用于艦艇運動條件下姿態(tài)測量補償?shù)淖鴺?biāo)變換算法

胡 偉 傅 軍

（海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院導(dǎo)航工程系 武漢 430033）

1 引言

艦艇航行過程中，因受到風(fēng)浪作用而產(chǎn)生搖擺，那么與艦艇固連的各種測量天線將隨同艦艇搖擺，使得這些天線測量的數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)要進(jìn)行搖擺補償［1～4］，因此數(shù)據(jù)必須在艦艇載體坐標(biāo)系和地理坐標(biāo)系之間進(jìn)行變換［5］。現(xiàn)有的許多描述艦艇坐標(biāo)變換的方法，不僅沒有說明為什么選擇這樣假定，還將姿態(tài)角與歐拉角等同［6～12］。本文就姿態(tài)角和歐拉角的概念進(jìn)行了研究，通過嚴(yán)格的推導(dǎo)得出了利用姿態(tài)角求解艦艇載體坐標(biāo)系到地理坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣的一種實用公式。

2 相關(guān)定義說明

從文獻(xiàn)［13］中摘錄姿態(tài)角相關(guān)定義：

縱軸：沿運載體主體所規(guī)定的運動方向并通過設(shè)計重心的軸。

橫軸：垂直于縱軸，通常與對稱平面垂直并通過設(shè)計重心的軸。沿縱軸正向向右取為正向。

姿態(tài)角：運載體首向角、橫搖角、和縱搖角的統(tǒng)稱。如圖1所示。O-XYZ表示地理東北天坐標(biāo)系，O-X′Y′Z′表示載體坐標(biāo)系。

首向角H：從基準(zhǔn)方向順時針測得的運載體縱軸正向的角度。

橫搖角R：運載體橫軸與水平面之間的夾角。以橫軸正向在水平面上為正。

縱搖角P：運載體縱軸與水平面之間的夾角。以縱軸正向在水平面上為正。

歐拉角：以z-x1-y2旋轉(zhuǎn)順序為例，如圖2所示。α、β、γ分別為圍繞X、Y、Z軸旋的角度，以逆時針為正。

3 坐標(biāo)變換實用公式推導(dǎo)過程

從定義和圖1、2可以得出：

1）歐拉角≠姿態(tài)角。

2）載體坐標(biāo)系 X'、Y'軸的空間位置確定了姿態(tài)角，進(jìn)一步說，X'軸確定橫搖角，Y'確定縱搖角和航向角。

因此，提出兩條推論［7］：

1）當(dāng)橫搖角為0的時，即 X'在OXY水平面內(nèi)，Y'軸繞X'軸旋轉(zhuǎn)，不會引起航向H的變化。

2）載體位置確定時，X'軸繞Y'軸旋轉(zhuǎn)，將引起橫搖角R變化，但不會引起縱搖角P和航向角H的變化。

一組姿態(tài)角可能對應(yīng)多組歐拉角，為了簡化姿態(tài)角與歐拉角之間的對應(yīng)關(guān)系，使得姿態(tài)角與歐拉角能夠一一對應(yīng)。依據(jù)兩條推論，將Z-X1-Y2旋轉(zhuǎn)模型作為艦艇正常航行時，地理坐標(biāo)系O-XYZ到載體坐標(biāo)系O-X'Y'Z'的旋轉(zhuǎn)模型。

證明及實用公式推導(dǎo)如下，如圖2所示。

1）第一步繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ，得到O-X1Y1Z1，此時 H=-γ，P=0，R=0。

2）第二步繞X1軸旋轉(zhuǎn)α，得到O-X2Y2Z2，此時 H=-γ，P=α，R=0。

3）第三步繞Y2軸旋轉(zhuǎn) β ，得到O-X'Y'Z'，此時 H=-γ，P=α。

令從地理坐標(biāo)系O-XYZ到載體坐標(biāo)系O-X'Y'Z'的旋轉(zhuǎn)矩陣為 R-ZXY，從載體坐標(biāo)系O-X'Y'Z'到地理坐標(biāo)系O-XYZ的旋轉(zhuǎn)矩陣為R-YXZ：

在 X'軸上取點A，在 O-X'Y'Z'中坐標(biāo)為（1，0，0），則 A 點 在 O-XYZ 中 坐 標(biāo) 為 (cos(β)cos(γ)-sin(α)sin(β)sin(γ)， cos(β)sin(γ)+sin(α)sin(β)cos(γ)，-cos(α)sin(β))。因此得到：

在 Z'軸上取點B，在 O-X'Y'Z'中坐標(biāo)為（0，0，1），則 B 點 在 O-XYZ 中 坐 標(biāo) 為 (sin(β)cos(γ)+sin(α)cos(β)sin(γ)， sin(β)sin(γ)-sin(α)cos(β)cos(γ)，cos(α)cos(β))。

