變量核Marcinkiewicz積分交換子在弱Herz空間上的有界性

邵旭馗，王素萍

(隴東學院 數學與統計學院，甘肅 慶陽 745000)

記Sn-1為Rn(n≥2)中的單位球面，其上裝備了Lebesgue 測度dσ=dσ(z′).設定義在Rn×Rn上的函數Ω(x,z)∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)(r≥1), 滿足

(1)

其中

?z∈Rn{0}.

設Ω滿足條件

Ω(x,λz)=Ω(x,z),?x,z∈Rn,?λ>0,

(2)

稱函數f(x)∈Lipν(Rn)，如果滿足

(3)

定義Marcinkiewicz積分μΩ如下

(4)

Stein[1]首次定義了Marcinkiewicz積分μΩ，得到當Ω∈Lip(Rn)時μΩ的(p,p)有界性;Torchinsky等[2]又證明了μΩ與函數b∈BMO(Rn)的交換子μΩ,b加權有界性.其中

(5)

王婭昕[3]研究了b∈Lipβ(Rn)時交換子μΩ,b的有界性;Mo等[4]進一步考慮了多線性的情形.

(6)

先給出一些定義與記號：設k∈Z, 令Bk=B(0,2k)={x∈Rn:|x|≤2k},Ck=BkBk-1，并記χk=χCk為集Ck的特征函數.

(7)

其中

(8)

(9)

其中：S′(Rn)表示Rn上的緩增廣義函數空間，G(f)是f的Grand極大函數.

定義4[15]設α∈R,1

suppα?B(0,r)={x∈Rn:|x|≤r}，

定理1設Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1)滿足(2)式，α∈R,b∈Lipβ(Rn)，其中

1 定理的證明

并且有

其中：上式中下確界是在f的所有分解上取得.

引理2設

如果Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1)，b∈Lipβ(Rn)，有

引理2的證明參見文[3].

引理3設b∈Lipβ(Rn),0≤β<1,有

其中

證明

≤

當0

當p>1時,由α∈R,有

因此

以下估計I1,因為

所以，有

由x∈Ck,有

由于x∈Ck，y∈Bj,且j≤k-3,故|x-y|～|x|～|x|+2j+1.由H?lder不等式、Minkowski不等式及αj的性質,有

對x∈Ck，y∈Bj,且j≤k-3,Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1),0<ν≤1,有

可得

對于E2,由于x∈Ck，y∈Bj,且j≤k-3,又因為Ω(x,y)∈L∞(Rn)×Lipν(Sn-1),應用Minkowski不等式可得

其中

因此對任意的x∈Ck,有

對任意的λ>0，設K0是滿足下列條件的最大正整數,有

故對任意的k>K0,有

因此,有

綜合E1,E2的估計,可得

故可得

至此,定理1證畢.

參考文獻：

[1] STEIN E M. On the functions of littlewood-paley[J]. Trans Amer Soc, 1958, 88: 430-466.

[2] TORCHINSKY A, WANG S. A note on the Marcinkiewicz integral[J]. Colloquium Math, 1990, 60/61: 235-243.

[3] 王婭昕. 關于Marcinkiewicz積分交換子的一點注記[J]. 浙江大學學報 (理學版), 2003, 30 (6): 606-608.

[4] MO H X, LU S Z. Boundedness of generalized higher commutators of Marcinkiewicz integrals[[J]. Acta Math Scientia, 2007, 27B (4): 852-866.

[5] 邵旭馗, 陶雙平. 帶變量核的Marcinkiewicz積分交換子的加權Lipschitz估計[J]. 系統科學與數學， 2012, 37 (2): 915-921.

[6] 邵旭馗， 王素萍. 帶變量核的分數次積分交換子在加權Morrey-Herz空間的有界性[J]. 應用數學學報, 2014, 37 (3): 497-506.

[7] XUE Q Y, YABUTAK A.L2-Boundedness of Marcinkiewicz integrals along surfaces with variable kernels[J]. Journal of Inequalities and Applications, 2007: 1-14.

[8] 王素萍， 邵旭馗. 變量核Marcinkiewicz積分交換子在齊次Morrey-Herz空間中的有界性[J]. 系統科學與數學， 2013, 33 (12): 1498-1506.

[9] 邵旭馗, 王素萍. 帶變量核的分數次積分算子在加權Morrey空間上的有界性[J]. 安徽大學學報 (自然科學版)， 2015, 39 (1): 21-24.

[10] 王素萍, 岳曉紅, 邵旭……