巧轉(zhuǎn)化
——抽象問題不再難

河北省保定市河北安新中學(xué) 楊文增

高中數(shù)學(xué)的好多知識是很抽象的，面對課本上抽象的概念、符號、公式、定理等，學(xué)生很容易產(chǎn)生心理疲勞甚至心理恐懼，如果老師處理不當(dāng)，就會使學(xué)生“怕數(shù)學(xué)”，甚至“煩數(shù)學(xué)”，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成沉重而無奈的負(fù)擔(dān)。不過，再抽象的知識也是源于現(xiàn)實生活的，假如在課堂上能給枯燥的數(shù)學(xué)穿上一身生動有趣的生活化外衣，就能讓數(shù)學(xué)顯得豐富、飽滿、實用，同時還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

學(xué)生學(xué)習(xí)時之所以有“怕”的感覺，主要是由問題的抽象性引起的。解決與現(xiàn)實生活密切相關(guān)的問題時，學(xué)生幾乎沒有茫然的感覺，問題解決得得心應(yīng)手。這樣一想，解決抽象問題的重要方法之一就是將其具體化、形象化、生活化，即盡量轉(zhuǎn)化為與現(xiàn)實生活相關(guān)的問題。遇到抽象的問題，將原題轉(zhuǎn)換一下，讓學(xué)生走進(jìn)問題中，成為問題解決的“主人”。這樣做既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮了學(xué)生的“主體”作用。遇到抽象問題時，到底如何轉(zhuǎn)化？這個問題沒有固定答案，可能是讓學(xué)生當(dāng)“演員”來“表演”，也可能是讓學(xué)生通過動手作圖的方式解決，還可能是借助現(xiàn)實生活中的實物，更可能是其他“因題而異”的方式。

【例1】由1、2、3、4、5、6、7可以組成多少個1、2相鄰且3、4相鄰的數(shù)？

問題分析：如果沒有附加“1、2相鄰且3、4相鄰”，那是最基本的排列組合問題?，F(xiàn)在問題有了限制條件，如何解決？通過審題發(fā)現(xiàn)這個問題可以轉(zhuǎn)化為人員排隊問題：“不同的7人站成一排進(jìn)行排隊,要求其中的甲、乙相鄰，同時丙、丁也相鄰,請問一共有多少種不同的排法？”經(jīng)過這樣轉(zhuǎn)化后，給學(xué)生的感覺就比原題具體多了，而且學(xué)生可以親自參與到問題當(dāng)中。

問題解決：安排7名學(xué)生在講臺上當(dāng)眾按題意進(jìn)行排隊，讓學(xué)生親自參與排隊的目的是通過幾次（哪怕是十幾次）的排隊試驗，找到解決問題的方法。排隊的同時，其他同學(xué)也都在思考解決方法，不一會兒，同學(xué)們就有了一致的看法：采用捆綁法，先將甲、乙兩人看成一組組成一個整體，同時丙、丁也看成另一個整體，再同其他人進(jìn)行排隊，最后一組內(nèi)的兩人再進(jìn)行排隊。根據(jù)分步計數(shù)原理，可得共有種排法。

問題總結(jié)：某幾個元素必須排在一起的排列組合問題,可使用上面的“捆綁法”來解決問題。但是要注意捆綁成一體的內(nèi)部是否進(jìn)行排列，要根據(jù)題意來決定。

【例2】設(shè)命題甲：0≤x≤3，命題乙：|x-1|≤4，則乙是甲成立的（ ）

A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.不充分也不必要條件

問題分析：直接判斷很容易出錯，如果將兩個命題在數(shù)軸上表示出來，將很直觀。

問題解決：由一名學(xué)生先解出命題乙，再在黑板上畫出數(shù)軸并表示命題甲和乙。（其他同學(xué)在草稿紙上同時進(jìn)行）總結(jié)：命題成立問題涉及范圍可以借助數(shù)軸直觀形象地去解決。

【例3】已知關(guān)于x的方程x2+（a-1）x+1=0有兩相異實根，且兩根均在區(qū)間[0,2]上，求實數(shù)a的取值范圍。

問題分析：這是方程的根的分布問題，僅靠記憶總結(jié)的公式和規(guī)律,很容易記錯。若結(jié)合函數(shù)圖象學(xué)習(xí)、理解、記憶、解決根的分布問題，就非常直觀明了、印象深刻。

問題解決：首先,令f（x）=x2+（a-1）x+1。說方程兩相異實根在區(qū)間[0，2]上，也就是說對應(yīng)的函數(shù)f（x）的圖象與x軸在區(qū)間[0,2]上有兩個不同的交點。

問題總結(jié)：方程的根的問題與相應(yīng)的函數(shù)圖象的交點問題是相關(guān)的。數(shù)形結(jié)合是重要的解題思想。

【例4】在立體幾何的教學(xué)中，遇到過這樣一個問題：定理“平面內(nèi)，如果一個角的兩條邊分別和另一個角的兩條邊相互垂直，那么這兩個角相等或互補(bǔ)”，改成“如果一個二面角的兩個半平面分別和另外一個二面角的兩個半平面垂直，則這兩個二面角相等或互補(bǔ)”，是否成立？

我曾經(jīng)試圖在黑板上畫圖解釋這一問題，結(jié)果非常失敗。好多同學(xué)們發(fā)現(xiàn)教室的門與墻壁構(gòu)成的二面角和地板與教室間的隔墻構(gòu)成的二面角恰好符合題意，由于門可以開合而始終保持這種垂直關(guān)系，也就是其中一個二面角可以是任意角，因此修改后的命題是不成立的。這樣借助身邊的實物彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)手段的不足，同時也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又啟發(fā)學(xué)生去積極主動發(fā)現(xiàn)、研究生活中的數(shù)學(xué)問題。

生活是一切知識的源泉，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)的時候，就需要老師們積極創(chuàng)造條件，挖掘生活中的數(shù)學(xué)，將抽象的問題盡可能地轉(zhuǎn)化為與學(xué)生實際生活貼近、實際知識有聯(lián)系的問題進(jìn)行解決。這能夠進(jìn)一步活躍課堂氣氛，更能全面地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用。

[1]周先華．高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)實踐初探[J]．?dāng)?shù)理化解題研究，2017（19）．

[2]陸建．落實數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)應(yīng)立足課堂、扎根教學(xué)[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2017（Z2）．

[3]楊興軍，高思霞．培育“抽象思維”素養(yǎng)的研究性學(xué)習(xí)[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2017（Z2）．