空間3-DOF柔性并聯微動平臺運動學分析

徐洪業，李楊民，李祥春

（1.天津理工大學 機械工程學院 天津市先進機電系統與智能控制重點實驗室，天津 300384；2. 香港理工大學 工程學院 工業與系統工程學系，香港 999077）

0 引言

Hunt[1]提出了3-RPS并聯機構，可實現兩個轉動和一個平動，直到現在都在被廣泛研究和應用。微操作機器人技術是由微定位技術與機器人技術結合而產生的，其相關技術還可以帶動機器人技術、精密加工、微電子、光纖對接、纖維醫學等技術的發展[2]。同時，并聯機構具有定位準確、剛度高和較高的承載能力遠超過了串聯機構[3]。相比較于傳統的鉸鏈，柔性鉸鏈屬于可逆的支撐結構，作為一種體積小無摩擦損失、無間隙運動平穩的高靈敏度傳動機構，具有體積小無摩擦損失、無間隙、無潤滑、易于加工制造、運動平穩和分辨率高等優點，已廣泛應用于航空工業、自動化工業、生物醫藥等領域[4]。由于壓電陶瓷具有響應快、輸入力大、分辨率高，無機械損耗、無污染、無磁場等優點，微動平臺通常選用壓電陶瓷作為驅動器。但由于壓電陶瓷的輸出范圍小，一般只有幾微米至幾十微米，所以需要微位移放大機構來實現對壓電陶瓷輸出位移的放大與傳遞。目前，通常采用的微位移放大機構主要有兩種：差式放大機構和橋式放大機構[5,6]。本文基于3-RPS并聯機構設計了一種柔性并聯微操作平臺，采用橋式微位移放大機構作為并聯微動平臺的移動副P。利用閉環矢量法和解析法對微動平臺進行運動學分析，并對微動平臺進行了運動逆解仿真。

圖1 微動平臺模型

1 微動平臺運動模型的建立

微動平臺的三維模型和原理圖如圖1所示，圖1(a)為微動平臺的三維模型，圖1(b)為原理圖。微動平臺三個支鏈為120°對稱分布，定平臺和動平臺分別為等邊三角形。坐標系的建立如圖1(b)所示，設定平臺的外接圓半徑為R，動平臺的外接圓的半徑為r；在定平臺上建立定坐標系O-xyz，x軸與A1A2平行，y軸的負方向過A3點；在動平臺上建立動坐標系O′-x′y′z′，x′軸與B1B2平行，y′軸的負方向過B3點。

則旋轉矩陣[7]為：

公式中：α，β，γ為繞定坐標系O-xyz的x，y，z軸旋轉的旋轉角度，s-sin，c-cos，由于微動平臺的位移很小，所以轉動角度也很小，所以sinα≈α，sinβ≈β，sinγ≈γ；cosα=cosβ=cosγ≈1 ，則公式(1)可化簡為：

1.1 運動學位置逆解

由圖1(b)可知，定平臺中，各基底Ai在定坐標系O-xyz中的坐標可表示為[xAi，yAi，zAi]T。

在動平臺中，各點Bi在動坐標系O′-x′y′z′中的坐標可表示為則：

在定坐標系O-xyz中，支鏈底端A1，A2，A3到對應各球面副的矢量為：

其中：p1，p2，p3為各球副到定平臺的距離，則各桿件的長度為pi/cos10°（i=1,2,3）。根據閉環矢量法[8,9]，如圖2所示，R為旋轉矩陣，bi是動坐標系原點O′到各球面副的向量，C為定坐標系到動坐標系的向量，ai為定坐標系原點O至各轉動副的向量，Li為各支鏈的長度，ni為各支鏈的方向向量。則：

