非同軸兩輪機器人的自平衡分析與控制策略

李亞鋒 ，王衛(wèi)軍 ，2，張 弓 ，侯至丞 ，楊 根

（1.廣州中國科學(xué)院先進(jìn)技術(shù)研究所，廣州 511400；2.深圳中科德睿智能科技有限公司，深圳 518109）

兩輪平衡機器人是載人移動機器人領(lǐng)域的研究熱門之一，有同軸兩輪（左右布置）和非同軸兩輪（前后布置）兩類。同軸兩輪機器人采用被動平衡方式，即需要依靠前后運動來實現(xiàn)動態(tài)平衡（類似倒立擺系統(tǒng)），已取得很多研究成果和應(yīng)用如大名鼎鼎的Segway[1]。非同軸兩輪機器人是一個欠驅(qū)動、非線性、側(cè)向不穩(wěn)定系統(tǒng)，其動力學(xué)與控制研究極具挑戰(zhàn)性，目前仍處在實驗室研發(fā)階段[2]。1998年俄羅斯莫斯科國立大學(xué)，利用陀螺效應(yīng)產(chǎn)生的進(jìn)動力矩實現(xiàn)側(cè)平衡，設(shè)計了一款具有自平衡功能的自行車[3]。2005年日本村田公司推出了會騎自行車的“村田男孩”，依靠安裝在其胸部的一個垂直慣性輪實現(xiàn)左右平衡[4]。2011年美國LIT汽車公司，申請了利用2個飛輪的陀螺效應(yīng)來保持平衡的載人摩托車專利[5]。2014年美國俄亥俄州立大學(xué)以拉格朗日方程建立系統(tǒng)動力學(xué)方程，設(shè)計一階滑模控制器并在自行車上開展試驗，具有較好的魯棒性[6]。

與同軸兩輪機器人相比，非同軸兩輪機器人具有動作靈活，良好的爬坡和越障能力，安全性好等優(yōu)點，有望應(yīng)用于載人交通工具、自主巡邏、偵查等領(lǐng)域。目前非同軸兩輪機器人車仍面臨一些技術(shù)問題：平衡魯棒性欠佳；抗撞擊能力弱；高速行駛、小半徑轉(zhuǎn)向、爬坡等運動的穩(wěn)定性不高[7-8]。在此，介紹一種載人非同軸兩輪自平衡機器人，依靠一對陀螺轉(zhuǎn)子同步進(jìn)動產(chǎn)生的陀螺力矩實現(xiàn)自平衡。

1 原理與結(jié)構(gòu)

單個陀螺轉(zhuǎn)子進(jìn)動產(chǎn)生的陀螺力矩τ，如圖1所示，滿足的公式[9]為

式中：Jz為陀螺轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量；ωz為陀螺轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度；ωy為陀螺轉(zhuǎn)子進(jìn)動角速度。陀螺力矩的方向符合右手定則（即圖中x軸負(fù)方向），并隨進(jìn)動角的變化而變化。

圖1 陀螺轉(zhuǎn)子陀螺效應(yīng)原理Fig.1 Gyroscopic effect principle of gyro rotor

由于進(jìn)動角的存在，陀螺力矩可分解為翻滾力矩和航向力矩，前者是起平衡作用的有效力矩，后者則是影響平衡穩(wěn)定的干擾力矩，因此單陀螺平衡的效果很差。文中所采用雙陀螺平衡的結(jié)構(gòu)如圖2所示。為了使兩陀螺轉(zhuǎn)子的翻滾力矩作用疊加、航向力矩相互抵消，應(yīng)保證兩陀螺轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)方向和進(jìn)動方向都相反。

由圖可見，車身機體坐標(biāo)系O1x1y1y1，陀螺轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系O2x2y2z2和陀螺轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系O3x3y3z3這3個坐標(biāo)系處于同一平面內(nèi)（即y1，y2，y3軸的方向相同，由紙面朝外），其中x1軸為車身前進(jìn)方向。為便于分析，令2個陀螺的進(jìn)動角速度大小相等、方向相反。假設(shè)某刻兩陀螺的進(jìn)動角為α，則雙陀螺轉(zhuǎn)子進(jìn)動過程中在x1軸方向產(chǎn)生的翻滾力矩τro為

圖2 陀螺裝置平衡機理分析Fig.2 Analysis of balance mechanism of gyroscope

式中：Jz2，Jz3為陀螺轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量；ωz2，ωz3為陀螺轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度；ωy1為陀螺轉(zhuǎn)子進(jìn)動角速度。翻滾力矩τro的方向為x1軸負(fù)方向。2個陀螺在z1軸方向產(chǎn)生的航向力矩τra為

