橋梁顫振導數與氣動導納關系的試驗驗證

張偉峰， 張志田， 張顯雄， 陳政清(湖南大學 土木工程學院 風工程與橋梁工程湖南省重點實驗室，長沙 410082)

大跨度橋梁上的風荷載通常是靜風力、抖振力、自激力等多項氣動力的疊加。其中，抖振力是由來流中的脈動風及特征紊流引起；自激力則是由于結構運動與周圍流場的相互作用引起的。抖振力和氣動自激力的準確描述分別依賴于氣動導納函數和顫振導數。和經典的機翼理論不同，有流動分離存在的橋梁斷面由于不滿足流動的有勢條件，因此不存在類似平板氣動力理論中的Theodorsen函數和Sears函數來描述氣動自激力和抖振力。但是借鑒于機翼理論，對于鈍體的橋梁斷面也通常用試驗得到的顫振導數和氣動導納來描述橋梁斷面受到的力。

Davenport[1]首次把氣動導納的概念引入橋梁氣動抖振力問題。之后，大量研究者致力于氣動導納的風洞試驗研究。氣動導納的試驗識別需要利用主動格柵或者被動格柵生產湍流風場，然后利用測力法或者測壓法獲得模型斷面受到的抖振力。采用這一方法的研究者主要有：Jancauskas等[2]、Sankaran等[3]、潘韜等[4]和周奇等[5]。除了上述的直接識別方法以外，Scanlan[6]最早引入了氣動導納與顫振導數的關系式。這樣，在得到了顫振導數后，不必再進行氣動導納的試驗就可以直接得到氣動導納。隨后，Scanlan等[7-10]從理論上對這種方法進行了完善。該方法的基礎是假定斷面在均勻來流中做簡諧振動與靜止的斷面在簡諧來流中受到的力等效。從時域上來說，也就是認為斷面的Wagner函數和Kussner函數等效。此外，Hatanaka等[11]提出了利用等效的Theodorsen函數推導氣動導納。這種方法的主要思路是將適合于機翼斷面的Theodorsen函數與Sears函數的關系式應用到鈍體的橋梁斷面，從而根據試驗識別的顫振導數，利用顫振導數與階躍函數的關系式，得到階躍函數，然后再根據階躍函數與Theodorsen函數的關系式得到一個等效的Theodorsen函數，最后再根據Theodorsen函數與Sears函數的關系式得到等效的氣動導納函數。Hatanaka等[12-14]采用這種方法對不同形式斷面的氣動導納進行了嘗試。

上述兩種方法在很大程度上簡化了氣動導納的識別，僅根據已知的顫振導數后就可以得到氣動導納。針對于上述兩種氣動導納識別方法，張志田等[15-16]從非定常氣動力的可疊加性入手指出了這兩種方法的不合理性。對于第一種方法，將Wagner函數和Kussner函數等效會導致錯誤的抖振功率譜。對于第二種方法，Sears函數和Theodorsen函數關系式的成立具有嚴格的前提條件，對于鈍體的橋梁斷面這些條件不再成立，因此也不存在這樣的關系式。

本文采用風洞試驗對顫振導數與氣動導納的關系進行了研究。首先，分別介紹了由等效的階躍函數和等效的Theodorsen函數識別氣動導納的方法，并指出這兩種方法存在的邏輯問題。然后，通過風洞試驗識別了平板斷面和長寬比為4的矩形斷面的顫振導數和氣動導納。最后，對利用上述兩種方法識別的氣動導納與風洞直接識別的結果進行了比較，討論了氣動導納與顫振導數是否存在轉化關系。

1 氣動導納與顫振導數的關系

對于鈍體的橋梁斷面，Scanlan等[17]最早提出了包含有六個顫振導數的氣動自激力表達式。隨后，Scanlan等[9]在此基礎上考慮了位移的影響，將自激升力和扭矩分別表示為

(1)

(2)

當物體處于湍流中時，來流中速度的脈動會使物體受到一個隨時間變化的力。用氣動導納修正的抖振升力和扭矩的表達式為

(3)

(4)