圖2 矢量關系圖

對支鏈1：

展開得：

對支鏈2：

展開得：

對支鏈3：

1.1 運動學位置逆解

由圖1(b)可知，定平臺中，各基底Ai在定坐標系O-xyz中的坐標可表示為[xAi，yAi，zAi]T。

在動平臺中，各點Bi在動坐標系O′-x′y′z′中的坐標可表示為則：

在定坐標系O-xyz中，支鏈底端A1，A2，A3到對應各球面副的矢量為：

其中：p1，p2，p3為各球副到定平臺的距離，則各桿件的長度為pi/cos10°（i=1,2,3）。根據閉環矢量法[8,9]，如圖2所示，R為旋轉矩陣，bi是動坐標系原點O′到各球面副的向量，C為定坐標系到動坐標系的向量，ai為定坐標系原點O至各轉動副的向量，Li為各支鏈的長度，ni為各支鏈的方向向量。則：

圖2 矢量關系圖

對支鏈1：

展開得：

對支鏈2：

展開得：

對支鏈3：

展開得：

在給出動平臺沿Z軸方向的行程z和繞x和y軸的轉動角度α和β后，結合上述方程可求出三個移動副的行程。此解即為運動學的逆解。

1.2 運動學正解推導

根據位置封閉的方法[10,11]求解。假設轉動副R的軸線u1，u2，u3與定坐標系Y軸的夾角分別為1=30°，2=330°，3=90°，Ai在定坐標系中的坐標為[xAi，yAi，zAi]T，各桿與定平臺的夾角分別為λi（i=1,2,3）。假設球鉸中心Bi與動平臺解除約束作用，則Bi繞其軸線ui以Ai為圓心，以伸長后的桿長Li'=Li+?Li為半徑旋轉。由解析幾何可推導出動平臺各球鉸中心Bi（i=1,2,3）在定坐標系中的表達式：

設動平臺的邊長為b，則：

將式(14)帶入式(15)得：

Ai～Ei為并聯機構已知的幾何參數及輸入變量的代數式，通過化簡可求得λi(i=1,2,3)，即可求得球鉸Bi在定坐標系的坐標。

由三角形的形心定理動平臺O'在O-xyz中的坐標：

平移變換矩陣T（xB，yB，zB)可表示為：

則動平臺上各點Bi在定坐標系O-xyz中的其次表達式為：

其中，xO'，yO'，zO'分別表示動坐標系O′-x′y′z′中心點O′在動坐標系中的位置矢量。

將式(17)代入式(20)～式(22)中，即可獲得相應動坐標系3個坐標軸方向的旋轉角α，β，γ。

2 雅可比矩陣

將式(6)對時間求導得：

將式(23)左乘式(24)得到：

根據混合向量積的運算法則化簡式(25)：

式中：Jinv為3×3矩陣；

Jinv為3×3矩陣。

所以并聯矩陣的速度映射矩陣為：

式中：

3 運動學仿真

利用ADAMS軟件能夠建立和測試虛擬樣機，實現在計算機上仿真分析復雜機械系統的運動學和動力學性能[12,13]。將在SolidWorks中建好的三維模型導入ADAMS軟件中，對微動平臺進行運動學仿真，對運動學逆解進行求解。三個驅動桿上施加運動：?L1=4.6296×10-4×cos(0.04×pi×time)，?L2=4.6296×10-4)×cos(0.04×pi×time+10)，?L3=4.6296×10-4×cos(0.04×pi×time)-10時，位移隨時間的變化曲線如圖3所示。當三個驅動桿桿長成周期性變化時，輸出位移也成周期性變化，位移曲線充分說明了微動平臺只有Z向一個位移。

圖3 位移-時間變化曲線

當三個驅動桿桿長成周期性變化時，動平臺的線速度變化曲線和角速度變化曲線如圖4和圖5所示。當輸入為余弦函數時，動平臺輸出的線速度和角速度也成正/余弦函數規律變化，說明并聯微動平臺可應用于對速度變化規律要求高的場合。說明了該微動平臺的運動可靠性。

4 結論

本文設計了一種空間3-DOF柔性并聯微操作平臺，該微動平臺可實現繞X軸和Y軸的轉動以及沿Z軸方向的移動。應用閉環矢量法和解析法對并聯機構的運動正解和逆解進行了推導，并用ADAMS軟件對微動平臺進行了運動學逆解的仿真，說明了該平臺運動規律的可靠性。同時，也對該微動平臺動力學的研究打下了基礎。

圖4 速度-時間變化曲線

圖5 角速度-時間變化曲線

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