關于微分教學的幾點思考

舒斯會

摘 要：微分是微積分的兩個核心內容之一，文章作者根據多年微積分課程的教學實踐，探討了微分與導數的關系，提出了關于微分教學的幾點思考和建議，旨在為廣大教學同行提供一些有價值的參考。

關鍵詞：微積分；微分；導數；微分模型

中圖分類號：G642

文獻標識碼：A

一、微分與導數是兩個不同的概念

雖然導數與微分的相互轉化，可以得到可導一定可微，可微也一定可導，但它們不是一個完全相同的概念。第一，兩定義的出發點不同。導數是通過切線斜率和瞬時速度計算導出的極限式，導數得到的是一個函數。而微分是函數增量的線性近似，微分強調微分式的總體性，討論某一點的微分意義不大，所以講課時應盡量避免，微分概念更體現微積分思想方法——無限細分、近似、取極限。第二，它們的應用方式有區別。導數作為函數應用非常廣，如判斷函數的單調性、求切線、求極值等。而微分的主要的應用不應該是近似計算，用微分近似計算誤差大而且還不能控制誤差，微分的主要應用應該是建立實際問題的微分模型。所以我們建議在微分教學中，重點講微分模型的建立和應用。第三，微分和不定積分是互為逆運算，微分是為了積分。因此，我們建議最好用微分來定義不定積分，而不是用導數。

二、微分與導數同等重要

在絕大多數微積分教材中，導數占很大篇幅，而微分只占很小篇幅，這給人感覺微分是導數的附屬品。其實微分和導數一樣同等重要，微分更體現微積分思想，微分對后面的定積分微元法理解起決定性作用。實際問題中的微分模型的建立更體現微分的本質和重要性，所以我們建議把微分模型的建立及應用作為微分的主要內容來講。