內外激勵下風電齒輪傳動系統的非線性動力學特性

向 玲， 高 楠， 唐 亮， 郭鵬飛(華北電力大學 機械工程系, 河北 保定 071003)

風能作為一種資源豐富、分布廣、無污染的綠色可再生資源，越來越受到世界各地的重視。風力發電機齒輪箱是風機的重要組成部分，但由于外部惡劣的工作環境，加上風力發電機齒輪傳動系統本身傳動比大、扭矩高等特點，導致風機齒輪箱頻繁出現故障問題，降低了風力發電的效率。因此，風電齒輪傳動系統的動力學研究，對降低齒輪傳動系統故障有重要意義。常見的兆瓦級風力機齒輪箱是由行星齒輪傳動和直齒輪傳動組成的，行星齒輪傳動具有結構緊湊、傳動效率高、運動平穩和抗沖擊能力強等優點，但行星齒輪傳動系統含有內外同時嚙合的齒輪，在內外激勵下存在復雜的非線性因素，所以其非線性振動問題一直是研究的重點。卜忠紅等[1]從模型、固有特性和動態相應計算等多個方面綜述了近年來行星齒輪傳動動力學的研究進展；邱星輝等[2]也對風力機組行星齒輪傳動系統動力學的研究進行了綜述；Kahrarman[3]建立了行星齒輪傳動系統的線性純扭轉動力學模型，求解獲得該系統的固有特性和振動響應；孫智民等[4]建立了2K-H行星齒輪傳動系統的非線性動力學模型，研究了系統在不同參數條件下的簡諧、非簡諧單周期、次諧波、準周期和混沌穩態強迫響應，結果表明齒側間隙參數影響系統的非線性動力學行為；張慧博等[5]研究了考慮多間隙耦合關系影響的齒輪副系統非線性動力學特性；孫濤等[6-7]采用諧波平衡法對行星齒輪傳動系統的彎扭耦合非線性動力學進行了研究；李晟等[8]分析了激勵頻率和嚙合阻尼比對兩級行星齒輪傳動系統分岔與混沌特性的影響；李同杰等[9]建立了考慮時變嚙合剛度、綜合嚙合誤差和齒側間隙非線性因素下的行星齒輪傳動系統純扭轉動力學模型，分析了轉速、齒側間隙和阻尼比對該系統動力學特性的影響；Zhao等[10]研究了靜態傳遞誤差、平均交變力比和時變嚙合剛度變化對風電齒輪傳動系統動力學特性的影響；Wang等[11]以風電齒輪傳動系統的純扭轉非線性動力學模型為研究對象，對比并分析了不同阻尼比對該系統動力學特性的影響。眾多學者對風電齒輪傳動系統的動力學特性進行了研究，本論文在此基礎上進一步研究風電齒輪傳動系統扭轉振動的分岔及混沌特性。

以1.5 MW雙饋式風力發電機組的齒輪箱為研究對象，建立此齒輪傳動系統的純扭轉振動非線性動力學模型，分析在內外激勵變化下系統的非線性動力學特性。以時間歷程圖、相圖、Poincaré截面圖、FFT頻譜圖、全局分岔圖及最大Lyapunov指數圖作為分析手段，詳細說明系統隨著激勵頻率和綜合嚙合誤差變化下的動力學特性。結果為風電齒輪傳動系統的設計、減振和降噪提供理論參考。

1 非線性動力學模型

風電齒輪傳動系統扭轉動力學模型如圖1所示，它是由一級行星齒輪傳動加兩級平行軸齒輪傳動組成，所有齒輪為直齒輪。行星齒輪傳動系統有太陽輪s，行星架c，行星輪pi(i=1,2,…,N)，內齒圈r；g1、g2為低速級齒輪；g3、g4為高速級齒輪，整體采用集中參數模型對系統建模。在行星齒輪傳動系統中內齒圈固定，行星架c作為輸入端，輸入扭矩為Tin；高速級g4為輸出端，輸出扭矩為Tout。θm(m=c,s,pi,g1,g2,g3,g4)為行星架(各齒輪)的扭轉角度；kj、cj、ej(j=spi,rpi,g1g2,g3g4)分別表示為各齒輪副間的時變嚙合剛度、嚙合阻尼及綜合嚙合誤差。假設系統全部構件為剛體，不考慮各軸系扭轉剛度和齒面摩擦。

在行星齒輪傳動中，行星輪同時與太陽輪和內齒圈嚙合傳動，故各齒輪副嚙合頻率相同。在風電齒輪傳動系統中，視內齒圈固定，可根據行星齒輪傳動副傳動關系推導嚙合頻率ωspi(i=1,2,…,N)可表示為

