基于建構(gòu)，提升認知策略
——以“點到直線的距離”為例

李慧敏，夏雪蘭

(無錫衛(wèi)生高等職業(yè)技術(shù)學校，江蘇 無錫 214000)

0 引言

讓學生主動參與數(shù)學公式推理的建構(gòu)過程，培養(yǎng)學生的認知策略，是數(shù)學教育所要實現(xiàn)的重要教學目標之一。作者在執(zhí)教“點到直線距離”課程時，進行了以下的探索與思考。

從認知基礎(chǔ)看，學生對點、線的幾何和代數(shù)表示以及兩點間距離公式都很熟悉，雖然本課中的公式推導運算繁瑣，但公式推廣應用比較簡單，所以如何調(diào)動學生積極探索公式的形成則成為教學的一個難點。

從本節(jié)課內(nèi)容來看，點到直線的距離公式是研究點與線、線與線，以及線與圓位置關(guān)系的橋梁，在本章起到承上啟下的作用，因此學好本節(jié)內(nèi)容，對后面的學習將起到事半功倍的效果。

從課型種類看，本課是命題課，對以后教學中的命題課公式推導具有一定的借鑒和指導意義。如：本課通過一個實際問題為起點，啟發(fā)學生找到解決問題的關(guān)鍵：

要求PQ的長，需求Q的坐標→要求Q的坐標，

需求PQ的方程→要求PQ的方程，

須知PQ的斜率→要求PQ的斜率，

須知直線l的斜率。

這些解決問題的思維活動帶有元認知的特點，具有普適性，是教學的一個重點。

1 教學過程

1.1 溫故知新

師：請同學們回憶一下兩點間的距離公式，如何判斷兩直線的位置關(guān)系？

設計意圖：這些內(nèi)容對本節(jié)課的學習起到先行組織者的作用，幫助學生找到知識生長點，有利于學生在此基礎(chǔ)上構(gòu)建新知識，體驗數(shù)學知識生長演變歷程。

1.2 新知探究

師生活動：做一個設計師。

問題1： 在一條高速公路附近有一家大型超市,為了使超市到高速公路的運輸費用最低,要鋪一條連接超市和高速公路的道路。請同學們設計一下，怎樣鋪路可以使運輸?shù)馁M用最低?

生1：這實際上是一個求點到線的最短距離問題，距離最短，費用最短。作垂線段，并求之。

師：我們把這個實際問題抽象為一個數(shù)學問題。如：求點P到直線Ax+By+C=0(其中A、B不全為0)最短距離，(考慮A、B全不為0的情形)。

生1：先確定垂足的位置，然后再求兩點的距離即可。

師：如何求垂足？

生1：可建立直角坐標系，垂足即為直線與垂線的交點。

師：如何求垂線方程？

生1：利用斜率存在時，兩垂線斜率乘積等于-1，即可求出垂線方程，進而求出兩直線交點坐標。

師：嗯，非常好，只是求點Q坐標計算量有點大，還有沒有其他方法？

生2：設直線傾斜角為α，可以過P點做Y軸平行線交直線于點M，垂線段的長度為PMcosα。

生3：過P點分別作X軸、Y軸垂線，交直線于點M、N，利用三角形等積法求解。

生4：可在直線上任取一點Q，求PQ兩點的最短距離(函數(shù)最值)。

設計意圖：教師引導學生積極思考，學生以獨立或合作探討的形式找尋問題解決的方法和途徑。教育的目的是讓學生更好地思考，而教學是“使學生參與到那些促進學習的事件和活動中去，經(jīng)歷對數(shù)學自我建構(gòu)的過程,最大限度地發(fā)揮學生主觀能動性，真正將課堂還給學生，讓學生真正做學習的主人。[1]

問題2：若直線方程中A=0，或B=0，如何求點到線的距離，用什么方法比較簡便？

設計意圖：從多個角度全面考慮點到直線的距離，滲透數(shù)形結(jié)合思想、方法，讓學生體會以形促數(shù)，以數(shù)助形的微妙之處。引導學生在現(xiàn)實生活中辯證地看問題，實事求是，特殊情況可以特殊對待。

1.3 深化理解公式

師生活動：教師引導并具體指出公式特點：

公式的分子：保留直線方程一般式的結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了公式與直線方程的關(guān)系。

公式的分母：直線方程中兩個未知數(shù)的系數(shù)的平方和再開方。

設計意圖：通過對結(jié)構(gòu)的分析，使學生認識到公式結(jié)構(gòu)與點坐標以及直線方程之間的關(guān)系，幫助學生形成認知結(jié)構(gòu)，發(fā)展元認知。[2]

