找出魔術顏料

小五

1個玻璃杯：毫無懸念

一天，魔術師正準備登臺表演，在做最后的物品清點。忽然，他不小心將1瓶魔術顏料放進了裝有14瓶普通顏料的箱子里。這些顏料都是黃色的，把它們滴進水里，水會變成淡黃色。不過，魔術顏料有其獨特之處：水起初是淡黃色，但2分鐘后，水會變成神秘的黑色。

魔術顏料可是魔術師表演時的秘密武器之一，但現在與普通顏料混淆了。魔術師只能通過測試的方法，把那瓶魔術顏料找出來。然而，登臺時間就要到了，時間緊迫，他找來了4個玻璃杯，希望僅花2分鐘時間就可以找出那瓶魔術顏料。

魔術師這個希望可以實現嗎？4個裝了清水的玻璃杯，僅2分鐘時間，能檢測15瓶顏料嗎？

回答問題前，我們不妨先來看只有1個玻璃杯時的情況。

如果魔術師只有1個玻璃杯，毫無疑問，肯定是不能找出魔術顏料的。2分鐘，1個玻璃杯只能檢測1瓶顏料。我們可以根據玻璃杯內的液體是否變色，來判斷那瓶顏料是普通顏料還是魔術顏料。

2分鐘后，依然是淡黃色，說明是普通顏料；

2分鐘后，變成黑色，說明是魔術顏料。

非常簡單、清楚。接下來，我們試著將玻璃杯的數目增加到2。

2個玻璃杯：開始復雜

1個玻璃杯可以檢測1瓶顏料，那么2個呢？如果答案是2瓶，那也太沒有挑戰性了吧！事實上，2個玻璃杯可以檢測3瓶顏料。這個問題需要你稍稍轉一下腦筋。

首先，我們給2個裝有清水的玻璃杯編號，分別命名為A玻璃杯和B玻璃杯。

隨后，我們先給A玻璃杯滴一滴1號瓶顏料，然后給B玻璃杯滴一滴2號瓶顏料。之后，我們拿起3號瓶顏料，分別往A、B玻璃杯里各滴上一滴，也就是這樣（“+”代表加入）：

假如1號是魔術顏料，那么2分鐘后，加入了1號顏料的液體會變黑，也就是說A玻璃杯的液體會變黑；假如2號是魔術顏料，那么2分鐘后，變黑的是B玻璃杯的液體。如果3號才是魔術顏料，那么2個玻璃杯的液體都會變黑。

結論：2個玻璃杯可以檢測3瓶顏料！

3個玻璃杯：突破極限

現在我們拿到了3個玻璃杯，先按剛剛的方法往3個杯子里滴加顏料：

這個方法是可行的，我們可以羅列出4種可能的結果：

但是，你再仔細研究一下，會不會感覺有些不妥，或者不甘心？3個玻璃杯的變色情況，真的只有4種嗎？

我們列舉了一個玻璃杯的液體變黑和所有玻璃杯液體變黑的情況，那么有沒有其中某兩個玻璃杯液體變黑的情況呢？

答案是有的。也許有的同學已經想到了：

對于這3個玻璃杯，我們可以像2個玻璃杯時那樣，給它們兩兩滴加同樣的顏料。可以這樣安排：

你沒有看錯，每個玻璃杯里要滴加4種顏料！其中1～4號瓶顏料的分配和前面的方案是一樣的，只有5、6、7號瓶是新增加的。根據變色情況，我們將得到7種可能的結果：

結論：3個玻璃杯可以檢測7瓶顏料！

完美的超級實驗

其實總結起來大家會發現，我們采用了如下策略進行檢測：

給每個玻璃杯里滴加單獨的1瓶顏料；

給玻璃杯中的每2個滴加1瓶新的顏料；

給玻璃杯中的每3個滴加1瓶新的顏料；

……

給所有玻璃杯都滴加同1瓶新的顏料。

為什么要這樣檢測？想必你很想知道其中的原理。

我們把前面得出的結論再次貼出：

1個玻璃杯檢測1瓶顏料；

2個玻璃杯檢測3瓶顏料；

3個玻璃杯檢測7瓶顏料。

羅列完畢！觀察數字，并結合我們的檢測策略，我們可以推測得到這樣的結論：n個玻璃杯可以檢測（2n-1）瓶顏料。現在，大家可以用前面的方法進行檢測，看看4個玻璃杯能給我們帶來怎樣的驚喜。

現在我們回到最初的問題，魔術師可以完成看似不可能完成的任務嗎？當然可以！只要他手腳麻利、思維清晰，他就可以在2分鐘內找出那瓶調皮的魔術顏料，順利登臺演出。

結論：4個玻璃杯能檢測15瓶顏料！