣，BA是以B的行數(shù)為行數(shù)A的列數(shù)為列數(shù)的矩陣，由AB=BA=E可知，A與B是同階方陣.

問(wèn)題3：若B是A的逆矩陣，那么A是B的逆矩陣嗎？

分析：由逆矩陣的定義可以看出，若B是A的逆矩陣，則A也是B的逆矩陣，即A和B互為對(duì)方的逆矩陣.

問(wèn)題4：零矩陣是可逆矩陣嗎？單位矩陣呢？

分析：由于零矩陣與任意矩陣相乘（乘法能夠進(jìn)行）其結(jié)果都等于零矩陣，所以零矩陣不可逆.而單位矩陣與單位矩陣相乘，結(jié)果還是單位矩陣，所以單位矩陣的逆是它本身，即E-1=E.問(wèn)題5：A-1能不能寫成？

分析：A-1是我們對(duì)可逆矩陣A的逆矩陣的習(xí)慣記法，大家不要將其寫成.

在講授完逆矩陣的概念及理解這一概念應(yīng)注意的一些問(wèn)題后，再將話題轉(zhuǎn)到一開(kāi)始提出的如何破解加密電文的問(wèn)題上.原來(lái)，電文在加密時(shí)所用的加密矩陣A是一個(gè)可逆矩陣，我們先求出A的逆矩陣，再用A-1同時(shí)左乘以Y=AX兩端可得這樣，就完成了電文的解密工作.所以，雙方只需要事先約定好加密矩陣A，當(dāng)接收方接收到加密電文時(shí)，利用A-1就可以對(duì)其進(jìn)行解密.這樣既回答了一開(kāi)始提出的問(wèn)題，又可以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力：數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，又應(yīng)用于實(shí)踐.

3.3 對(duì)微課內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)

幫助學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，再次強(qiáng)調(diào)理解逆矩陣概念時(shí)應(yīng)注意的一些問(wèn)題.告訴學(xué)生，可逆矩陣是矩陣?yán)碚撝蟹浅Ｖ匾囊徊糠謨?nèi)容，除了可用于密碼學(xué)中，在其它科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用，要求學(xué)生課后查閱資料，了解可逆矩陣在其它方面的一些應(yīng)用.

4 結(jié)語(yǔ)

線性代數(shù)雖然是一門理論課程，但其應(yīng)用范圍十分廣泛，許多教學(xué)內(nèi)容都可以仿此進(jìn)行微課設(shè)計(jì)，即先從實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題出發(fā)引入新課，然后講解新知識(shí)，最后運(yùn)用新知識(shí)解決一開(kāi)始提出的問(wèn)題.這樣的微課設(shè)計(jì)，能夠讓學(xué)生在掌握新知識(shí)的同時(shí)，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，并能在很大程度上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

不可否認(rèn)，在具體的教學(xué)過(guò)程中，針對(duì)不同的授課內(nèi)容可以運(yùn)用不同的授課方法[7]，但無(wú)論運(yùn)用哪種授課方法，適當(dāng)結(jié)合微課進(jìn)行教學(xué)都非常必要，而為了使微課能夠達(dá)到理想的教學(xué)效果，則需要認(rèn)真地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)合理巧妙、生動(dòng)有趣的微課在《線性代數(shù)》課程教學(xué)中必將起到事半功倍的效果.