CNC系統NURBS直接插補的應用研究

趙曉運，霍亞光，宋緒丁

（1.長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，西安 710064；2.臺州學院 機械工程學院，臺州 318000；3.長安大學 現代工程訓練中心，西安 710064）

0 引言

在現代制造的數控加工領域，CNC系統NURBS直接插補技術，無論是在三軸還是在多軸系統加工中，都受到了廣泛的重視和深入研究與發展[1～16]。隨著社會和科學技術的進步，人們對各種各樣產品的性能和外觀等要求日益增高，對曲面設計尤其是復雜曲面已逐漸過渡到了用NURBS參數形式統一表示[16～20]。而伴隨著數控加工過程的高速、高精和高效的要求，NURBS直接插補技術不僅日益凸顯重要，而且是現代高端數控系統的一個重要發展方向[1,7,10～14]。CNC系統插補的實質是根據有限的輸入信息，實時完成數據點的密化工作，從而使刀具按給定精度沿著規定的軌跡運動。插補技術是CNC系統的核心，各種輪廓加工均是通過插補技術來實現的。常規的CNC數控系統只包含直線插補和圓弧插補功能，對于復雜的不規則的曲面，一般由CAD/CAM系統生成符合精度要求的刀具路徑，其實質是將加工對象離散成大量的直線或圓弧段，然后再將數據輸入CNC系統，由數控系統執行直線插補或圓弧插補實現逼近加工。理論和經驗證明[3,6～8,14]，采用基本的直線和圓弧插補方式，在面對非圓曲線曲面加工時，其主要不足有：加工質量和精度不高，程序量過大，加工效率偏低，因而不能適應現代工業高精、高速和高效的發展要求。為了彌補上述不足，人們研究發展了參數曲線直接插補方式[8,10,21～22]。在參數曲線中，樣條曲線由于其良好的幾何特性，受到了廣泛的研究和發展。基于樣條理論而發展起來的NURBS曲線，其特點是節點之間不等距，并用有理分式表達B樣條曲線，吸納了B樣條曲線和貝齊爾曲線的幾何形狀特點，具有分段表示和整體連續等優良特性。目前，對于可以統一表達初等解析曲線和其它不規則的自由型曲線的NURBS曲線，由于其既可以較好地保留曲線的幾何特性，又具有良好的操控性等，得到了較高的重視和發展。樣條插補是指在數控程序編程時，采用參數曲線描述加工軌跡曲線，將包含曲線信息的數控加工程序輸送至數控系統，由數控系統進行數據處理和曲線插補工作[14]。NURBS直接插補是基于樣條插補的思想演化而來的，也就是說，在數控編程時，直接用NURBS曲線的描述參數進行數控加工軌跡描述，曲線的插補工作由數控裝置直接計算完成，其實質是，基于參數變化，求出相鄰兩坐標之間的增量值，然后，通過坐標軸移動來實現插補折線，用于逼近目標曲線。NURBS插補可以使數控機床切削運動，嚴格按照理論NURBS曲線運動[4,23]，其主要優點有：加工精度高，刀軌光順性好，程序量小，能適應高速、高精和高效加工等，其研究成果在不少高檔數控機床上得到了應用。

本文基于NURBS基本理論，分析了NURBS插補的過程和實現方式，并通過實例，在所選定的機床上進行了加工測試，驗證了NURBS插補方式的優良性，對工程編程實踐具有指導意義。

1 NURBS曲線的參數表達

一條k次NURBS曲線可以表示為一分段的有理多項式矢函數：

工程應用中多為已知型值點條件，要求根據型值點數據構建NURBS曲線，即曲線反求。在反求過程中，首先構造節點矢量，不同的參數化形式對節點矢量的構造有著較大的影響。常用的參數化形式[19，25]有：均勻參數化、積累弦長參數化、向心參數化和修正弦長參數化。當參數化和權因子確定后，NURBS曲線坐標值計算的關鍵核心問題是控制頂點的反求。控制頂點的反求，可以利用遞推定義的遞推公式，求出所有k次B樣條的表達式，然后，再利用所選參數化形式所確定的參數值與型值點的對應值關系，列出矩陣方程，求出控制頂點。由B樣條遞推定義可知，隨著曲線次數的升高，B樣條計算的冪次也將上升，將給數值計算帶來較嚴重的波動。實際應用中，常采用仿射變換直線段長度比不變原理所得到的矩陣表達式[18,25]計算控制頂點，該方法計算穩定，累積誤差不敏感。

