基于Gompertz模型的相滲關系表征研究

2018-03-26 07:23:28劉西雷王玉環王可君陳明銘吳光煥

石油地質與工程 2018年1期

劉西雷，王玉環，王可君，陳明銘，吳光煥

（中國石化勝利油田分公司勘探開發研究院，山東東營 257015）

相對滲透率曲線是研究油層多相滲流的基礎數據之一，其應用十分廣泛[1-7]。相滲關系表征主要描述油層各相流體相對滲透率與流體飽和度之間的關系[1-3]，是油水滲流規律研究工作中的一個重要內容，尤其是在油藏工程、水驅油理論以及油藏數值模擬計算等領域應用十分廣泛[1-10]。目前，對于油水兩相儲層而言，其相滲關系表征主要是通過巖心樣品的室內油水相對滲透率實驗數據擬合得到，認為油水相對滲透率之比與含水飽和度指數式呈線性關系[1-11]。但是，由于擬合模型的精度所限，以往的擬合方法在特低含水飽和度和特高含水飽和度時期相滲關系表征誤差較大，因而造成在這兩個階段油藏工程計算分析、數值模擬歷史擬合等方面出現較大誤差等問題[11-16]。本文通過重新分析大量實驗數據，以水濕巖石油水兩相滲流為例，提出了一種新的油水相滲與含水飽和度之間的函數表征關系，以期解決上述問題，提高油藏工程計算和數值模擬的預測精度。

1 傳統油水相滲與含水飽和度關系

傳統油層物理學認為，在半對數坐標系中，油水相對滲透率比值 kkrwro與含水飽和度 wS關系曲線如圖1所示，曲線中間主體段是直線，由于這一直線段正好是礦場實際中常用的范圍，于是認為該直線段可以表示為：

式中：rok 為原油相對滲透率；rwk 為地層水相對滲透率； wS為含水飽和度；m，n為常數，由直線段的截距、斜率求出。

圖1 傳統相對滲透率之比與含水飽和度關系

這一直線關系在油田中-高含水階段具有很好的適應性，但是當含水飽和度處于特低值和特高值時，實際的油水相滲比與含水飽和度的半對數函數關系已明顯偏離直線，呈現出非線性關系特征，傳統的擬合計算公式已不再適用。

為了準確描述這種非線性關系，需要建立油水相滲與含水飽和度新的函數表征關系式，使其更符合特低含水飽和度和特高含水飽和度時油藏實際生產狀況[7]。

2 基于Gompertz模型的相滲關系表征

2.1 Gompertz模型

Gompertz模型是英國統計學家和數學家Gompertz于1973年提出的一種S形生長曲線模型。它適用性廣、覆蓋性強，在生物學、生態學、人口學、經濟學和工程學等方面應用廣泛[17-18]。其兩參數Gompertz函數為：

式中：y為兩參數Gompertz函數；x為自變量；a，b為待定常數，a大于0。

該函數具有以下特征：當x趨向于負無窮時，y亦趨向于0，當x趨向于正無窮時，y則趨向于1，即：

同時，對式（2）兩邊取自然對數，可得：

由式（6）可以看出，兩參數Gompertz函數y的雙自然對數形式 - l n(- l n y )與x之間具有線性關系。

2.2 改進的相滲關系表征方法

對巖心樣品相滲實驗數據分析時，為了避免不同區塊束縛水飽和度和殘余油飽和度數值不同的影響，需對實驗數據中的含水飽和度 Sw和含油飽和度Sο進行標準化處理[19-20]，即：

式中： S w c為束縛水飽和度； S or為殘余油飽和度；Swn為標準化后的含水飽和度；Son為標準化后的含油飽和度。

通過對大量的巖心樣品相滲實驗數據的分析，發現將兩參數Gompertz函數中x替換為原油相對滲透率與地層水相對滲透率的比值的自然對數ln(krokrw)，y替換為標準化后的含油飽和度 Son，其雙重自然對數形式 - ln(-ln S on)與ln(krokrw)之間存在明顯的線性關系（圖 2）。以此為基礎，基于Gompertz模型提出了新的相滲關系表征函數，其表達式為：

該相滲關系表征函數具有以下特點：當 krokrw趨向于0時， ln (krokrw)趨向于負無窮， Son亦趨向于0；當kro/krw趨向于正無窮時， ln (krokrw)趨向于正無窮， Son則趨向于1，即：

式（10）和式（11）符合相滲關系表征函數的極限條件，可通過該模型對相滲關系進行表征。

圖2 基于Gompertz模型的含水飽和度與相對滲透率之比的關系

由圖2可見，不同區塊的水、油相對滲透率比值的自然對數 ln (krokrw)與標準化后的含水飽和度Son的雙重自然對數表達式 - l n(- l n S on )具有良好的線性關系。

對于孤島油田中二中Ng3油層：

對于樂安油田草109塊Es3油層：

對于孤東油田九區Ng5油層：

其相關系數R2為均大于0.990 0，相關性良好，說明了兩參數Gompertz函數能較好地表征相對滲透率與含水飽和度之間的關系。通過改進的基于Gompertz模型的相滲關系新的表征方法，不僅在特高含水飽和度階段具有很好的適應性，而且在特低含水飽和度階段仍具有相當高的預測精度，更符合油藏實際生產狀況。

3 改進的水相分流率曲線公式

由上文可知，基于Gompertz模型的油、水相對滲透率比值 ( krokrw)與標準化后的含水飽和度 Son之間的關系式可以通過式（18）解出，其表達式為：

在一維條件下，忽略毛管壓力和重力的作用，根據達西定律可以得到水相分流率曲線表達式：

式中：wf為含水率；ομ為原油粘度，mPa·s；wμ為地層水黏度，mPa·s。

將式（18）代入式（19），可以得出基于Gompertz模型的分流量方程含水率 wf新的表達式：

已知ομ，wμ，A和B，利用式（20），即可求出含水率 wf，進而提高其預測精度，指導油田開發實踐。

4 應用效果分析

以上文提到的孤島油田中二中Ng3油層中30-檢18井和孤東油田九區Ng5油層孤東9-檢1井的巖心相對滲透率實驗數據為例，應用基于Gompertz模型推導的相滲分流量方程計算含水率 wf，與傳統油層物理學相滲分流量方程計算的含水率 wf做比較，二者計算結果與實際實驗數據對比分析如下。

4.1 孤島油田中二中Ng3油層

中30-檢18井取心目的層位為Ng3油層，其相滲實驗原油黏度ομ=57.76 mPa·s，地層水黏度wμ=0.582 mPa·s。某樣品相滲實驗數據如（表1）所示。

表1 中30-檢18井Ng3相對滲透率實驗數據

根據表1實驗數據，利用Gompertz函數模型，通過線性擬合回歸，可得式（18）的待定系數a=0.332 6，b=-0.099 5，計算A=0.741 4，B=3.006 6，最終得到基于 Gompertz模型的相滲關系新的表征方法推導的相滲分流量方程為：

而依據傳統油層物理方法，可得出的相滲分流量方程為：

4.2 樂安油田草109塊Es3油層

草109井取心目的層位為Es3油層，相滲實驗用原油黏度ομ=59.65 mPa·s，地層水黏度wμ=0.582 0 mPa·s。根據相滲實驗數據，利用Gompertz函數模型，通過線性擬合回歸，可得到式（18）待定系數a=0.382 7，b=-0.120 8，可計算A=0.729 3，B=2.613 0，最終得到基于Gompertz模型的相滲關系新的表征方法推導的相滲分流量方程為：