簡單化處理
——數學的不懈追求

趙 剛

（山東淄博第四中學，山東 淄博）

我們都知道愛迪生測量燈泡容積的故事，故事的內容不再贅述.這個故事告訴我們：可以把一個相對復雜的問題進行簡單化處理.如何對一個復雜的問題進行簡單化處理，彰顯的是我們對復雜問題本質的理解與把握.同時自然科學研究的最高使命是從繁雜中整理出秩序，秩序就意味著真理，意味著簡潔.簡單性是科學工作者一貫追求的目標.正如莎士比亞所說：“簡潔是智慧的靈魂，冗長是膚淺的藻飾.”

那么在高中數學學習的過程中，“簡單化處理”能帶給我們哪些啟示呢？

一、數學學習中的“簡單化處理”

“簡單化處理”應孕育在平時的潛移默化的教學之中，只有教師不失時機地引導學生去領悟教材如何對一些數學內容進行“簡單化處理”，才能讓學生感悟到“簡單化處理”的意義和作用，通過“簡單化處理”使學生更加明確要掌握數學學習的本質，提高數學學科的核心素養.我們從課本中的幾處定義說起.

1.異面直線所成的角（或夾角）

異面直線所成的角（或夾角）的定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點 O，作直線 a′∥a，b′∥b 我們把 a′與 b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.在這個定義中，O點是空間中任意一點，既然任意，所以課本才有下面一段話！

為了簡便（即簡單化處理），點O常取在兩條異面直線中的一條上.正因為這樣，我們在求解兩條異面直線所成角時，對點O的處理本著簡單化原則進行處理.

2.任意角的三角函數

人教A版必修四是這樣定義“任意角的三角函數”的.

設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么

（1）y叫做 α 的正弦，記作 sinα，即 sinα=y；

（2）x叫做 α 的余弦，記作 cosα，即 cosα=x；

在課本的這個定義中，為什么引進單位圓？引進單位圓的意義是什么？課本都沒有交代.

任意角的三角函數應這樣定義比較好：

設α是一個任意角，在它終邊上任取一點P（x，y），這個點P（x，y）到原點O的距離記為r，則那么有（x≠0）.又因為 P（x，y）為角 α 終邊上任意一點，既然任意，為了簡單——數學所追求的境界，取r=1，這樣就有sinα=y、cosα=x.并且這樣理解以后，也就能理解課本中關于正切線的定義了——也是為了“簡單”，取了“x=1”.

二、數學思維中的“簡單化處理”

面對繁雜的數學問題，如何透過現象看到問題本質，對問題做簡單化處理，不僅是正確、迅速解題的需要和保證，而且是優化思維品質、領悟數學精神、提高創新能力的有效途徑.對學生來說，則是一種對所學知識的靈活運用和高超駕馭基礎上的創新，是一種精神的升華和對數學美的追求.

1.平面向量

平面內有無數多個向量，我們不可能一一進行研究，那該如何處理呢？這就是平面向量的基本定理，即我們可以把平面內無數多個向量進行簡單化處理，轉化為平面內不共線的兩個向量即可.即我們在用向量知識與方法處理數學問題時，做的第一件事就是建立一組基底，還要注意基底的最高境界是單位正交基底——平面直角坐標系.

例 1.在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1．D 是邊 BC 上的一點，DC=2BD，則=_______．

由于 D 是邊 BC 上的一點，且 DC=2BD，所以有故而這樣

此題還可以建立直角坐標系——基底的最高境界，利用坐標的運算解決問題，請讀者自己給出.

2.解析幾何

解析幾何的問題做一簡單化處理就是可以把它濃縮成三種交點：即直線與直線交點；直線與圓錐曲線交點；圓錐曲線間的交點.對于這三種交點我們會采取不同的策略來處理.

對于直線與直線交點，我們的處理策略是將直線方程聯立，解出交點坐標；對于直線與圓錐曲線的交點，我們的處理策略采用大家都非常熟悉的“設而不求”的處理策略。下面通過例題說一說圓錐曲線間的交點處理策略.

解析：橢圓與雙曲線的交點P就其本意而言，我們應該將其方程組成方程組從中求出P的坐標，再利用P的坐標和F1、F2的坐標，求∠cosF1PF2的大小.

當然了，這樣做無可厚非，只是過程復雜了一點.

但這個題我們并不需要這樣做，只是將交點P看成是橢圓和雙曲線上的點來使用即可.

所以在碰到有關圓錐曲線間的交點問題時，交點坐標是不需要求的，只是將交點分別看成是圓錐曲線上的點即可.

總之，數學教學不僅要善于引導學生探索知識內部錯綜復雜的細節，認知知識核心及其整體結構，還要善于引導學生領悟將復雜的數學問題進行簡單化處理的數學思想和策略智慧，帶領學生達到鳥瞰數學的境界．