其中：

當節點矢量、權因子和控制頂點這三個參數完全確定下來之后，便可根據NURBS曲線方程表達式進行數據計算，并進行曲線插補工作。

2 NURBS曲線插補

根據NURBS曲線的理論知識可知，當曲線的階次確定后，該NURBS曲線可由其節點矢量、權因子矢量和控制頂點三組基本參數唯一確定。數據點參數化形式，不僅決定了節點矢量的構建，也決定了控制頂點的反求和坐標點迭代運算的性質。NURBS曲線插補，就是根據當前插補點的參數，按照給定的條件，求出下一個插補點的參數，然后由NURBS曲線坐標方程，計算出下一個插補點坐標，進而由數控裝置將坐標數據傳送給驅動器，對機床進行運動控制，實現工件輪廓加工。

NURBS插補代碼格式的特點是將NURBS曲線三個參數（節點矢量、權因子矢量和控制頂點）作為NC程序指令的組成部分。NURBS技術在CAD/CAM領域已經取得較為成熟的應用，但在CNC系統領域仍然相對滯后。常用的方法是，在CAD中采用NURBS曲線曲面構造出零件幾何模型，然后在CAM中進行數控編程時，將零件的幾何模型轉化為含有NURBS插補代碼的NC文件，最后，數控系統能夠直接識別這些代碼并進行NURBS插補運算。現行的三坐標NURBS插補指令，仍未形成統一的標準格式[10]。不少廠商如SIEMENS、FANUC等都開發出自己的帶NURBS插補功能的CNC系統，但不同供應商的數控系統提供的NURBS插補指令G代碼不盡相同，比較典型的G代碼格式是，由G06.2作為NURBS插補開始的標志，數控裝置讀入三組NURBS刀心點數據，通過運算實現NURBS插補工作。本文選用現有的FANUC立式數控加工中心進行加工，其FANUC數控系統的NURBS插補功能代碼格式如表1所

示[3,24]。

表1 FANUC18i-MB系統的NURBS插補G代碼

通過NURBS直接插補，CNC系統可以精確控制機床實現NURBS曲線刀具軌跡的運動，從而克服由基本線型（直線或圓弧）插補而引起的插補技術誤差。圖1是NURBS刀具路徑示意圖。

圖1 NURBS刀具路徑示意圖

NURBS刀具路徑是由CNC系統的NURBS插補器來實現內部的曲線運算，其主要優點體現在：可以減少數控加工代碼的程序段數，提高系統對數據的處理能力；可避免直線插補時頻繁的速度變化，縮短加工時間，適應高速加工；可以改善加工表面質量并提高加工表面的光順性。

3 NURBS曲線插補實例

在自由曲面加工刀具路徑規劃中進行NURBS曲線擬合的主要任務是擬合已知的刀位點，將大量有序的刀位點直接擬合成NURBS曲線刀具路徑，便可以直接傳輸給數控系統進行NURBS刀具路徑的數控加工。這里，給定一組二維拋物線數據點如表2所示。

用插值法構造3次NURBS曲線，采用積累弦長參數化法構造出節點矢量為：

用曲線兩端切矢條件構造補充方程，根據所給3次NURBS曲線控制頂點反求矩陣方程，求出控制頂點為：

數據點理論曲線如圖2所示。采用積累弦長參數化的插值曲線誤差如圖3所示。

圖2 數據點的理論曲線

圖3 積累弦長參數化插值曲線誤差

根據上述計算后得到的節點矢量和控制頂點，并取所有權因子為1，編寫FANUC格式的NURBS數控代碼如下：

表2 所給型值點數據

在商業軟件上構建零件的三維模型如圖4所示。選擇FANUC 18i-MB數控系統的Hardinge/Bridgeport Vmc1000xp立式數控加工中心（如圖5所示）進行銑削加工，定位精度為0.01mm，重復定位精度為：0.005 mm。分別采用直線插補、直線圓弧組合插補和NURBS插補方式進行加工，所得到的工件曲面如圖6所示。

三種不同插補方式數控加工代碼比較如表3所示。

表3 不同插補方式的數控代碼

圖4 工件的三維模型

圖5 立式數控銑加工中心

圖6 工件的加工曲面

在加工過程中發現，針對相同的刀位路線，采用直線插補，編程精度為0.01mm時，NC代碼長度為213步；采用直線-圓弧插補，編程精度為0.01mm時，NC代碼長度為592步；若要求更高的數控加工精度，則上述對應的數控加工NC代碼的數量還會急劇增加。采用NURBS直接插補，程序段從G06.2指令開始，數控裝置讀取G06.2指令后面的三組數據進行插補計算，按NURBS曲線的定義直接實現NURBS插補，不需要近似插補所需的大量指令代碼段。NURBS直接插補，程序段精簡短小，與近似直線插補或直線圓弧插補相比，數控代碼能減少50%至80%左右，大大地提高了效率和數控高速加工能力。