ωspi=ωrpi=ωczr

(1)

式中:ωc為行星架轉速;zr為內齒圈齒數。

圖1 系統非線性動力學模型

在整個系統中，行星齒輪級、低速級齒輪系和高速級齒輪系的齒輪副間具有不同的嚙合頻率，根據傳動比關系，平行軸齒輪副的嚙合頻率是ωg1g2=Λ1ωspi、ωg3g4=Λ1Λ2ωspi，式中Λ1=5，Λ2=3.9分別為行星齒輪傳動系和低速級齒輪系的傳動比。

由于直齒輪嚙合副剛度的特點，可采用周期矩形波表示嚙合剛度[12]，其表達式可利用以嚙合頻率為基頻的Fourier級數展開表示，取一次諧波項即

多增氧：溶氧決定產量，多開增氧機增氧，曝氣、調水的效果好。使用羅茨風機加納米管或納米盤增氧，功率可達10瓦/立方水體，產量也可達10斤/立方水體。

kj=kmj+kajsin(ωjt+φj)

(2)

式中:kmj,kaj分別為各嚙合副的平均嚙合剛度和剛度變化幅值;φj為各嚙合副嚙合剛度變化幅值的初相位;ωj為各嚙合副的嚙合頻率。

1.1 綜合嚙合誤差

各齒輪系的綜合嚙合誤差包括齒輪副靜態傳遞誤差和各齒輪的偏心誤差等，可表示為按嚙合頻率變化的正弦函數形式[13]

ej=Ejsin(ωjt+φej)

(3)

式中:Ej為各齒輪副綜合嚙合誤差幅值；φej為各齒輪副綜合誤差初相位。

1.2 齒側間隙函數

齒輪副間隙非線性函數[14]可表示為

(4)

式中:2b為齒側間隙;xj為各齒輪副在嚙合線上的相對位移。

2 系統動力學方程

根據拉格朗日方程建立系統的純扭轉動力學方程，但由于該方程為半正定、變參數微分方程，在計算中存在剛體位移無法直接求解。為了能夠順利求解，引入相對坐標消除剛體位移xj，公式表示為

xg1g2=rg1θg1+rg2θg2-eg1g2(t),

xg3g4=rg3θg3+rg4θg4-eg3g4(t),

xrpi=rpiθpi-rcθccosα-erpi(t) (i=1,2,…,N)

(5)

(6)

量綱一綜合嚙合誤差為

(7)

式中：Ωj=ωj/ωn，為激勵頻率。

量綱一齒側間隙函數為

(8)

在本文計算中，視太陽輪與低速級齒輪g1的轉速相同，低速級齒輪g2與高速級齒輪g3的轉速相同，即扭轉角相等θs=θg1，θg2=θg3。

根據以上各式，可以得到本文研究系統的相對位移坐標下的量綱一化動力學方程表達式

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：

i=1,2,…,N

本文視風電機組額定功率為系統的傳遞功率，其表達式為

(13)

式中：ρair為空氣密度;rblade為葉片半徑;νwind為平均風速;Cp為風能利用系數。系統的輸入扭矩和輸出扭矩可表示為

(14)

式中:Λ為風電齒輪傳動系統總傳動比。

3 系統求解及分析

本文利用4-5階變步長Runge-Kutta法對系統量綱一振動方程進行求解。為了消除系統的瞬態響應，計算所得數值結果略去前1 500個周期，然后以全局分岔圖、最大Lypapunov指數圖(以下稱LLE)、時間歷程圖、FFT頻譜圖、相圖及Poincaré截面圖作為分析手段，研究說明系統隨參數變化的分岔及混沌特性。取風電齒輪傳動系統基本參數Pin=1.5 MW，Λ=101，ξ=0.03，α=20°，N=3，ωblade=17 r/min，各齒輪基本參數如表1所示。

