大型柔性起重臂系統回轉吊裝剛柔耦合動力學模型

顏世軍， 彭 劍， 劉 澤， 劉運思(湖南科技大學 土木工程學院, 湖南 湘潭 411201)

超大噸位輪式起重機臂架結構形式復雜，在回轉吊載時承受較大的慣性力和吊重偏擺力，對其動態載荷預估不足易導致折臂與傾翻等問題。傳統的動載系數折算法與運動彈性動力學分析方法由于對臂架的剛柔耦合特性預估不足[1]，在對柔性臂架系統進行動力學性能評估時具有明顯的局限性。

起重機臂架系統是由吊臂與吊物等組成的多柔體系統，其動力學特性具有明顯的剛柔耦合性質。多柔體動力學近年已成功現代工程領域，并得到了長足的發展[2-3]，然在起重機動態吊裝領域的應用起步較晚，諸多問題尚需解決。Sato等[4]建立了關于汽車起重機的多柔體動力學模型，僅能對中小型起重臂在起升沖擊下進行動力學分析。蘭朋等[5]使用梁單元建立臂架和塔身的二維柔體動力學模型，成功分析了塔式起重機在回轉過程中的動特性并得到實驗的驗證，該模型不能預測吊重的偏擺效應。嘉紅霞等[6]建立了考慮臂架彈性的動臂起重機的一個簡單模型及完全多體動力學模型，該模型能預測動臂起重機變幅吊裝下的動態性能。Ku等[7]針對雙吊臂船用起重機，考慮水的隨機激勵因素，建立了遞推格式的正向和逆向起重機起升和變幅動力學模型，模型忽略了吊臂的彈性振動。 Sochacki[8]采用多剛體模型描述起重臂，分析了地基彈性對起重機回轉作業動態性能的影響。黃毅等[9]基于模態綜合法，建立了針對超長柔長臂泵車臂架的簡易動力學模型，并采用模態濾波技術及最優極點配置算法進行振動主動控制策略設計，得到了較滿意的減振效果。

臂架系統在回轉作業時同時含有大范圍的剛體轉動、吊臂與鋼絲繩彈性振動以及吊重的空間擺動，對于大型起重臂，其剛柔耦合效應尤為明顯。本文采用混合坐標系[10]進行臂架運動學描述，利用固結于回轉中心的慣性系描述臂架與吊重的剛體運動，采用固結于各臂段及鋼絲繩的動參考系描述各彈性構件的彈性振動，從拉格朗日分析力學出發，建立了針對大型臂架系統的多柔體動力學模型，對某超大噸位輪式起重機臂架回轉吊載工況進行了動力學仿真計算，并與試驗對比分析表明了模型的準確性。

1 臂架系統動力學模型

超大型臂架系統結構形式復雜，由彈性吊臂系統(圖1)和吊物系統(圖3)兩部分構成，忽略下車支撐的彈性變形影響，分別對回轉作業下的復雜彈性吊臂及鋼絲繩吊物系統進行建模，考慮二者之間的約束關系，建立臂架系統的動力學分析模型。

1.1 吊臂回轉剛柔耦合動力學模型

圖1所示的大型吊臂由箱型主臂，桁架副臂，塔臂撐桿及拉板，超起桅桿及鋼絲繩組成，主臂、副臂、撐桿及桅桿在變幅平面內相互鉸接，在回轉平面內相互固接，主臂各級伸縮臂臂頭搭接處約束徑向平移，臂尾處約束徑向平移及軸向運動。考慮箱型主臂、桁架副臂以及桅桿各部件為細長結構，利用梁單元或等效梁單元離散，拉板和鋼絲繩只承受軸向拉力，采用桿單元模擬。

圖1 起重機臂架結構

對任意部件i如圖2，以固結于回轉中心的慣性坐標系xyz描述剛體轉動，利用固結于其根部的浮動坐標系xiyizi來描述彈性變形。部件i上任意一點在慣性坐標系下的矢徑為

ri=Ri(ri0+xi0+Nqf)

(1)

式中：ri0為慣性坐標系原點在部件i浮動坐標系下的矢徑；xi0為部件中任意一點在浮動坐標系下的初始位置；Nqif為部件上任意一點的變形；qif為單元節點位移；N為單元形函數；Ri為任意時刻該浮動坐標系與慣性坐標系的坐標變換矩陣

圖2 部件回轉動力學示意圖

式中：θ為任意時刻的回轉角度；φi為部件i仰角，進一步，該點的速度為

(2)

(3)

超長柔性吊臂在吊載時呈現明顯的大撓度狀態，為此考慮幾何非線性下彈性吊臂的彈性勢能寫為

(4)

由拉格朗日動力學方程

(5)

考慮式(3)和(4)，可得無阻尼作用下吊臂的剛柔耦合動力學模型為

(6)

