基于粗糙齒面的漸開線齒輪齒面接觸剛度建模

畢舒心 劉志峰 張 濤 趙永勝

漸開線齒輪傳動是以主動輪的輪齒依次推動從動輪的輪齒來連續傳動的，是現代機械中應用十分廣泛的一種傳動形式。它具有傳動效率高、傳動比準確、結構緊湊、工作可靠和壽命長等優點。漸開線齒輪的扭轉剛度研究是動力學研究的基礎。傳統的扭轉模型均基于光滑接觸表面的赫茲接觸理論，所建立的模型多是理想接觸模型[1]。為了準確計算粗糙齒面形貌對齒輪接觸剛度的影響，部分學者提出了基于分形理論的齒輪接觸剛度模型[2]。本文從動力學建模的角度為齒輪齒面參數的設計和加工方式的選擇提供了理論依據。

1 基于分形理論的漸開線齒輪扭轉剛度建模

漸開線齒輪表面為機加工粗糙表面，研究表明，機加工表面可用W-M函數進行表征，主要表征參數包括分形維數D與表面粗糙度參數G，具有尺度獨立性，不受儀器分辨率與取樣長度的影響。粗糙齒面的輪廓可以用W-M函數表示。

在齒輪對的接觸模型中，兩個粗糙表面的接觸被簡化為一個剛性表面與粗糙表面的接觸，如圖1所示。虛線是中性面，表示理想光滑齒輪對的接觸位置，將中性面的上方的粗糙表面凸出的部分定義為微凸體。粗糙表面是由無數多個大小不一的圓形微凸體組成，假設每個微凸體之間彼此分立，相互作用忽略不計。

圖1 W-M函數表征的粗糙齒面接觸

當粗糙表面與剛性表面相互接觸時，不同微凸體在壓力的作用下發生彈性或塑性形變，則微凸體橫截面積a′的分布規律滿足：

式中，a′為微凸體變性前與剛性表面相交的橫截面積，a表示微凸體變形后與剛性面的接觸面積定義為真實接觸面積，當微凸體發生彈性變形時，a′=2a，當發生塑性形變時，a′=a，D表示分形維數，a′l表示最大橫截面積，φ表示域拓展因子，可由超越方程（3）求得：

對于單個微凸體，其變形分為完全彈性變形及完全塑性變形兩個階段，其中塑性變形階段剛度為0。根據剛度定義，發生完全彈性變形的單個微凸體法向接觸剛度可表示為：

因此，通過在完全彈性區域進行積分，得到單個正方形網格內法向接觸剛度為：

在漸開線齒輪傳動過程中，單個齒面的法向接觸剛度可表示為：

2 實例計算與仿真

為了分形維數D對漸開線齒輪接觸扭轉剛度的影響規律，基于有限元法和分形理論基礎計算如表1所示參數的漸開線齒輪對的接觸扭轉剛度模型，漸開線齒對的輸入扭矩為100NM。采用Creo軟件構建漸開線齒輪對的三維模型，并導入Ansys Workbench中計算不同載荷下的接觸應力，觸壓力計算結果如圖2所示。

表1 漸開線齒輪對的參數模型

漸開線齒輪在傳動過程中接觸和扭轉剛度是周期函數，因此只需要研究一個周期內接觸剛度和扭轉剛度的變化規律即可。在主動輪旋轉的0°～18°范圍內，間隔1.8°提取漸開線齒對的瞬時接觸壓力，將計算結果帶入式（1）～式（6）即可得到漸開線齒輪一個周期內的齒面接觸剛度曲線。為了研究不同齒面參數對接觸剛度的影響規律，在固定齒面粗糙度參數G等于2.5723e-10的情況下，分別設定分形維數D為2.36、2.38、2.40和2.42，如圖2所示。

圖2 分形維數D對齒面接觸剛度的影響規律

3 結論

采用有限元法和分形理論建立了漸開線齒輪齒面接觸剛度模型，并研究了分形維數D對接觸剛度的影響規律。當輸入扭矩和粗糙度系數G不變的情況下，齒面接觸剛度隨分形維數D的增大而增大，且在單齒和多齒嚙合轉化過程中接觸剛度存在突變。

[1]張永棟，謝小鵬，廖錢生，等.基于有限元方法的齒輪接觸仿真分析[J].潤滑與密封，2009，34（1）：49-51.

[2]陳奇，趙韓，黃康，等.分形理論在齒輪接觸應力分析中的應用研究[J].中國機械工程，2010，（9）：1014-1017.