根據上述分析和圖6可知，采用NURBS直接插補進行數控加工，不僅可以得到相對簡潔的數控代碼，而且還可以改善輪廓曲線光順性，提高表面加工質量等。

4 結論

通過分析NURBS曲線的參數表達及其數據計算方法，研究了NURBS曲線插補過程及其數控代碼格式。采用積累弦長參數化方式構造出給定數據的NURBS輪廓曲線，并編寫出了其NURBS直接插補程序代碼。通過加工實例，驗證了NURBS插補的優良性。由實例可知，采用直線圓弧插補方式，數控加工的NC代碼最長，592步；其次是采用直線插補方式的數控加工NC代碼，213步；采用NURBS直接插補方式，其對應的數控加工NC代碼最簡練。結果表明：采用NURBS直接插補方式進行數控加工，數控加工NC代碼精簡短小，能適應高速加工，顯著地提高加工效率和能力，具有較好的刀路光順性和表面加工質量，對工程編程實踐具有一定的指導意義。

[1]張小明,朱利民,丁漢,等.五軸加工刀具姿態球面NURBS曲線設計及優化 [J].機械工程學報,2010,46(17):140-144.

[2]黃翔,曾榮,岳伏軍,等.NURBS插補技術在高速加工中的應用[J].南京航空航天大學學報,2002,4(1):82-85.

[3]劉萍,王民權,范進楨,等.FANUC系統中實時前瞻的NURBS插補研究與實現[J].機械科學與技術,2012,31(5):791-795.

[4]霍亞光,宋緒丁,劉海明.NURBS插補方式對數控銑削加工質量的影響[J].現代制造工程,2012,8:57-60.

[5]于志宏,陳剛.NURBS曲線插補理論與實踐[J].制造技術與機床,2010,11:142-144.

[6]趙鴻,袁哲俊,盧澤生.NURBS曲線插補技術的應用[J].制造技術與機床,1999,12:44-46.

[7]張琿,徐宗俊,郭鋼,等.CNC機床中的NURBS插補[J].制造技術與機床,1999,3:19-21.

[8]張永超,于洋,魏展鵬,等.自由曲面加工中NURBS曲線的插補實現[J].現代制造工程,2010,9:38-41.

[9]蔡善樂,張春政,石凱.反求NURBS曲線及其插補算法[J].新技術新工藝,2010,6:24-26.

[10]陳良驥,李慧瑩.多軸加工曲線曲面實時插補理論與方法[M].鄭州:鄭州大學出版社,2016.

[11]陳良驥.復雜曲面數控加工相關技術[M].北京:知識產權出版社,2011.

[12]丁漢,朱利民.復雜曲面數字化制造的幾何學理論與方法[M].北京:科學出版社,2011.

[13]于洋.五軸自由曲面NC加工刀路優化及誤差控制[M].北京:國防工業出版社,2015.

[14]丁國富,江磊,朱紹維,等.五軸數控加工精度建模、分析及控制技術[M].北京:科學出版社,2016.

[15]解乃軍,仲高艷.數控技術及應用[M].北京:科學出版社,2015.

[16]趙曉運,陳燕麗,宋緒丁.基于MATLAB和NURBS的葉片曲面造型[J].機械設計與制造工程,2016,26(2):22-26.

[17]Les Piegl, Wayne Tiller.The NURBS Book, 2nd ed[M].New York:Springer-Verlag,1997.

[18]Gerald Farin. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design,A Practical Guide, 2nd ed[M].Salt Lake City:Academic Press,1990.

[19]趙罡,穆國旺,王立柱.非均勻有理B樣條[M].2版.北京:清華大學出版社,2010.

[20]陳燕麗,宋緒丁.基于B樣條遞推算法的NURBUS雙四次曲面矩陣表示[J].制造業自動化,2014,36(2):90-93.

[21]桂貴生,何慶.高速加工機理與關鍵技術的研究進展[J].農業機械學報,2004,35(4):192-195.

[22]Bedi S, Ali I, Quan N.Advanced interpolation techniques for CNC machines[J].Journal of Engineering for Industry,Vol.115(3),1993:329-336.

[23]楊旭靜,胡仲勛,鐘志華.面向刀具路徑生成的NURBS曲線擬合算法研究[J].中國機械工程,2009,20(8):984-987.

[24]楊旭靜.自由曲面高性能數控加工刀具路徑技術研究[D].長沙:湖南大學,2006.

[25]施法中.計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條（修訂版）CAGD&NURBS[M].北京:高等教育出版社,2013.