微積分中的哲學思想

王桂英

摘 要：哲學指導和推動著數學的發展，而數學的發展也加深了對哲學基本規律的理解，豐富了哲學的內容。在高等數學的許多課程中都蘊涵著豐富的哲學思想，以微積分為例，探討了其中的哲學和辯證法規律。該研究對理解高等數學的方法和本質具有指導性作用。

關鍵詞：高等數學 微積分 哲學思想 唯物辯證法

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）01-00-01

數學歷來都是哲學研究的對象，哲學作為世界觀，為數學發展起著指導和推動作用。微積分是研究函數的微分、積分以及相關概念和應用的一個數學分支，微積分的創立是數學史上的一次重大飛躍，其中蘊含著豐富深刻的哲學思想。是繼歐氏幾何之后，數學學科中的一個最大的創造。微積分的建立，使得常量數學在內容上得到了極大的豐富，在思想方法上也發生了深刻的變化，許多哲學思想都得到了詮釋。

一、對立統一規律

對立統一的規律是唯物辯證法的基本規律，揭示事物的本質，人類社會和人的思想是相互聯系的，相互排斥的兩個方面，相互矛盾，相互接觸，這兩者是相互矛盾的。雙方的團結和斗爭正在推動事態的變化和發展。在微積分中，極限是最基本和最重要的概念之一。它充分體現了對立面的統一，通過有限的理解反映了人們的無限的辯證規律。具體來說，函數f（x）趨近于常數A的過程是一個無限接近的過程，但對于過程的每一步，這種方法都是有限的；f（x）a趨于零，趨于零的過程是一個無窮小的過程，但在過程的每一個階段，它的較小程度都是有限的。有限和無限是這樣的矛盾和統一，只有通過有限的認識無限，從有限到無限。極限過程統一了有限與無限之間的矛盾。在計算曲邊梯形面積時，首先將未知曲線梯形劃分為多個小梯形，當分割很細時，可將其彎曲成直邊，可以將這些小的直邊梯形面積和梯形面積作為大曲的近似值。也就是說，“以直線取代曲線”。其次，對分割結果進行無限細化，取其和為極限。從而將小直邊梯形的面積之和轉換成大曲邊梯形的面積。這就是“以曲代直” 因此，“曲”與“直”之間的矛盾用極限法和諧統一。正如恩格斯所說，“直線和曲線最終等同于微積分。”。矛盾是普遍存在的，矛盾的雙方彼此相互依賴并存，并存在著由此及彼的橋梁。微分與積分問題是微積分中的兩個對立統一的概念，是解決實際問題中的“變與不變”、“有限與無限”、“近似與精確”的有力數學工具，微分解決“局部”問題，而“定積分”解決的是“全局”問題，微分和積分是統一變量（增量與原函數）的不同反映（局部與全局），是對立統一下的互逆關系。著不僅是思維的巧妙，更是哲理的藝術。微積分充滿矛盾。常量與變量，有限和無限，連續和不連續，直線和曲線是兩個矛盾。它們相互對立，但在一定條件下相互依存，相互轉化。

二、質量互變規律

辯證唯物主義認為，一切物質都是質量和數量的統一。物質交換規律表明，

事物的發展有兩種基本形式，即量變和質變。前者代表物的增減，數量上的特點。是一種連續的、在度的范圍內發生沒有重大的變化，后者是事物性質的變化。進步進程的中斷，從一個種質到另一個種質的轉變。是對原有度的突破。微積分中常用的一種方法是求極限，極限實際上是無窮接近的過程，它是一個“度”。當沒有達到這個程度時，它只是數量的積累（量變） 過程，一旦超出這個程度，就會發生近似精確的質變。如在梯形面積計算中，通過分段、近似代換和求和得到梯形面積的近似值。這個過程是量變的過程，在這個過程中沒有質的變化。然而，如果分割是無限加密的，且每個梯形邊緣的寬度趨于零，則將得到梯形的精確面積。這時，必然會發生從量變到質變，這是定積分理論的基本思想。

三、否定之否定規律

否定規律揭示了事物發展的整個過程和總體趨勢，是唯物辯證法的基本規律的綜合體現。事物的發展是通過自身的辯證否定來實現的。微積分理論本身的產生和發展過程反映了否定的否定規律。從牛頓和萊布尼茨的獨立微積分的概念以來，數學的發展達到了一個新的高度，產生了許多新的思想和方法。然而，由于微積分理論在當時還不完善，一些數學家和學者指出微積分缺乏必要的邏輯基礎。質疑微積分，甚至否定它，造成數學世界的混亂，這也就是所謂的第二次數學危機。直到19世紀20年代，在微積分的數學家阿貝爾、柯西和后來的康托等微積分理論證明了這一點。才化解危機，并建立了微積分的重要地位。第二次數學危機實際上是第一個否定演算理論，和數學家阿貝爾為微積分理論嚴格證明又是否定之否定，從而克服了積極和消極兩個階段的片面性，并積極和消極的統一，微積分理論推進到了一個新的發展和更高的階段。此外，微積分中的許多概念也包含否定之否定法則。如學習定積分的概念，梯形面積不是直接計算曲邊，而是將其否定，來計算許多小矩形面積和。但這并不是最終的化整為零，于是再一次否定，將分割無限細化并對小矩形面積的和求極限。也就是“積零為整”，從而得到曲邊梯形的面積。

高等數學中微積分的許多內容都與哲學存在著密切的聯系，研究微積分中的哲學和辯證法規律對理解微積分的方法和實質都會有指導性的作用。同時，從哲學的角度來看待微積分，不僅是學習微積分的需要，也是教授和研究發展微積分的需要.在微積分的學習過程中，不僅要掌握這些數學分析的方法，我們必須理解這些數學方法背后的哲學。只有這樣，我們才能更好地掌握微積分的本質，既能掌握知識，又能培養創造性思維能力。

參考文獻

[1]劉巍.牛頓與萊布尼茨創立微積分哲學思想之比較[J].中國農業大學學報：社會科學版，2000（4）：1-3

[2]王德勝，李建會，董春雨.自然辯證法原理[M].北京：北京師范大學出版社，1997：82

[3]匡繼昌.微積分和無窮小量的哲學思考[J].數學教育學報，2007，16（2） ：1-3

[4]恩格斯.自然辯證法[M].北京：人民出版社，1972：3

[5]周東啟.第二次數學危機的實質是方法論的變革[J].自然辯證法研究，2006，22（6） ：105-109