一道測試題的教學與思考

江蘇省江陰市青陽中學 王士勇 譚 穎

每學期臨近期末，按照學校的要求，師生都要有計劃地開展期末復習工作，學生必定會做一定量的模擬測試題，教師必定要進行試卷評講，那么試卷評講課應該怎么上呢？常見的有以下三種方式：1.就題講題，普遍答錯的題重點講，少部分人答錯的題少講或不講；2.有辨別地選擇典型題型講解，并配以同類型的題進行鞏固；3.以上兩種方式兼有，更注重解題策略與數學思想的滲透。

雖然以上方式中，教師會注重師生互動，但主要是教師為主，學生為輔的教學模式，這樣的試卷講評課模式顯然不符合新課改的要求，新課改的六項目標主要包括（下稱“目標”）：改變課程實施過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識能力、分析和解決問題能力以及交流與合作能力。筆者也在追問自己：試卷講評課究竟該怎么上？怎樣實施才會更有效地服務于“目標”？

帶著這些問題，筆者不斷在實踐中探索與嘗試，有了些點滴體會，不當之處，敬請批評指正。

一、學情調查

例題：已知函數f(x)=lnx-a2x2+ax（a∈R）。

（1）當a=1時，求函數的單調區間，并證明函數f(x)只有一個零點；

（2）若函數f(x)在區間（1，+∞）上是單調減函數，求實數a的取值范圍。

這是筆者所在學校期末復習期間的一道檢測試題，此題側重于“雙基”的考查，難度適中，思路寬廣，學生極易上手，應該可以輕松完成。試卷批閱后發現，第（1）小題幾乎沒有學生出錯，但第（2）小題，50人中有21人出錯，大大超出了筆者的預期。筆者隨即將答卷分發給各學習小組，要求各小組利用課余時間對此題的第（2）小題進行學情分析，并提交學情報告（因為筆者是班主任，經常帶領學生分小組研究一些學科或非學科的問題，并提交研究報告）。根據學生小組提交的報告，筆者精心設計了一堂試卷講評課。

二、教學過程

為了鼓勵小組學習，教師首先展示了學生研究報告，表格如下：

序號 主要思路 人數 錯誤主因 人數1 區間(1，+∞)是函數f(x)單調減區間的子集 19 不等式求解 3分類討論 3 2 導函數f'(x)≤0恒成立 24 f'(x)＜0 3分類討論 6

3 對函數f(x)二次求導 5 對f'(x)再優化 4 4其他 2 多種因素 2

1．不識廬山真面目

本題第（2）小題是一道利用導數研究函數單調性問題的題型，應該是極易上手的，但從批閱情況來看，結果并不理想。

學生1：基于區間（1，+∞）是f (x)在定義域（0，+∞）內單調減區間的子集，

②當a＞0時，令f'(x)＜0，∴（2ax+1)(ax-1)＞0，解得或

教師：學生1的解答是對表格中思路1的完美演繹，抓住參數對導函數正負的影響這一本質進行了分類討論，不僅回答了有些學生對此題不會分類討論的疑惑，而且指明了解不等式出錯的原因所在，非常好！實際上，課本是我們最好的指導老師，本題我們可以在課本中找到“題根”，參看蘇教版高中數學（選修2-2）第28、29頁例題1、2、3。那么，我們還可以怎么理解函數在給定區間上是單調的呢？

學生2：f (x)在區間（1，+∞）上是單調減函數可轉化為f'(x)≤0在（1，+∞）上恒成立，但對我不會處理了。

學生3：可以把f '(x)≤0轉化為2a2x2-ax-1≥0在（1，+∞）上恒成立，令g(x)=2a2x2-ax-1，則有gmin(x)≥0。

①當a=0時，則-1≥0，顯然不成立；

教師：學生2對導函數的處理沒有把握好，太可惜了。學生3通過層層剝離發現，它是求含參一元二次函數的最值問題，如何分類討論也就迎刃而解了，值得表揚！那么，為什么會有人寫成f'(x)＜0呢？

教師帶領學生重溫了蘇教版高中數學（選修2-2）第28頁的思考，學生明白：函數圖象上任一點是無單調性的，一定要注意它對導數的影響。

隨著分析的深入，學生已經注意到導函數對單調性的影響，教師繼續追問學生：還能有其他解法嗎？

學生4：受學生2的啟發，我想把f '(x)的最大值求出，所以我想到了對f '(x)再求導。

教師：學生4的解法告訴我們：既然導函數也叫函數，那么我們為什么不能對它再求導研究呢？這就是我們曾經介紹的“二次求導”。

此時教師觀察到學生們眼睛一亮，似有所悟，便繼續發問：為什么有學生對學生3解法中的再求導沒有做出來呢？自此，學生終于明白：導函數的優化選擇很重要。教師再追問：這種做法真的不能求出結果嗎？由于有了上面知識的鋪墊，教師估計學生能夠解決，便把此問題作為課后作業。