1.1 階躍函數等效推導的氣動導納

風洞試驗直接識別氣動導納面臨著湍流風場模擬、抖振力的測量、試驗數據處理等多種困難，因此Scanlan等提出利用試驗得到的顫振導數直接得到氣動導納的方法。下面對這種方法進行簡要的介紹。

(5)

在疊加原理成立的前提下，斷面受到的升力為

(6)

式中：φ為階躍升力函數；s=Ut/B為無量綱時間。

(7)

對上式做傅里葉變換可得

(8)

同時，不考慮與扭轉運動有關的項，對式(1)做傅里葉變換可得

(9)

假設式(8)和式(9)兩種氣動力的表達式是等價的，則有

(10)

現在考慮斷面穿過任意形式的豎向湍流w(t)，這時θ=w(t)/U，與式(7)類似，斷面受到的抖振升力為

(11)

式中：Ψ為Kussner形式的階躍升力函數。

對式(11)進行傅里葉變換可得

(12)

Scanlan假定φLh與ΨLw具有等效性，于是根據式(10)，上式可以寫為

(13)

式(13)的功率譜密度可以表示為

(14)

由式(3)表示的抖振升力的功率譜為(不考慮順風向脈動風的影響)

(15)

由式(14)和式(15)可以得到用顫振導數表示的氣動導納

(16)

同樣的道理可以得到用顫振導數表示的其它的氣動導納函數。

1.2 等效的Theodorsen函數表示的氣動導納

除了上述的方法以外，Hatanaka等通過等效的Theodorsen函數來推導氣動導納函數。這種方法的主要思路是是將式(17)所示的適合于機翼斷面的Theodorsen函數C(k)與Sears函數χs(k)的關系式應用到任意的斷面形式

χs(k)=[J0(k)-iJ1(k)]C(k)+iJ1(k)

(17)

式中：k=0.5K，J0，J1為0階和1階的第一類Bessel函數。

通過傅里葉變化，Garrick[18]得到了Theodorsen函數與階躍函數的關系式

(18)

根據式(10)可以得到顫振導數與階躍函數的關系

(19)

將式(19)代入式(18)可以得到等效的Theodorsen函數Ceq(k)，再根據式(17)就可以得到等效的氣動導納函數：

χeq,s(k)=[J0(k)-iJ1(k)]Ceq(k)+iJ1(k)

(20)

用等效的Theodorsen函數表示的氣動導納與Scanlan提出的方法一樣，只需要知道顫振導數就可以得到氣動導納函數。但是，這種方法在邏輯上也是不成立的。首先，式(17)的成立是嚴格建立在非定常氣動力可疊加的條件之上的。對于具有流動分離的橋梁斷面，式(17)不再成立。此外，Theodorsen函數的表達式為[19]

(21)

式中：Y0、Y1分別為第二類的0階和1階Bessel函數。J0、J1、Y0、Y1的表達式為

(22)

(23)

(24)

(25)

顯然，式(20)中的J0、J1也是C(k)的組成函數，也即如果Theodorsen函數變化則其組成部分的子函數都會變化。如果在鈍體橋梁斷面中用某種等效的Theodorsen函數Ceq(k)來描述其氣動性能，那么式(20)中的J0、J1沒有理由維持原來機翼理論中的形式不變。但遺憾的是J0、J1是不可能從顫振導數入手得到的。

2 顫振導數與氣動導納的直接試驗識別

本文節段模型強迫振動試驗與氣動導納試驗在湖南大學HD-2風洞試驗室的高速段進行，試驗段尺寸為高2.5 m×寬3.0 m。選取兩種斷面形式，分別為流線型的平板斷面和長寬比為4的矩形斷面。兩者的展向長度為154 cm，寬度為36 cm。對于強迫振動試驗，采用五分量天平測量斷面受到的氣動力，激光位移計記錄斷面的運動狀態。而對于氣動導納試驗，為了避免抖振力沿展向相關性的問題，采用了測壓試驗。沿斷面長度方向總共布置了3排測壓孔，其中兩端的測壓面各距模型兩端47 cm。平板斷面每個測壓面布置了64個測壓孔，矩形斷面每個測壓面布置了61個測壓孔，測壓孔的分布如圖1所示。矩形斷面的掃描閥放置在模型的內部，測壓管長度為30 cm。平板斷面由于斷面內部尺寸限制，掃描閥放置于模型的外部，最右側測壓面的測壓管長度為65 cm。值得一提的是，本文雖然布置了三個測壓面，但氣動導納的識別只需要用到一個測壓面的數據，統一選取最右側的斷面。強迫振動試驗中的平板模型，如圖2所示。