1.2 吊物系統動力學模型

吊物系統由吊重鋼絲繩和吊重組成，由于離心慣性力和科式慣性力的影響，吊重在臂架回轉時具有球擺特性，其回轉擺動描述如圖3，以慣性系x′y′z′描述臂頭拉點與吊重的剛體運動，固結在鋼絲繩臂頭處的動參考系xyz鋼絲繩的彈性振動，鋼絲繩可看作為一單向拉升不考慮質量的彈性連桿，則吊重任意時刻的矢徑為

圖3 吊物系統回轉擺動示意圖

(7)

式中：α和β分別為繞當前x軸和y軸轉動的歐拉角。由矢徑對時間的導數，可得速度為

(8)

進一步，吊重動能為

(9)

式中：mq為吊重質量；Mrr，M??分別對應于吊重剛體平動與擺動的質量項；Mr?為平動與擺動的耦合質量項；Mll為鋼絲繩彈性變形質量項；Mrl，M?l分別為平動、擺動與鋼絲繩彈性伸長耦合質量項。

吊物系統的勢能包含了吊重的勢能與鋼絲繩的彈性勢能

U=mqg[z-(l0+Δl)cosβcosα]+

(10)

式中：Kg為鋼絲繩剛度Kg=EgAg/l0；Eg為鋼絲繩彈性模量；Ag為鋼絲繩截面積；z為臂頭處在慣性坐標系下的鉛錘位置。

由拉格朗日方程可得無阻尼作用下吊物系統的動力學方程有限元列式為

(11)

式中：Qvr，Qv?與Qvl分別為剛體平動與擺動以及鋼絲繩彈性變形所對應的廣義慣性力。

1.3 臂架系統多體動力學模型

回轉作業時，吊臂系統與吊物系統通過球鉸約束，吊臂系統各部件由于回轉作業時無相互運動，采用自由度凝聚技術以減少模型計算量。對于整體臂架系統，通過引入臂頭與鋼絲繩上拉點的約束方程，可得臂架系統柔性多體動力學方程為

(12)

式中：M為總體質量矩陣;K為總體剛度矩陣;Q為外力列向量;QV為廣義慣性力列向量，約束方程為

C(q,t)=R1(r0+xt+qft)-rt=0

(13)

式中：xt為臂頭節點在吊臂浮動坐標系下的矢徑；qft為臂頭節點位移。

2 臂架動態特性試驗檢測

為考察臂架回轉動態特性及驗證模型的準確性，對回轉作業時吊重的偏擺振動與主臂的動態應力進行了檢測，要求試驗環境為常溫，無雨雪，風速<5 m/s。采用LMS動態應力測量系統對主臂在回轉時的實時應力響應進行了測量，關注吊臂尾部臂節和中部臂節，檢測系統采樣頻率為50 Hz，測量精度為±0.005 με。

基于GPS-RTK高精實時測量技術，對回轉時吊重的偏擺特性進行了檢測。檢測系統如圖4，現場測試見圖5，該系統由1個基準站、4組移動站及相關數據采集與后處理設備構成，系統采樣頻率為10 Hz，精度為±5 mm。基準站放置于空曠地面并靜止，用于各移動站精確位置坐標數據的修正。移動站1固接于基本臂，移動站2固接于臂頭，移動站1、2所測數據用以確定WGS-84坐標系與當前臂頭隨動坐標系xsyszs的坐標轉換系數，移動站3、4固接于吊鉤兩側，通過移動站1、2所得實時坐標轉換系數，可測吊鉤在坐標系的實時空間位置坐標。進一步，吊重的側向偏擺角αs和法向偏擺角βs表為

圖4 偏擺振動檢測系統

(14)

3 算列仿真

對建立的臂架系統動力學控制方程，利用New- mark方法實現方程的時域離散，采用Newton-Raphson迭代法對每一時間步進行非線性迭代求解。針對某型超大噸位輪式起重機，主要參數如表1, 臂架偏擺振動檢測與動態應力檢測回轉速度時間歷程曲線見圖6。利用本文所構建的模型及傳統的多剛體動力學模型進行了動態仿真分析，并與實測值進行了對比分析。

圖7中描述了不同時刻下吊重鋼絲繩的擺動特性，從圖7(a)和(b)中可以看出，吊重側偏角和正偏角呈波動趨勢，且其波動周期相同。吊重側偏角隨時間振幅逐漸降低，但正偏角隨時間振幅升高。本文所建立的柔性多體動力學方法所計算得到的偏擺角與實測值相比基本吻合，采用傳統的多剛體動力學所得到的最大偏擺角與實測值相比偏差為32%，但采用本文算法所得結果與實測值相比只有6.8%，實測時，由于風激作用、相關發動機對臂架自身的自激振動等，吊重偏擺角初始時刻很難處于非完全靜止狀態，且相關激勵伴隨整個回轉過程，而模型計算時忽略風的激振等，假設臂架從靜止開始啟動，相關擾動因素的忽略亦會導致二者的結果存在偏差。