由上式可知，當(dāng)兩陀螺結(jié)構(gòu)參數(shù)一致且進(jìn)動速度大小相同時，航向力矩為零，因此雙陀螺裝置的優(yōu)勢在于，可以抵消因單陀螺進(jìn)動而產(chǎn)生的干擾力矩，實現(xiàn)系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定。為保證兩陀螺轉(zhuǎn)子進(jìn)動過程的同步性，平衡裝置采用了機械方式即同步帶傳動機構(gòu)。由此可知進(jìn)動角速度與進(jìn)動角是控制系統(tǒng)平衡的關(guān)鍵因素。

為進(jìn)一步簡化分析過程，假設(shè)機器人的前、后輪與地面的接觸點都落在地理坐標(biāo)系xyz的x軸上，且機體坐標(biāo)x1與地理坐標(biāo)x軸平行，其動力學(xué)模型為如圖3所示。在忽略空氣阻力、輪胎與地面之間力矩的前提下，當(dāng)車身相對于z軸的傾斜角為θ時，平衡車動力學(xué)方程為

式中：Jx為車身相對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量；θ¨為車身左右傾斜的角加速度 （即翻滾角加速度）；G為機器人所受重力；h為重心與O點的距離。

圖3 系統(tǒng)簡化力學(xué)模型Fig.3 Simplified mechanical model of system

非同軸兩輪自平衡機器人機械結(jié)構(gòu)的實物如圖4所示，其整體結(jié)構(gòu)由車頭、車尾、車身3部分組成。車頭部分包括橡膠輪、舵機與前輪轉(zhuǎn)向機構(gòu)等；車尾部分主要輪轂電機、減震機構(gòu)等；車身包括雙陀螺平衡裝置與電控系統(tǒng)。雙陀螺平衡裝置由前后陀螺轉(zhuǎn)子、無刷電機、陀螺轉(zhuǎn)子同步機構(gòu)、陀螺進(jìn)動電機等構(gòu)成。電控系統(tǒng)由主控制板、電機驅(qū)動器及傳感器、鋰電池組等構(gòu)成。

圖4 非同軸兩輪自平衡機器人Fig.4 Non coaxial two wheel self balancing robot

2 平衡控制方案

非同軸兩輪自平衡機器人的控制系統(tǒng)硬件組成如圖5所示。控制系統(tǒng)按功能分為5個單元，即上位機、主控單元、驅(qū)動器、傳感器檢測、電源管理。電機包括4種類型：陀螺自轉(zhuǎn)電機、陀螺進(jìn)動電機、前輪轉(zhuǎn)向舵機、后輪前進(jìn)驅(qū)動電機。

圖5 控制系統(tǒng)硬件組成Fig.5 Hardware composition of control system

自平衡機器人系統(tǒng)最重要的參數(shù)是車身傾斜角θ。要實現(xiàn)平衡應(yīng)使θ=0。單純的PD控制可以使車身實現(xiàn)短暫的平衡，但無法持續(xù)穩(wěn)定，系統(tǒng)容易震蕩直至崩潰。究其原因，自平衡機器人是一個非線性、耦合的系統(tǒng)，而且為了抵抗車身外力矩（主要是重力矩）的存在，陀螺始終會朝一個方向進(jìn)動，從而導(dǎo)致進(jìn)動角過大，陀螺效應(yīng)的平衡作用失效。

在平衡控制過程中，系統(tǒng)需要添加1個陀螺進(jìn)動角歸零補償量θα，使陀螺進(jìn)動角α趨向于零，否則車身會因陀螺效應(yīng)失效而傾倒[10]。文中采用了模糊PD與增益調(diào)度來控制機器人的自平衡過程，如圖6所示。平衡控制器通過增益調(diào)度來減小車身左右震蕩，而這些參數(shù)值均由試驗測試得到。

圖6 非同軸兩輪機器人的平衡控制Fig.6 Balance control for non coaxial two wheeled robot

由日常經(jīng)驗可知，以一定的速度駕駛自行車或摩托車轉(zhuǎn)彎時，車身需要傾斜一定角度才能保證轉(zhuǎn)彎不倒，這是因為轉(zhuǎn)彎過程中需要車身提供一個向心力。考慮到該轉(zhuǎn)彎因素，車身的左右動力學(xué)方程（4）變?yōu)?/p>

式中：Fc為車身轉(zhuǎn)彎時產(chǎn)生的離心力。而轉(zhuǎn)彎時，車身傾斜角θ與轉(zhuǎn)彎角β之間的關(guān)系[11]為

式中：v為車身前進(jìn)速度；d為前后輪胎著地點之間的距離；g為重力加速度；m為車身質(zhì)量；M為總質(zhì)量（加上負(fù)載）；L為車身重心高度。

為解決轉(zhuǎn)彎時的平衡問題，PD控制中需要再加入1個基于轉(zhuǎn)彎離心力的傾角補償量θβ（其大小與前輪轉(zhuǎn)彎角和后輪轉(zhuǎn)速相關(guān)）。