3.1 系統隨激勵頻率Ω的動力學特性

取系統各齒輪副的綜合嚙合誤差幅值Ej=150 μm，半齒側間隙bc=300 μm，計算激勵頻率Ω在0.001～2之間的系統分岔圖和LLE圖，分別如圖2和圖3所示，由于xrpi的動態響應和xspi類似，故以下僅分析xspi。由兩幅圖可清晰看出系統具有豐富的分岔及混沌特性，且隨著激勵頻率的增加，系統在周期、擬周期運動和混沌運動之間相互切換。激勵頻率Ω在0.001～0.559變化期間，由分岔圖可知系統處于幅值較小的混沌運動，期間也會陣發性地出現單周期運動、2周期運動和擬周期運動。進入混沌道路的途徑主要是激變。配合此期間的LLE圖可知，LLE在正負間切換即系統在混沌與穩態相互切換；激勵頻率Ω在0.559～0.771變化期間，系統經倍分岔進入混沌運動，該范圍內系統存在單周期運動、3周期運動和12周期運動，期間存在陣發性混沌，在LLE圖存在LLE正負間切換的波動現象可知系統在穩態與混沌之間相互切換；激勵頻率Ω在0.771～0.891變化期間，系統處于混沌運動，且混沌位移增大，LLE為正；當激勵頻率Ω=0.891時，系統經切分岔由混沌響應進入擬4周期運動，LLE為-0.001 94，隨后在Ω=0.923，系統重新進入混沌；激勵頻率Ω在0.923～1.081期間，系統仍然處于混沌運動；激勵頻率Ω在1.081～1.161期間，系統從混沌倒分岔至2周期運動，繼而“鎖相”長周期運動，最終進入混沌運動，由LLE圖可知，LLE在0附近波動，然后激變為正值，說明系統在穩態與混沌的臨界狀態波動最終演變為混沌運動；激勵頻率Ω在1.161～1.641期間系統運動為混沌-擬2周期運動，配合LLE圖可知激勵頻率變化下，LLE由正值隨后逐漸回歸負值；當激勵頻率Ω=1.651時，系統重新進入混沌運動，系統在此時的LLE突變至0.120 7，之后雖然LLE指數存在回落，但是其賦值為正，說明系統處于混沌運動。

表1 系統基本參數

圖4～6分別為不同激勵頻率下系統的FFT頻譜圖、時間歷程圖、相圖和Poincaré截面圖。從圖4可以看出，當激勵頻率Ω=1.101時系統是2周期運動，對應的Poincaré截面為兩個點，其頻譜圖為兩個尖峰，即除了其基頻外還出現了分頻Ω/2和倍頻nΩ/2(n為整數)；而從圖5可以看出，激勵頻率Ω=1.141時系統處于擬2周期運動，其Poincaré截面為兩個環面，FFT頻譜圖的基頻和分頻出現了微小的次諧和超諧成分；在此之后，系統的Poincaré截面圖會出現環面破裂形成奇怪吸引子即進入了混沌運動，但隨著激勵頻率的增加，系統從混沌回歸至擬2周期運動。最后系統重新進入混沌運動，圖6所示為Ω=1.745時，系統的混沌運動，其Poincaré截面出現一個奇怪吸引子且在FFT譜圖出現連續頻帶。

圖2 激勵頻率Ω變化下的分岔圖

圖3 激勵頻率Ω變化下的最大Lypapunov指數圖

在風電齒輪傳動系統中，由于風速的隨機性，導致隨機輸入的存在，同時會引起激勵頻率的變化，使系統進入混沌。混沌運動是系統不斷地由某種軌道突跳到另一個軌道上去的無規則運動，表示了系統不可預測的行為和軌道的永不重復性，使系統受到影響，常會導致疲勞、產生噪聲甚至發生故障，進而影響機器壽命。在設計中，應避開混沌狀態的范圍，采取安全、符合要求的作業范圍。通過全局分岔圖、時間歷程圖、FFT頻譜圖、相圖及Poincaré截面圖可以定性對系統進行分析，利用全局或單點最大Lyapunov指數圖可以定量的對系統進行分析，從而可以更為精確的確定系統的運動狀態，保證機器的正常運行。

圖7 綜合嚙合誤差變化下的分岔圖

圖8 綜合嚙合誤差變化下的最大Lypapunov指數圖

輪齒之間的設計誤差和齒輪的偏心誤差等其他的誤差綜合來說對于系統的作業狀態具有很大的影響。在設計時要盡可能提高零件精度，在制造安裝方面盡量減少誤差，這對提高整個系統的可靠性及穩定性具有明顯的作用，同時也可達到降低噪聲和減小振動的目的。

圖11 激勵頻率Ω變化下的分岔圖

圖12 激勵頻率Ω變化下的分岔圖

4 結 論

(1) 本文建立了風電齒輪傳動系統純扭轉非線性動力學模型，以風力發電機額定功率1.5 MW為傳遞功率，采用4-5階變步長Runge-Kutta法進行求解得到系統非線性動態響應結果。