1.4 知識的應用

例1：回顧開頭的例子，現(xiàn)在我們來解決引例中的問題。

如建立坐標系，假設超市所在點P坐標為(2,3)，公路所在直線l：3x+4y+2=0,求點P到直線的距離。

設計意圖：鞏固加深對點到線距離公式的認識，更要讓學生認識到數(shù)學來源于生活也運用于生活，真切地體會到數(shù)學就在我們身邊。

學生活動：求下列點到相應直線的距離：

(1)P(1,2),l: 3x-2y+4=0

(2)P(3,-3),l:x+1=0

設計意圖：進一步鞏固加深對點到線距離公式的認識。

例2：求l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y+5=0距離

生1：可以在l1上任取一點，求該點到l2的距離。

生2：可以在l2上任取一點，求該點到l1的距離。

適當?shù)淖兪剑梢詭椭鷮W生深化對公式的理解。

拓展題：已知A(1,3)，B(3,1)，C(-1,0),求△ABC的面積。

設計意圖：意在鞏固兩點間距離和點到線的距離公式，幫助學生構(gòu)建穩(wěn)固的知識網(wǎng)絡。

1.5 鞏固與檢測

已知三角形的三個頂點的坐標分別是A(0,4)，B(-3,0), C(1,5)：

(1)求AB邊上的高所在直線的方程；

(2)求AB邊上的高和邊AB的長度；

(3)求三角形的面積。

設計意圖：鞏固所學，查缺補漏，觀察學生學習效果。

1.6 回顧與總結(jié)

問題4：本節(jié)課我們學習了什么知識？如何推導一個公式？研究中應用了哪些數(shù)學思想、方法？接下來研究什么呢？

設計意圖：明確總結(jié)的脈絡，幫助學生梳理所學知識，為判斷直線與圓位置關(guān)系作鋪墊。

1.7 作業(yè)布置

班級群作業(yè)發(fā)布平臺。

2 一些思考

2.1 設計“好”問題，讓命題教學從“快講多練”變成“參與建構(gòu)”

問題是數(shù)學活動的載體，通過問題才能把知識的邏輯結(jié)構(gòu)與學生的思維過程有機地結(jié)合起來，使知識的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學生的探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學的內(nèi)在規(guī)律，認識理解數(shù)學本質(zhì)，并在活動過程中構(gòu)建數(shù)學。[3]

本課設計的問題1，從求運輸費用最低值入手，問題處于學生的最近發(fā)展區(qū)，激發(fā)學生利用已有的數(shù)學知識建模解決的欲望。

讓學生認識到數(shù)學來源于生活，也應用于生活，鼓勵大家積極思考，采取多種方法解決問題，并能在幾種方法中選出最優(yōu)解，在探討交流的過程中慢慢滲透數(shù)學思想方法，提升學生數(shù)學素養(yǎng)。

2.2 加強知識的聯(lián)系，讓公式理解從“孤立存在”變成“有意義的存在”

現(xiàn)代認知心理學認為，學生只有意識到自己已有命題(知識)失去了效用，無法或不能解決當前所面臨的問題或困難時，才會產(chǎn)生學習或接受新命題的積極心向。新命題對自己有價值，即學生能夠看到新命題對解決自己當前所面臨的問題或困難有幫助，而這是原有命題(知識)所不能解決的，這意味著學生把新命題看成是解釋、解決當前問題或困難的更好的途徑。[4]

3 結(jié)語

問題是思維的起點，在教學的過程中，并非問題越多越好，進行問題設計時，教師在課前一定要深思熟慮，要讓學生有種努力跳一跳可以摘取知識果實的自信。所以，數(shù)學課堂不僅僅是讓學生掌握數(shù)學知識，更重要的是啟迪思維，讓學生參與數(shù)學知識承載的思維活動，讓學生走出課堂，能用數(shù)學的眼光看待世界，用數(shù)學的思維分析世界，用數(shù)學語言表達世界。

[1]R.M.加涅著.王小明，等譯.教學設計原理(第五版)[M].上海：華東師范大學出版社，2007.

[2]龍毅.利用元認知理論發(fā)展學生思維能力[J].數(shù)學教育學報，1996，(5).

[3]李善良.關(guān)于數(shù)學問題設計——高中數(shù)學教學設計案例分析之二[J].高中數(shù)學教與學，2008，(1).

[4]周友士.基于認知建構(gòu)理論的數(shù)學命題學習研究[J].數(shù)學教育學報,2008，(10).