(a) 平板斷面

(b) 矩形斷面

2.1 顫振導數的試驗識別

HD-2風洞試驗室的節段模型三自由度強迫振動裝置既可以實現三個自由度的耦合運動也可以實現三個方向單自由度的運動，振動頻率在0.1～3 Hz范圍內可調，最大豎向振幅為±2 cm，最大扭轉振幅為±5°。本文采取單自由度識別方法，豎向運動振幅為2 cm，扭轉振幅為2°，振動頻率采用2 Hz。此外，為了得到更小折算風速下的顫振導數，低風速下的兩個工況采用3 Hz的振動頻率，這樣最終實現的最低折算風速vr=U/fB=1.1，對應于無量綱折算頻率K/2π=0.91。

圖2 風洞試驗中的平板模型

2.2 氣動導納的試驗識別

風洞試驗識別氣動導納的關鍵一步是湍流風場的模擬。從以往的文獻可以看出[23-24]，采用被動格柵模擬的湍流風場識別出的氣動導納，普遍因為缺少大尺度的漩渦導致識別的氣動導納反而在低頻處有向下的趨勢。這種現象顯然是不合理的。本文采用非均勻布置的格柵，并且加大格柵橫向和豎向的尺度。這樣做，一方面是因為非均勻布置的格柵可以對流場產生不同尺度的干擾，從而使湍流的能量分布在更寬的范圍內；另一方面，適當加大格柵兩個方向的斷面尺寸，可以在一定程度上提高流場的湍流積分尺度。經過調試，格柵置于模型斷面上游3.8 m的位置處，格柵的布置如圖5所示。從風洞底面開始，每道格柵之間的靜距分別為：70 cm、39 cm、38 cm、58 cm；三道格柵的尺寸分別為：22.5 cm×7.0 cm、7.5 cm×7.0 cm、15 cm×7.0 cm。節段模型固定在離風洞底面125 cm的位置處。

圖5 格柵布置示意圖

由于脈動風速和模型受到的抖振力都是隨機的，因此識別得到的氣動導納也是隨機的。為了便于比較且考慮到工程實際應用的需要，需要對結果進行預處理，以得到更加光滑的結果，這里采用盒式濾波的方法。平板斷面升力氣動導納濾波前濾波后的結果，如圖6所示。從圖6可以看到，雖然濾波后的結果比原始數據要光滑的多，但是在高頻范圍內仍然呈現出較大的波動，這是因為在整個頻率范圍內采用了均勻濾波的方式。為了降低高頻范圍內數據的波動，可以在高頻范圍內采用較大的濾波寬度，即非均勻濾波的方式。

圖6 濾波前和濾波后氣動導納的比較

圖7為平板斷面和B/D=4矩形斷面的氣動導納，同時給出了Sears函數作為對比。從圖中可以看出，平板斷面的氣動導納和Sears函數較為接近，而矩形斷面的氣動導納在低頻段明顯比Sears函數要大。