(2) 利用多種工具對系統響應結果進行分析，在時變嚙合剛度、綜合嚙合誤差和齒側間隙強非線性因素的作用下，系統在激勵頻率的變化下表現出豐富的分岔特性及混沌現象，如周期運動、擬周期運動和混沌運動，進入混沌運動的途徑以倍分岔或激變途徑為主。

(3) 綜合嚙合誤差對系統運動分岔特性的影響顯著。隨著綜合嚙合誤差的增加，系統由周期響應進入混沌響應最后進入擬周期響應；取不同的綜合嚙合誤差進行對比，結果表明綜合嚙合誤差的減小能夠減少混沌現象并減弱系統的混沌的區域，使系統更傾向于穩態。因此，在設計中，盡量減小整個系統誤差以提高設備的可靠性和壽命。

[1] 卜忠紅, 劉更, 吳立言. 行星齒輪傳動動力學研究進展[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(9)：161-166.

BU Zhonghong, LIU Geng, WU Liyan. Research advances in planetary gear trains dynamics[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(9)：161-166.

[2] 邱星輝, 韓勤鍇, 褚福磊. 風力機行星齒輪傳動系統動力學研究綜述[J]. 機械工程學報,2014, 50(11)：23-36.

QIU Xinghui, HAN Qinkai, CHU Fulei. Review on dynamic analysis of wind turbine geared transmission system[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(11)：23-36.

[3] KAHRARMAN A. Free torsional vibration characteristics of compound planetary gear sets[J]. Mech Mach Theory, 2001, 36：953-971.

[4] 孫智民, 季林紅, 沈允文. 2K-H行星齒輪傳動非線性動力學[J]. 清華大學學報(自然科學版), 2003, 43(5)：636-639.

SUN Zhimin, JI Linhong, SHEN Yunwen. Nonlinear dynamics of 2K-H planetary gear train[J]. J Tsinghua Univ(Sci&Tech), 2003, 43(5)：636-639.

[5] 張慧博, 王然, 陳子坤,等. 考慮多間隙耦合關系的齒輪系統非線性動力學分析[J].振動與沖擊, 2015,34(8):144-150.

ZHANG Huibo, WANG Ran, CHEN Zikun, et al. Nonlinear dynamic analysis of a gear-rotor system with coupled multi-clearance[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(8):144-150.

[6] 孫濤, 沈允文, 孫智民，等. 行星齒輪傳動非線性動力學模型方程[J]. 機械工程學報, 2002, 38(3)：6-10.

SUN Tao, SHEN Yunwen, SUN Zhimin， et al. Study on nonlinear dynamic behavior of planetary gear train dynamic model and governing equations[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2002, 38(3)：6-10.

[7] 孫濤, 胡海巖. 基于離散傅里葉變換與諧波平衡法的行星齒輪非線性動力學分析[J]. 機械工程學報, 2002, 38(11)：58-61.

SUN Tao, HU Haiyan. Nonlinear dynamics of planetary gear transmission by harmonic balance method based on DFT[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2002, 38(11)：58-61.

[8] 李晟, 吳慶鳴, 張志強，等. 兩級行星齒輪系分岔與混沌特性研究[J]. 中國機械工程, 2014, 25(7)：931-937.

LI Sheng, WU Qingming, ZHANG Zhiqiang， et al. Bifurcation and chaos characteristics of two-stage planetary gear train sets[J]. China Mechanical Engineering, 2014, 25(7)：931-937.

[9] 李同杰, 朱如鵬, 鮑和云，等. 行星齒輪系扭轉非線性振動建模與運動分岔特性研究[J]. 機械工程學報, 2011, 47(21)：76-83.

LI Tongjie, ZHU Rupeng, BAO Heyun， et al. Nonlinear torsional vibration modeling and bifurcation characteristic study of a planetary gear train[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(21)：76-83.

[10] ZHAO M M, JI J C. Nonlinear torsional vibrations of a wind turbine gearbox[J]. Applied Mathematical Modelling, 2015, 39：4928-4950.

[11] WANG Xiaosun, WU Shijing. Nonlinear dynamic modeling and numerical simulation of the wind turbine’s gear train[C]∥International Conference on Electrical and Control Engineering. Yichang, China: ICECE, 2011.

[12] LIN J, PARKER R G. Planetary gear parametric instability caused by mesh variation[J]. Journal of Soundand Vibration, 2002(1)： 129-145.

[13] PARKER R G. A physical explanation for the effectiveness of planet phasing to suppress planetary gear vibration[J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 236(4)：561-573.

[14] 李潤方, 王建軍. 齒輪系統動力學——振動、沖擊、噪聲[M]. 北京：科學出版社, 1997.