代數方法在幾何證題中的應用

范 偉

（福建省南平市教師進修學院，福建 南平）

代數、幾何、三角知識的綜合運用能力是考查學生數學核心素養的重要指標，也是中學數學教學研究的一項重要課題。本文希望通過一些具體實例的研究，就幾何證題中運用代數方法的某些類型提出探討。

一、用方程法證明幾何命題

在幾何證題中，經常遇到這樣的題目，題中的各個幾何量的關系都已找出，但這些關系交叉錯雜，很難理出頭緒，總覺得推理論證中思路不夠清晰。要是學生能將已知的幾何量之間的關系，用一系列的等式表示出來。用列方程（或方程組）的方法加以整理和變形，就能找出它們的內在聯系。

例1.在Rt△ABC中，D、E是斜邊AB上兩點，且AD=AC，BC=BE，又 EF⊥CD，F 為垂足，求證：EF=CF。

分析與證明：題中有若干等腰三角形、直角三角形，因此存在相等、互余、內外角關系等，這些關系交錯紛紜，初中生剛接觸幾何證明題，容易搞成一團亂麻，將這些關系列成一組等式，情況就清楚了。如圖 1，欲證 EF=CF，只需證∠ECF=∠CEF=45°。設∠ECF為∠α，∠CEF 為∠β，有：

∠1+∠α+∠2=90° ①

∠α+∠2=∠β+∠3 ②

∠β+∠3=∠A+∠1 ③

∠1+∠α=∠4 ④

∠4=∠B+∠2 ⑤

∠A+∠B=90° ⑥

圖1

在這組等式中，等式①與等式⑥是等價的，只要用一個就可以了，這也是運用方程法時經常遇到的問題。在五個等式里，仿照解方程組的方法消去∠α，∠β的幾何量，就可以得出∠α與∠β的關系：

由④⑤得∠1+∠α=∠B+∠2；由②③得∠α+∠2=∠A+∠1。則 2∠α+∠1+∠2=∠B+∠2+∠A+∠1，所以 2∠α=∠A+∠B=90°，所以∠α=45°=∠β。

運用方程法解幾何題對培養學生邏輯推理能力，抓住事物的本質，能夠判別出哪些條件是必要的，哪些是多余的，哪些是獨立的，哪些是重復的？這種能力對他們將來的學習是很有幫助的。

二、用反證法證明幾何命題

反證法(又稱歸謬法)屬于間接證明方法。當證明“若A則B”很困難甚至不可能時，先提出和結論相反的假設，再根據這個假定推導出和條件、定理、公式相矛盾的結果來，從而否定了該假設，得到結論。

例2.試證明不存在格點正三角形。

證：（反證法）設△ABC為三頂點在格點上的正三角形，如圖2建立坐標系。有 A（0，0），B（x1，y1），C（x2，y2）,其中（x1，y1），（x2，y2）均為有序整數對。

由于 x1，y1，x2，y2均為整數，而整數的有限次四則運算結果為有理數，而△ABC為正三角形，

圖2

從數學思想角度看，反證法即為證偽法，反證思想表現為反例法。比如：兩個互為反函數的函數的公共點，都在直線y=x上嗎？舉y=b-x等反函數為自身的反例即可。

在這個例子中結合了初等數論知識，綜合運用坐標法、反證法解決問題，對培養學生邏輯思維能力、積累具體的解決問題經驗、促進學科核心素養的形成具有重要作用。

三、用向量代數證明幾何命題

向量是既有方向又有大小的量，因此向量具有幾何與代數的雙重身份。用向量代數解決幾何問題，對培養學生數形結合、數學抽象和直觀想象能力都很有幫助。

數形結合包括由形到數、由形到形和由數到形。在中高考中，針對選擇題和填空題的特點，重點檢查學生將數量關系問題轉化為幾何圖形問題來解決的能力。而在解答題中，考慮到推理論證的嚴密性，對數量關系問題的研究仍突出代數的方法，其對數形結合思想的考查以由形到數為主。

分析與證明：這是典型的數形結合問題。如圖3

圖3

用代數方法證明幾何命題時，重在挖掘圖形中隱藏的數量關系。應注意數量結構中蘊涵的距離、角度、面積、斜率的幾何意義，數量關系中蘊含的位置關系，數量結構中蘊涵的圖象截取，以及曲線性質中的幾何關系。問題解決時應從代數、三角、幾何知識中擇其所要，相互為用。