向量法在求二面角中的應(yīng)用

后小君

（甘肅省岷縣第一中學(xué)，甘肅 定西）

一、二面角的兩個(gè)半平面的法向量的夾角與二面角的關(guān)系

1.確定法向量的指向

圖1

圖2

圖3

2.確定兩個(gè)法向量的夾角與二面角的關(guān)系

如圖1，當(dāng)兩個(gè)法向量一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，一個(gè)指向二面角的內(nèi)部時(shí)，法向量的夾角就是二面角；如圖2和圖3，當(dāng)兩個(gè)法向量都指向內(nèi)或者都指向外時(shí)，法向量的夾角就是二面角的補(bǔ)角。

二、法向量在求二面角中的應(yīng)用

求二面角的大小或二面角的余弦值：當(dāng)二面角為銳二面角時(shí)，二面角的余弦值為正值，當(dāng)二面角為鈍二面角時(shí)，二面角的余弦值為負(fù)值，二面角和它的補(bǔ)角的余弦值不相等。用向量法解決這類型題時(shí)需判斷法向量的指向以保證兩向量的夾角就是二面角。

例1.【2017全國1卷（理）】如圖4所示，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD。

（2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值。

【解析】（1）證明：因?yàn)椤螧AP=∠CDP=90°，所以 PA⊥AB，PD⊥CD。

圖4

又因?yàn)锳B∥CD，所以PD⊥AB，又因?yàn)?PD∩PA=P，PD、PA?平面PAD，所以 AB⊥平面 PAD，又 AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD。

（2）取 AD中點(diǎn) O，BC 中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)PO，OE，

由（1）知，AB⊥平面 PAD，所以O(shè)E⊥平面PAD，

又PO、AD?平面PAD，所以O(shè)E⊥PO，OE⊥AD。

又因?yàn)镻A=PD，所以PO⊥AD，所以PO、OE、AD兩兩垂直，

所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖5，所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz

圖5

設(shè) n=（x，y，z）為平面 PBC 的法向量，

因?yàn)椤螦PD=90°，所以 PD⊥PA，又知 AB⊥平面 PAD，PD?

平面PAD，所以PD⊥AB，又PA∩AB=A，所以PD⊥平面PAB，

點(diǎn)評：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意判斷兩個(gè)法向量的方向，確保一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)指向二面角的外部，此時(shí)兩向量的夾角就是二面角的大小。

例2.如圖6，在三棱臺ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面 ABC，AB=2A1B1=2CC1M，N分別為AC，BC的中點(diǎn)。若AB⊥BC且AB=BC，求二面角C-MC1-N的大小。

圖7

【解析】 由CC1⊥平面ABC，可得A1M⊥平面 ABC，而 AB⊥BC，AB=BC，則MB⊥AC，所以 MA，MB，MA1兩兩垂直，故以點(diǎn) M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA，MB，MA1所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系。

設(shè) AB=2，則 A1B1=CC1=1

則平面ACC1A的一個(gè)法向量為（指向二面角內(nèi)部）

設(shè)平面C1MN的法向量為則即取 x2=1，則

點(diǎn)評：注意某些平面的法向量在條件中隱含，不用單獨(dú)求，取該平面的法向量時(shí)和另一個(gè)平面的法向量指向不同即可。

書中一直提倡用觀察法判斷二面角的大小是鈍角還是銳角，難免存在一些因視角問題而產(chǎn)生的錯誤，而很多老師和學(xué)生常常對于這一問題上往往忽視它的重要性，但是我們應(yīng)該認(rèn)識到數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，更是一門科學(xué)，要求的是簡潔性與準(zhǔn)確性，所以，研究這一性質(zhì)是非常重要的。