一種酉權重量子感知機

周曉彥,嵇福高,劉文杰,安星星,潘道蒙

1(江蘇省氣象傳感網技術工程中心,南京 210044) 2(江蘇省大氣環境與裝備技術協同創新中心,南京 210044) 3(南京信息工程大學 電子與信息工程學院,南京 210044) 4(南京信息工程大學 計算機與軟件學院,南京 210044)

1 引 言

現有的量子神經網絡模型分為四種不同的實現方法[6]:(1)量子測量取代階躍函數;(2)量子線路模擬經典神經網絡;(3)量子感知機;(4)量子點相互作用建立量子神經網絡模型.在本文中,聚焦于第3種方法,即采用量子機制對感知機算法進行設計和改進.

2001年,Altaisky[7]首次提出量子感知機模型,克服了經典感知機無法解決的問題.他的量子感知機模型的輸出為:

(1)

本文剩下內容組織如下:第2節相關知識準備;第3節提出本文的量子感知機算法并進行實例分析;最后對本文內容總結.

2 知識準備

2.1 量子比特

在經典計算中,經典比特采用二進制數0或1表示.與經典計算不同,量子比特是兩個基態(|0〉和|1〉)的任意線性組合,

|Ψ〉=α|0〉+β|1〉

(2)

2.2 經典感知機

1958年,Rosenblatt[12]首次提出了經典感知機.經典感知機是二分類的線性可分模型,由兩層神經元組成,輸入層神經元用來接收外界輸入信號并傳送給輸出層,輸出層是M-P神經元.在M-P神經元模型中,神經元接收外界N個其他神經元xj通過帶權重wj的連接傳送過來的輸入信號,然后通過激活函數f(x)處理,最終得到神經元的輸出y.神經元輸出y為:

(3)

感知機學習規則比較簡單,對于訓練實例(x,d),若當前的感知機訓練得到預測結果為y,則感知機的權重學習規則為:

wj(t+1)=wj(t)+η(d-y)xj

(4)

其中η∈(0,1)稱為學習效率.從公式(4)可知,當神經元預測結果與訓練實例一致時,則感知機不發生變化,否則需要進行權重調整.

2.3 奇異值分解

任意矩形矩陣A,都可以分解三個矩陣滿足:

A=UΣVT

(5)

其中U是酉矩陣,即UU+=U+U=I(單位矩陣),Σ是對角陣(對角線的元素是A的奇異值),V是酉矩陣,即VV+=V+V=I(單位矩陣).

3 基于酉權重的量子感知機算法

3.1 算法過程

量子感知機算法通過一步迭代和保持量子計算權重的酉性來進行訓練學習,最終得到正確的訓練結果.具體算法流程如下:

算法準備:先準備N個訓練算例:

{(|x1〉},|y1〉),(|x2〉,|y2〉),…(|xj〉,|yj〉),…,(|xN〉,|yN〉)}

1)求輸入|xj〉的共軛轉置:

|xj〉+=〈xj|

(6)

(7)

(8)

5)得到量子感知機的形式為:

(9)

3.2 實例驗證

一個任意量子門可以由Hadamard門、相位門、受控非門、π/8門組成[13].我們將選擇這些門來驗證所提量子感知機算法的正確性.與Seow等人所提出的量子感知機模型[11]不同,我們選擇的算例是非理想化的,即考慮到超完備與欠完備兩種情形.此外,我們選擇了一個由多個量子門構成的組合門作為實例,對算法的通用性進行了進一步驗證.

1)Hadamard門

實例1.(超完備):假設算例為:

(a=1,b=2)

感知機訓練:根據3.1算法過程,首先,應用公式(6)計算輸入|xj〉的共軛轉置,并通過公式(7)求解

修正后的結果為:

最后,得到量子感知機的形式為:

正確性驗證:利用得到的量子感知機對各種輸入進行驗證計算,即,判斷|youtput〉是否為對應算例的預期輸出.

|y1〉

|y2〉

實例2.(欠完備):假設算例為:

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證:

2)相位門

實例3.(超完備):假設算例為:

|x1〉=|0〉,|y1〉=|0〉

|x2〉=|1〉,|y2〉=i|1〉

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證:

實例4.(欠完備):假設算例為:

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證:

3)受控非門

實例5.(超完備):假設算例為:

|x1〉=|00〉,|y1〉=|00〉

|x2〉=|01〉,|y2〉=|01〉

|x3〉=|10〉,|y3〉=|11〉

|x4〉=|11〉,|y4〉=|10〉

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證:

實例6.(欠完備):假設算例為:

|x1〉=|00〉,|y1〉=|00〉

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證：

4)π/8門

實例7.(超完備):假設算例為:

|x1〉=|0〉,|y1〉=|0〉

|x2〉=|1〉,|y2〉=eiπ/4|1〉

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證:

實例8.(欠完備):假設算例為:

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到子感知機為:

正確性驗證：

5)組合門

為了驗證所提出的量子感知機算法適用于多個門的組合計算,我們將Hadamard門、相位門、受控非門、π/8門進行組合,構造出一個組合門(如圖1所示),通過對該組合門進行訓練學習,來驗證算法的通用性.

圖1 組合門量子線路Fig.1 Quantum circuit of the composite gate

實例9.假設算例為:

感知機訓練:同樣通過3.1算法步驟進行訓練學習,最終得到量子感知機為:

正確性驗證:

4 結束語

利用量子計算來解決人工網絡的具體問題,一個基本規則就是不能破壞量子力學本身固有的屬性,即激活算子和權重矩陣的酉性.本文提出的量子感知機的算法是酉性權重矩陣的,且具有以下優點,(1)通過分析計算參數使權重保持酉性,不需要多次迭代學習,就能得到正確結果;(2)該量子感知機能夠實現Hadamard門、相位門、受控非門、π/8門等基本量子門功能.此外,通過對多個量子門構成的組合門進行訓練學習,進一步驗證該算法的通用性.我們下一步工作將基于該量子感知機研究更為復雜的量子神經網絡.

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附中文參考文獻：

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