巧解多面體內切球和外接球問題

韓曉娟

（甘肅省岷縣第一中學，甘肅 定西）

多面體的內切球和外接球問題是一直困擾廣大高考考生的一個難點，又是高考的熱點，如何快速簡單地解決這個問題呢？下面談談我的幾點認識。

巧解一：用特殊圖形體對角線求直徑

1.與正方體或長方體的外接球的有關問題

題1.一個長寬高長分別為3、4、5的長方體，它的外接球的表面積為__________。

2.棱柱的外接球與內切球的問題

題2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球 O 的半徑為_____。

圖1

解析：如圖1所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M。

3.正棱錐的外接球與內切球的問題

題3.已知棱長為a的正四面體，則此正四面體的內切球的表面積為_____________。

解析：如圖2正四面體中，M為頂點P在下底面的射影，也就是底面三角形ABC的重心，

圖2

題4.已知側棱和底面邊長都是3的正四棱錐，則其外接球的半徑是多少？

解析：依題意，過頂點P做下底面的垂線，垂足為M,則外接球的球心在線段PM上，設為O點，連接OA,在RT△OMA中，OM=PM-R=3-R，MA=3，又OA2=OM2+MA2，解得：R=3

巧解二：補形法（出現相互垂直的“墻角”時，可補形為正方體或長方體）

巧解思路：如果在一個三棱錐中，同一頂點處有三條互相垂直的側棱，就可以將這個三棱錐補形成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑。出現互相垂直的三條共點棱或互相垂直的三個共點面結構時用補形方法，聯系長方體可將復雜的問題巧妙轉化為簡單問題從而輕松解決。

題5.如圖3為某四棱錐的三視圖，則求該四棱錐的外接球的表面積為___________

圖3

解析：由三視圖可得該幾何體為一條側棱垂直于下底面的四棱錐，且下底面為正方形，由此可從該棱垂足處的三條相互垂直的棱將該四棱錐補形成長方體，所以該長方體的外接球也是原四棱錐的外接球，又直徑=所以半徑所以外接球表面積S=

巧解三：由多面體體積和表面積利用公式求內切球半徑

題6.已知某幾何體的三視圖如圖4所示，則該幾何體內切球的表面積為________________

圖4

巧解思路：將一個三棱錐按內切球球心與各定點連線可分成四個等高的小三棱錐，高都為內切球的半徑，而四個底則為原三棱錐四個側面，由四個小三棱錐的體積和為大三棱錐體積，可得公式由此可直接求得內切球半徑。此方法適合表面積和體積易求的三棱錐中。

相信有了這些解題思路和方法，多邊形的內切球和外接球再也不是困擾大家的難題了！