2．數形結合莫相忘

教師為了激發學生的思維靈感，引用了華羅庚教授曾說的一段話：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數無形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休；切莫忘，幾何代數流一體，永遠聯系莫分離。”那么能否從形的角度探尋問題的本質呢？學生進行小組探討，并通過實物投影展示討論成果。

教師：此法是從“形”的角度揭示了本題的內在特點，正所謂數形結合，相得益彰，往往會產生1+1＞2的功效，不正是創造性思維的原動力嗎？

本題為什么會有那么多人出錯？問題的根源正是學生對導函數沒有進行細致入微地研究，不識廬山真面目，太可惜了！

3．更上一層樓

若教學活動到此為止，那就好比夜晚的煙火，雖絢麗奪目，但好景不長。為了激發學生的求知欲、創新欲以及在學生心中構建起系統的認知結構，教師又帶領學生去擬制試題和感受高考。

（1）擬題

題1：已知函數f (x)=lnx-a2x2+ax（a∈R），若f (x)在區間（1，+∞）上存在單調遞減區間，求實數a的取值范圍。

題2：設函數f (x)=x3-ax2+a2x+1，g(x)=ax2-2x+1，a∈R，若f (x)與g(x)在區間（a，a+2）上均為增函數，求a的取值范圍。

（2）感受高考

題1：（2014·新課標全國卷Ⅱ高考文科數學·T11改編）若函數f (x)=kx-lnx在區間（1，+∞）上單調遞增，求k的取值范圍。

題3：（2013·江蘇高考數學·T20）設函數f (x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實數。

（1）若f (x)在（1，+∞）上是單調減函數，且g(x)在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若g(x)在（-1，+∞）上是單調增函數，試求f (x)零點的個數，并證明你的結論。

題4：（2011·江蘇高考數學·T19）已知實數a,b是實數，函數f (x)=x3+ax，g(x)=x2+bx，f '(x)和g'(x)是f (x)、g(x)的導函數，若f'(x)g'(x)≥0在區間I上恒成立，則稱f (x)和g(x)在區間I上單調性一致。

（1）設a＞0，若f (x)和g(x)在區間[-1，+∞）上單調性一致，求b的取值范圍；

（2）設a＜0，且a≠b，若函數f(x)和g(x)在以a,b為端點的開區間上單調性一致，求的最大值。

通過擬題，學生不僅鞏固了知識，而且升華了認知，更對自己的奇思妙想感到欣喜，變學數學為“玩”數學，寓創新于其中，體會不一樣的樂趣。通過感受高考，學生為自己擬題點贊，更會明白：原來高考題就扎根于書本，孕育在基礎知識之中。讓高考不再那么高不可攀，神秘莫測，多了幾分親近，更接地氣，原來高考題可以這樣獲得，同時也給學生課后作業和再探索留下了空間。

三、關于教學的思考

關于試卷講評課，筆者以一道測試題為突破口，對試卷講評課的有效模式做了一次嘗試，并用一個“動”字來概括這次嘗試，不僅新授課需要“動”，試卷講評課也需要“動”，這里所說的“動”有顯性和隱性之分，簡稱為“雙動”。

1．顯性的“動”

《普通高中數學課程標準（實驗）》中指出：“高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。” 故顯性的“動”就是學生的“學習主動”，它是學生行為。學生在“學習主動”中獲得知識、技能以及養成數學素養。在這節課中，學生要做到三“動”：課前學情分析、課堂以問題鏈為驅動的啟發與探究、課后作業與再探究。筆者的意圖很明顯，通過三“動”，使學生逐漸學會用數學的觀點來分析問題、探究問題和解決問題的問題策略以及基于數學素養的數學學習。羅增儒教授曾說：“學生逐步學會用數學的眼光觀察世界，發展數學抽象、直觀想象素養；用數學的思維分析世界，發展邏輯推理、數學運算素養；用數學的語言表達世界，發展數學建模、數據分析素養。增強創新意識和數學應用能力。”讓顯性的“動”真正起到主動學習之功效。

2．隱性的“動”

《普通高中數學課程標準（實驗）》中也指出：“學生的主動學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。”這里的“教師引導”就是隱性的“動”，它是教師行為，包含了兩個方面：一是教師對有效教學活動的構思；二是教師對有效教學活動的實施。在這節課中，筆者在學生顯性的“動”上下足了功夫，如從課前學情分析、課堂以問題鏈為驅動的啟發與探究、課后作業與再探究等教學活動的構思到實施，無不體現教師隱性的“動”。真正使教師隱性的“動”起到激發學生學習數學的興趣、樹立學生學好數學的信心、逐步養成用數學思維解決問題的習慣之功效。

[1]羅增儒．從數學知識的傳授到數學素養的生成[J]．中學數學教學參考，2016（7）：2-7．