通脹環境下基于CEV模型的最優再保險-投資問題

，，

(安徽工程大學 數理學院，安徽 蕪湖 241000)

再保險可以幫助商避免潛在的巨大損失，而投資能使保險公司實現其管理目標．因此再保險-投資對保險商來說是兩個重要的問題．保險市場中的再保險-投資問題越來越引起學者們的重視，關于此類問題的研究也越來越多.Browne[1]最先研究了Lundberg風險模型，給出了保險商終端財富的指數效用最大化和破產概率的最小化．Bauerle[2]首次提到了“比例再保險”這一再保險名詞，并且很好地解決了相關的均值-方差問題.Wang[3]等在均值-方差準則以及常彈性絕對風險厭惡(CRRA)效用情形下有效地運用鞅方法研究了最優投資組合問題．Hipp[4]等,Promislow[5]等研究了最優再保險和投資問題，以及怎樣來降低保險人破產的概率．Liang[6]等在一個不可測的馬爾可夫調制的復合Poisson風險模型中討論了最優再保險與投資問題．之后，Lin[7]等和Gu[8]等分別應用常方差彈性模型(CEV)來研究最優比例再保險跳擴散風險過程．Li[9]等在均值-方差準則下開始使用Heston模型來研究最優比例再保險和投資問題．在Heston模型下的跳-擴散風險過程，Zhao[10]等考慮了保險商最優超額賠損再保險以及投資問題．基于Heston模型下的默認市場，Zhu[11]等討論了保險商最優再保險和投資問題．

以上諸多問題的研究中并未考慮通貨膨脹情形，而真實市場環境下通脹對投資決策起到了一定的作用.通貨膨脹是指在一段給定的時間內，給定經濟體中的物價水平普遍持續增長，從而造成貨幣購買力的持續下降.現如今，通貨膨脹已經存在于生活的方方面面，會直接影響投資者投資消費.Munk[12]等考慮了通脹環境下，一個可投資于現金、名義債券和股票的冪效用投資者的最優資產配置問題.Kwak[13]等在通脹環境下，運用鞅方法給出了一個家庭的最優消費、投資和人壽保險決策.Guan[14]等利用CARA效用函數考慮了通脹的最優再保險和投資策略.國內學者的許多文章也考慮了通脹對投資組合的影響.費為銀[15]等在Knight不確定和通脹環境下研究了最優投資消費問題，考慮了消費投資中通脹波動率的影響.

在Gu[8]等的基礎上進行推廣，利用楊鵬[16]折現的方法引入了通脹因素，考慮通脹環境下保險商最優再保險-投資問題.運用動態規劃原理，通過求解HJB方程，獲得值函數的解析解以及關于保險商的最優再保險-投資策略．將綜合考慮通貨膨脹環境下基于CEV模型的最優再保險-投資策略問題，最后使用Matlab軟件進行數值模擬，分析通脹波動率等參數對最優再保險-投資的影響.

1 模型建立

1.1再保險市場

根據經典的Cramér-Lundberg模型，保險商在時刻t的盈余水平用P(t)表示：

(1)

通過期望值原理可知，c=(1+η)λμ∞,其中η>0是相關的再保險安全負荷系數.

其中，保費率:

這里θ表示再保險商的安全負荷系數，為了再保險市場無套利，要求θ>η.根據Grandell[17]可知，盈余水平P(a)可近似表示為：

(2)

其中W0(t)是標準布朗運動.

考慮超額賠損再保險：

dR(a)(t)=[θμ(a(t))+(η-θ)μ∞]dt+σ(a(t))dW0(t).

(3)

1.2 金融市場

假設金融市場中存在以下兩種資產.

無風險資產B(t)價格方程滿足：

dB(t)=RB(t)dt,

其中R是確定性的無風險利率.

風險資產S(t)價格方程滿足以下CEV模型：

dS(t)=μsS(t)dt+σsS(t)β+1dW(t),

其中μs(μs>R)是風險資產平均收益率，σsS(t)β+1表示一個瞬時波動率.

假設通脹變化率滿足：

dL(t)=L(t)[μpdt+σpdW(t)].