表1 臂架系統相關結構參數

圖6 起重機回轉角速度時間歷程

圖8 為臂架不同測點處的動態應力演變圖，可以看出，前55 s時臂架處于靜止狀態，但由于風載荷、以及吊重鋼絲繩的輕微擺動，實測時臂架的應力很難達到穩態，而計算時假設臂架應力穩定，55～135 s為臂架回轉時的應力響應，對于該測點，回轉過程中應力振動規律與側向偏擺角振動規律相近，吊重的側向偏擺對吊臂應力波動影響顯著，然臂架的側向剛度低于回轉法向剛度，為此機手操控及結構減振設計因盡量降低側向振動。可以看出本文算法所得的計算結果與實測值吻合較好, 計算值與實測值回轉過程中振動趨勢相同，實測過程中，臂架迎風面較大，風激振動對吊臂應力響應有一定影響，仿真忽略風致激振的影響，導致二者計算結果存有偏差，且真實臂架系統各臂節間存在較小間隙，也會對臂架應力響應產生影響，中部測點如圖8(b)，計算值與實測值在啟動階段偏差稍大，但最大誤差值在6%之內，總體而言，對于吊臂根部和中部測點，兩者吻合較好，但對于吊臂其他處應力值的計算結果，還有待進一步驗證分析。

(a) 側向偏擺角

(b) 正向偏擺角

(a) 吊臂根部某點處應力響應

(b) 吊臂中部某點處的應力響應

4 結 論

(1) 針對超大噸位輪式起重機臂架系統，基于混合坐標系方法描述不同臂段、鋼絲繩與吊重的剛體運動與變形振動，采用拉格朗日方程建立了臂架多體系統的剛柔耦合動力學方程，模型綜合考慮了吊臂與吊重的慣性力效應、剛柔耦合效應以及吊臂的幾何非線性效應。

(2) 通過對某超大噸位輪式起重機回轉吊載動態仿真結果顯示臂架動態性能呈現明顯波動，吊重偏擺對吊臂應力波動有顯著影響，與實測結果對比表明，本文所建立的計算方法所得的計算結果與實測值基本吻合，相比傳統的多剛體算法，算法精度得到極大提升。

[1] 起重機設計規范:GB/T 3811—2008[S]. 北京: 中國標準出版社, 2008.

[2] WASFY T M, NOOR A K. Computational strategies for flexible multi body systems[J]. Appl Mech Rev, 2003, 56(6): 553-613.

[3] 張煒華，劉錦陽. 大變形復合材料薄板多體系統動力學建模[J].振動與沖擊，2016, 35(8)：27-35.

ZHANG Weihua, LIU Jinyang. Dynamic modeling of composite thin-plate multibody systems with large deformation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(8):27-35.

[4] SATO K，SAKAWA Y． Modelling and control of flexible rotary crane[J]．International Journal of Control，1998，48: 2085-2105.

[5] 蘭朋, 陸念力. 塔式起重機柔性臂回轉制動過程動力分析[J]. 哈爾濱工業大學學報, 2004, 36(5): 677- 680.

LAN Peng, LU Nianli. Dynamic analysis of flexible jib of tower crane in case of braking slewing motion[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2004, 36(5): 677- 680.

[6] 嘉紅霞, 李萬莉, SINGHOSE W. 考慮臂架彈性的動臂起重機動力學建模及振動分析[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(12): 136-140.

JIA Hongxia, LI Wanli, SINGHOSE W. Dynamic modeling and vibration analysis of cherry pickers with flexible arms[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(12): 136-140.

[7] KU N, HA S. Dynamic response analysis of heavy load lifting operation in shipyard using multi-cranes[J]. Ocean Engineering, 2013, 83: 63-75.

[8] SOCHACKI W. The dynamic stability of a laboratory model of a truck crane[J]. Thin-Walled Structures, 2007, 45: 927-930.

[9] 黃毅,鄂加強,郭崗,等.超長柔性臂架回轉振動主動控制研究[J]. 振動與沖擊, 2016, 35(6)：137-140.

HUANG Yi, E Jiaqiang, GUO Gang, et al. Active control of slewing vibration in an ultra-long flexible boom[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(6)：137-140.

[10] 劉錦陽, 洪嘉振. 剛-柔耦合動力學系統的建模理論研究[J].力學學報, 2002, 34(3): 408-415.

LIU Jinyang, HONG Jiazhen. Study on dynamic modeling theory of rigid-flexible coupling systems[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2002, 34(3): 408-415.