車身傾斜角的總補償量為θα+θβ，由此得到車身傾斜角的偏差為

式中：θd為期望的傾斜角；θe為傾斜角總補償量。

那么，通過模糊PD控制器來控制前后2個陀螺產(chǎn)生的翻滾力矩為

式中：τro為前、后陀螺轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的總翻滾力矩；kP和kD為模糊PD控制器輸出控制增益。

根據(jù)模糊理論，取傾斜角θ和傾斜角速度θ˙的模糊子集為｛NB，NM，NS，Z，PS，PM，PB｝。 根據(jù)模糊子集和自平衡機器人系統(tǒng)的動力學(xué)簡化模型，模糊輸入?yún)?shù)傾斜角誤差eθ與角速度誤差e˙θ的模糊論域為［-1，1］，量化等級為｛-1，0.5，-0.25，0，0.25，0.5，1｝，量化因子分別為0.3 rad和1 rad/s。模糊輸出控制量的論域［-1，1］，量化等級為｛-1，0.5，-0.25，0，0.25，0.5，1｝，比例因子為10 rad/s。輸入與輸出隸屬的函數(shù)如圖7所示[12-13]。而模糊控制規(guī)則見表1。

圖7 輸入輸出隸屬度函數(shù)Fig.7 Input-output membership function

表1 模糊控制規(guī)則Tab.1 Fuzzy control rule

通過Matlab仿真，得到平衡機器人的動態(tài)數(shù)據(jù)時間響應(yīng)曲線如圖8所示，由仿真結(jié)果可以看出系統(tǒng)能夠快速進(jìn)入平衡穩(wěn)定狀態(tài)。

圖8 車身自平衡過程中姿態(tài)參數(shù)響應(yīng)曲線Fig.8 Response curve of attitude parameter in auto body self balancing process

3 試驗與結(jié)果分析

文中針對非同軸兩輪機器人的平衡性能開展了一些試驗驗證，分別采用PD和模糊PD增益調(diào)度方式在樣機上進(jìn)行了對比測試。試驗樣機的具體規(guī)格參數(shù)見表2，主控單元芯片采用ARM，數(shù)據(jù)采樣率為100 Hz。

表2 系統(tǒng)規(guī)格參數(shù)Tab.2 System specification parameters

圖9 車身自平衡過程中傾斜角及其角速度Fig.9 Tilt angle and its angular velocity in auto body self balancing

從靜止傾斜倒地至自動恢復(fù)平衡過程中，車身的傾斜角與角速度變化曲線如圖9所示。由圖可見，車身剛開始處于左側(cè)傾倒?fàn)顟B(tài)，由傾倒?fàn)顟B(tài)變成平衡狀態(tài)只需要1～2 s內(nèi)就可以完成。單純采用PD控制方式只能使車身在平衡狀態(tài)附近維持十幾秒，然后很快出現(xiàn)高頻震蕩，直至系統(tǒng)崩潰傾倒在右側(cè)。而采用模糊PD增益調(diào)度控制方式，能始終維持車身在平衡狀態(tài)，超調(diào)量小且穩(wěn)定狀態(tài)下車身傾斜角θ為-0.02～0.02 rad，即偏差小于±1.5°。

在車身自平衡過程中，陀螺的進(jìn)動角與角速度的變化曲線如圖10所示。同樣可見，當(dāng)采用純PD控制方式時，陀螺轉(zhuǎn)子進(jìn)動角在30 s時刻開始高頻震蕩直至陀螺力矩失效狀態(tài)。而采用模糊PD增益調(diào)度方式時，陀螺進(jìn)動角終態(tài)偏差處于-0.2～-0.1 rad，由圖可見，陀螺進(jìn)動角終態(tài)的偏差中心并未處于0線上，這是由于制作的樣機重心偏向右側(cè)形成偏心力矩所致，陀螺需要不斷地朝一個方向進(jìn)動來產(chǎn)生抵抗力矩。

圖10 車身自平衡過程中陀螺進(jìn)動角及其角速度Fig.10 Gyro precession angle and its angular velocity in auto body self balancing

4 結(jié)語

非同軸兩輪機器人采用了主動平衡方式，具有良好的平衡魯棒性、抗沖擊性以及調(diào)速性，可在靜止或移動中實現(xiàn)平衡，故安全性更好。所開發(fā)的非同軸兩輪的載人交通工具原理樣機能夠?qū)崿F(xiàn)自動平衡。由試驗結(jié)果可知，非同軸兩輪自平衡機器人采用純PD控制平衡的效果并不理想，而采用模糊PD增益調(diào)度方式的平衡性能則表現(xiàn)很好，車身傾斜角與陀螺進(jìn)動角都處在比較穩(wěn)定、合理的范圍內(nèi)。

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