其中,μp,σp分別表示通貨膨脹率的預期增長率和預期波動率.

μp-σpσsSβ)dt+(SβσS-σP)dW(t)].

假設保險商在上述通貨膨脹影響下進行投資，其中在t時刻投資在風險資產的現金流為π(t)，于是保險商的盈余過程滿足下面的隨機微分方程：

2 最優再保險-投資策略

在上述模型的基礎上，以財富期望效用最大化為目標，尋求最優再保險-投資策略.假設收益函數為：

Hπ(t,x,s1)=E[u(X(T))|X(t)=x,S1(t)=s1,L(t)=l],

H(t,x,s1)=supHπ(t,x,s1,l),

目標是最優策略π*∈π使H(t,x,s1,l)=Hπ*(t,x,s1,l).

設保險商財富效用采用冪效用函數：

(4)

其中γ為冪效用下的風險厭惡因子.

易知該問題的HJB方程為：

(5)

由一階條件可得：

(6)

(7)

將式(6)，式(7)代入式(5)整理得：

(8)

考慮冪效用函數式(4)，可設

(9)

此時式(9)各偏導如下：

將以上得到的各偏導代入式(8)可得：

(10)

消除式(10)中對x的依賴，得到：

(11)

假設式(11)解的結構：

f(t,s1,l)=u(t,s1,l)1-γ,u(T,s1,l)=1.

(12)

則式(12)各類偏導如下：

(13)

將式(13)代入式(11)得：

(14)

令式(14)大括號里算式等于0，則可得到關于u(t,s1,l)的微分方程：

(15)

假設式(15)形式如下：

u(t,s1,l)=exp{A(t)+B(t)s1+C(t)l}.

(16)

邊界條件A(t)=0,B(T)=1,C(T)=1.則式(16)各偏導如下：

us1s1=B2(t)u,ul=C(t)u,ull=C2(t)u,us1l=B(t)C(t)u.

(17)

將式(17)代入到式(15)中，得到：

(18)

消除式(18)中關于s1,l的影響，可以得到如下3個方程：

求解以上3個等式可得：

其中，

最后，得到最優再保險投資策略為：

3 數值模擬

為了更好地分析財富水平和通脹因素對最優再保險和投資的影響，利用MATLAB進行了數值模擬，并對所得最優策略進行分析.盈余水平波動率對最優再保險策略的影響如圖1所示．圖1中參數為：θ=0.1,γ=0.3,x=1.圖1是由兩種不同的線組成，這是考慮了在其他參數不變的情況下，僅僅考慮盈余水平波動率的改變，造成的最優再保險策略的變化．由圖1可知，再保險策略隨著系數σ的增加而減小，對保險商來說就存在更低的保險風險，因為保險商將更多的風險轉移給再保險商來得到最優的一個財富.

安全系數θ對最優再保險策略的影響如圖2所示.圖2中參數為：θ=0.1,γ=0.3,σ=0.15,x=1.θ意味著對沖保險風險的成本，θ越高，保險商所用來對沖保險風險的成本就越高，θ越大，再保險公司的保費收入越大，即保險公司進行更多的再保險，也就是進行更多的再保險策略.所以再保險策略和再保險商安全系數θ之間是正相關的.

圖1 盈余水平波動率對最優再保險策略的影響圖2 安全系數θ對最優再保險策略的影響

圖3 通脹系數對最優投資策略的影響

4 小結

在通脹環境下，對保險商的風險資產進行通脹折現，并給出了財富過程的動力學方程，建立了相應的HJB方程.通過求解方程，獲得值函數的解析解和最優再保險-投資策略；最后，通過數值模擬給出通脹對最優投資的影響. 研究所得結果和相應分析為保險商在金融市場中再保險-投資提供一定的理論指導．

在現有工作的基礎上考慮通脹對保險商最優再保險投資策略的影響，保險商可以投資于風險資產和無風險資產，投資更加多樣化.在進行討論時并沒有考慮交易費用和稅收等摩擦成本，后面將進一步討論帶摩擦成本情況下保險商最優再保險-投資問題.

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