3 顫振導數與氣動導納關系的試驗驗證

在得到了風洞試驗識別的顫振導數和氣動導納后，下面由試驗顫振導數入手，根據第2節介紹的方法得到氣動導納并與直接識別的結果相比較。

(a)平板斷面(b)B/D=4矩形斷面

圖7 試驗識別的氣動導納

Fig.7 Aerodynamic admittances from wind tunnel tests

(a)平板斷面(b)B/D=4矩形斷面

圖8 顫振導數擬合

Fig.8 Polynomial fitting of the flutter derivatives

3.1 階躍函數等效推導的氣動導納的試驗驗證

利用式(16)得到的平板斷面和矩形斷面的氣動導納如圖9所示。從圖中可以看出，兩種斷面根據階躍函數等效推導的氣動導納在低頻范圍內與試驗識別的氣動導納較為接近，但是隨著折算頻率的增加，與試驗直接識別的結果的差距卻越來越大，最終都有趨向于一個極限值的趨勢。對于理想的二維薄機翼斷面，根據文獻[15]和[16]的分析可以知道，這個極限值為0.25。相比較而言，Sears氣動導納函數的極限特性卻為0，這就說明了為什么兩者的結果在高頻范圍內的差距越來越大。

正如上文所說，用Wagner函數來表示Kussner函數這種處理方式，忽略了代表物體柔性運動的高階運動模式，而這些高階運動模式可以用來表示脈動風沿斷面的分布。這種等效在低頻范圍內，即脈動風波長遠大于物體特征尺寸時是成立的。本文的結果也驗證了這個結論。

(a) 平板斷面

(b)矩形斷面

3.2 等效的Theodorsen函數表示的氣動導納的試驗驗證

利用式(20)得到的平板斷面和矩形斷面的氣動導納如圖10所示。從圖中可以看出，在低折算頻率范圍內，平板斷面和矩形斷面的氣動導納與試驗直接識別的氣動導納較為接近，在高頻范圍內差別較大。相比于根據階躍函數等效推導的氣動導納，由等效的Theodorsen函數表示的氣動導納與試驗直接識別的氣動導納在整體上趨勢一致，但是在高頻范圍內卻表現出一定程度的波動。與平板斷面相比較，矩形斷面氣動導納的波動更加劇烈。

從Hatanaka和Costa的結果同樣可以看出采用這種方法得到的結果存在波動。Costa在文獻[13]中給出的氣動導納處于K/2π=[0，0.5](實際的試驗數據在K/2π=[0.045，0.135]，在這范圍之外的數據根據外推法得到)，在觀察到高頻范圍的數據呈現下凹的趨勢后，Costa提出在低頻段采用等效Theodorsen法得到的氣動導納，而在高頻處采用Sears函數，這樣可以得到一個保守的估計。從本文的結果來看，對于平板斷面在K/2π=[0.2，0.5]，對于矩形斷面在K/2π=[0.3，0.4]之間確實存在一個下凹，但是這種下凹的趨勢顯然不是氣動導納真實的性質。很顯然，這種周期性的波動來源于Bessel函數的周期性變化。正如上文所提到的，Bessel函數既是Theodorsen函數的組成部分，也是式(20)關于Sears函數與Theodorsen函數關系式的組成部分。在采用某種等效的Theodorsen函數后，式(20)中的其它部分沒有理由保持不變。這種處理方法上的錯誤直接導致了識別的氣動導納表現出周期性的波動。

(a) 平板斷面

(b)矩形斷面

4 結 論

本文通過理論與試驗討論了兩類在橋梁風工程中較廣泛應用的氣動導納模型。這兩類模型均建立在已知顫振導數的基礎上，在形式上大大簡化了氣動導納的識別。根據本文的研究結果可得出以下主要結論：

(1) 通過等效階躍函數推導的氣動導納函數，因為忽略了高階運動模式，導致得到的氣動導納隨著折算頻率的增加而與試驗直接識別的氣動導納的差距也逐漸增大，并最終趨向于一個非零極限值。理論上，這種方法在低頻范圍內，即脈動風波長遠大于物體特征尺寸時是成立的。本文的試驗結果也驗證了這個結論。

(2) 根據等效的Theodorsen函數表示的氣動導納函數，在低頻范圍內也與直接試驗結果較為接近，但是在高頻范圍內卻表現出周期性的波動，而且對于鈍體的矩形斷面這種波動性更大。這種波動是由于采用了“等效”的Theodorsen函數來描述斷面的氣動性能時，原Theodorsen函數已經變化了，但仍讓其組成函數維持不變。顯然，這在邏輯上是不成立的。

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