由一道題引發(fā)的對機械能守恒定律的再思考

摘要：在高一的教學過程中，發(fā)現學生對機械能守恒定律的理解還是存在一定的困難，學生在學習過程中也有很多難點及難區(qū)分點，本文由蘇教版《物理學習評價手冊》必修二第十二課時機械能守恒定律（2）的自我評價習題上一道題目引發(fā)對機械能守恒定律的理解和思考，分別從以下方面進行了闡述：1. 機械能守恒定律的應用條件中彈力做功的正確理解；2. 對系統(tǒng)機械能守恒的理解；3. 區(qū)別機械能守恒定律和動能定理。

關鍵詞：機械能守恒定律；動能定理；彈力

蘇教版《物理學習評價手冊》必修二第十二課時機械能守恒定律（2）的自我評價習題上有這樣的一道題：

在一根細棒的中點C和端點B，分別固定兩個小球，這兩個小球的質量和體積完全相同的，棒可以繞另一端A在豎直平面內無摩擦地轉動，小球的質量為m，棒長L，棒的質量不計，若從水平位置從靜止開始釋放小球，求兩球到達最低位置時線的速度的大小。

有同學對此題提出以下解法：

設AB=L，AC=L2，到最低位置時C球和B球的速度大小分別為v1和v2。在其運動過程中只有重力對小球做功，C球有12mv21=mgL2，v1=gL；B球有12mv22=mgL，v2=2gL。可以得到每個球的機械能都是守恒的。

此題可以用很直觀的圓周運動的知識判斷解法的對錯：在轉動過程中，B，C兩球角速度相同，v=wr，B球半徑是C球半徑的兩倍，所以v2=2v1，與上述答案不符，因此解法錯誤。

1. 機械能守恒定律中彈力做功

在這位同學的解法中，談到B，C兩球機械能守恒，那么B，C兩球機械能是否守恒呢？答案是否定的，B，C兩球在運動的過程中，不僅有重力做功，桿對B，C的彈力也在做功。

2. 系統(tǒng)機械能守恒的幾點見解

系統(tǒng)間作用力通常分為三類：

（1）剛體彈力：比如斜面作用產生的作用力也是一種彈力、輕繩在作用過程中沿著繩子收緊方向也有一種彈力、輕桿在作用過程中也會產生的一種彈力等。這些彈力做功，只是在相互作用的兩物體，使機械能進行等量的相互轉移，但系統(tǒng)的總機械能守恒。

（2）彈簧彈力：如果在題目中涉及有彈簧，系統(tǒng)中的彈簧的彈力做的是彈性勢能，不影響總的機械能的變化，系統(tǒng)的總機械能守恒。

（3）除了以上兩種，其他力所做的功：比如爆炸過程中，炸藥產生的沖擊力、系統(tǒng)中摩擦力的功等。這種情況下，并不是單純的機械能轉化，而是參與了其他形式的能，因此不再守恒了。

綜上，機械能守恒的表達式有以下三種：

1. 初狀態(tài)和末狀態(tài)的機械能分別為E1，E2則E1=E2，也可寫成：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。

2. 在機械能守恒的過程中，勢能的變化為ΔEP，動能的增加量為ΔEk，則ΔEP=ΔEk。

3. 若系統(tǒng)中除地球外還有兩個物體A、B，則A減少的機械能等于B增加的機械能，即ΔEA減=ΔEB增。

上述例題中桿對兩個小球的彈力所做的功，使機械能在兩個小球發(fā)生了等量的轉移，所以，本題中兩小球和輕桿以及地球構成的系統(tǒng)機械能守恒。那么，利用機械能守恒定律的表達式的第一種形式，有：

在初始位置，B，C兩球靜止，其動能都為0，選定B球在運動過程中所能達到的最低點所在面為零勢能面，則B，C兩球所具有的重力勢能都為mgL。

系統(tǒng)所具有的機械能為E1=EA初+EB初=2mgL

當輕桿擺到最低點時，C球和B球的速度大小分別為v1和v2，B球和C球具有的動能分別為12mv22和12mv21，B球的重力勢能為0，而C球的重力勢能為12mgL。

此時系統(tǒng)所具有的機械能為E2=EA末+EB末=12mv21+12mv22+12mgL，

由機械能守恒定律可知E1=E2，因此2mgL=12mv21+12mv22+12mgL

3. 對機械能守恒定律和動能定理的比較

在本題中，也可以利用動能定理進行求解。動能定理是這樣描述的，力在一個過程中對物體所做的功，也就等于物體在這個過程中動能的變化，那么，此題中，在B球和C球所構成的系統(tǒng)中，彈力所做的總功為0，整個過程中只有重力做功，合外力所做的功就為重力所做的功，即：W合=WG=WBG+WCG=mgL+mgL2

動能的變化量為12mv21+12mv22

利用動能定理W合=ΔEk，有mgL+mgL2=12mv21+12mv22

再根據v2=2v1，也可算出結果：

v1=15gL5，v2=215gL5

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作者簡介：馬文洋，江蘇省南京市，江蘇省江浦高級中學。