艦船正常航行時的狀態(tài)：

1）艦船桅桿向上，即 O-X'Y'Z'的 Z'軸在O-XYZ中的Z軸分量始終為正，則cos(α)cos(β)＞ 0 。

2）艦船縱橫搖 ||P， ||R＜45°，則式（3）始終成立。

綜上所述，艦艇正常航行時，姿態(tài)角與歐拉角之間的關(guān)系如下：

從式（5）可知Z-X1-Y2旋轉(zhuǎn)模型在艦艇正常航行時，不存在奇異值，可作為地理坐標(biāo)系O-XYZ到載體坐標(biāo)系O-X'Y'Z'的旋轉(zhuǎn)模型，且該模型歐拉角與姿態(tài)角一一對應(yīng)，計算簡單。

4 仿真

在實際計算過程中，一些人將姿態(tài)角與歐拉角等同，直接將姿態(tài)角代入旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行計算，這樣將引入計算誤差，并且這種誤差不容忽視。

以Z-X1-Y2旋轉(zhuǎn)模型為例，令代入歐拉角的旋轉(zhuǎn)矩陣為R1，計算后的坐標(biāo)為(x1，y1，z1)，代入姿態(tài)角的旋轉(zhuǎn)矩陣為R2，計算后的坐標(biāo)為(x2，y2，z2)。

通過仿真：

1）假設(shè)點A與載體固連，在載體坐標(biāo)系中坐標(biāo)為 (0.1，2，1.5)，載體首向角為 45°，縱搖角為10°，橫 搖 角 范 圍 為 -45°～45°，圖 3 顯 示 的 是dx=x1-x2，dy=y1-y2，dz=z1-z2隨橫搖變化的趨勢，可以看出坐標(biāo)差較大，不能忽略。

5 結(jié)語

本文從歐拉角、姿態(tài)角的基本定義出發(fā)，結(jié)合艦艇航行的實際條件，利用Z-X1-Y2坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)模型，推導(dǎo)出一種艦艇坐標(biāo)變換的實用公式。通過仿真，表明在實際應(yīng)用中一些不正確用法所帶來的誤差是不可忽略的，使用實用轉(zhuǎn)換公式是必要的。

［1］張新華，肖騫，朱濤等.G P S測向系統(tǒng)測量運動載體航向的誤差補償方法［J］.艦船電子工程，2012，32（5）：129-130.

［2］馬恒.高精度航向姿態(tài)信息標(biāo)校方法和測量模型研究［J］.中國慣性技術(shù)學(xué)報，2004，12（2）：77-80.

［3］許江寧，朱濤，卞鴻巍等.潛艇真航向測量系統(tǒng)［J］.中國慣性技術(shù)學(xué)報，2005，13（3）：76-80.

［4］孫曉昶，皇甫堪.以恒星位置為基準(zhǔn)的運動平臺上測控雷達(dá)精度標(biāo)校技術(shù)［J］.宇航學(xué)報，2002，23（3）：29-33.

［5］Richard L.PIO.Euler Angle Transformations［J］.IEEE Transactions On Automatic Control，1966，AC-11（4）：707-715.

［6］方成一，王振旺.艦載雷達(dá)天線電子穩(wěn)定方程的推導(dǎo)方法［J］.雷達(dá)與對抗，1999，（2）：68-74.

［7］馮同玲，陳龍?zhí)?艦載雷達(dá)天線電子穩(wěn)定方程的推導(dǎo)與分析［J］.火控雷達(dá)技術(shù)，2001，30（1）：30-36.

［8］王有朝對艦艇縱橫搖坐標(biāo)變換的討論［J］.現(xiàn)代雷達(dá)，2001，8（4）：27-30.

［9］張志遠(yuǎn)，羅國富.艦船姿態(tài)坐標(biāo)變換及穩(wěn)定補償分析［J］.艦船科學(xué)技術(shù)，2009，31（4）：34-40.

［10］鄒東明，劉棲山，陳長青等.艦載光電跟蹤設(shè)備視軸穩(wěn)定分析［J］.武器裝備自動化，2003，22（1）：15-19.

［11］曹娟娟，房建成，盛蔚.大方位失準(zhǔn)角MIMU空中對準(zhǔn)建模及半物理仿真［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2008，34（1）：63-66.

［12］王一，趙瑜，宗發(fā)保等.航磁矢量測量姿態(tài)坐標(biāo)變換技術(shù)研究［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2015，15（22）：1-6.

［13］《慣性技術(shù)術(shù)語》中華人民共和國國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB 585A-98.