統(tǒng)計(jì)物理中雙原子分子的物態(tài)方程和內(nèi)能的推導(dǎo)

摘要：由于一些最常見(jiàn)的元素，如氫，氧和氮，以雙原子分子的形式存在，所以在元素，原子和分子的概念的闡述以及統(tǒng)計(jì)物理中，雙原子分子起了重要的作用.文章從單原子分子的熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式出發(fā)，分析了多原子分子的物態(tài)方程和內(nèi)能的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式.

關(guān)鍵詞：雙原子分子；統(tǒng)計(jì)物理；物態(tài)方程；內(nèi)能

一、 前言

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)從宏觀物質(zhì)系統(tǒng)是由大量微觀粒子組成這一事實(shí)出發(fā)，認(rèn)為物質(zhì)的宏觀特性是大量微觀粒子行為的集體體現(xiàn)，宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)使我們能夠解釋和定量描述超導(dǎo)性，超流性，湍流，固體和等離子體中的集體現(xiàn)象以及液體的結(jié)構(gòu)特征。它是現(xiàn)代天體物理學(xué)的基礎(chǔ)。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)幫助我們創(chuàng)造了深入的液晶研究，并構(gòu)建了相變和臨界現(xiàn)象的理論。許多關(guān)于物質(zhì)的實(shí)驗(yàn)研究完全基于系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)描述。包括冷中子的散射，X射線，可見(jiàn)光等等。統(tǒng)計(jì)物理在固態(tài)物理，材料科學(xué)，核物理，天體物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)和醫(yī)學(xué)（如傳染病的傳播研究），信息論和技術(shù)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，而且在這些技術(shù)領(lǐng)域他們?cè)诮锢韺W(xué)演變中的發(fā)展。它在社會(huì)學(xué)和語(yǔ)言學(xué)等理論科學(xué)領(lǐng)域仍然有著重要的應(yīng)用，對(duì)高等教育，公司治理和行業(yè)研究人員有用。

二、 統(tǒng)計(jì)物理中的配分函數(shù)

由于定于系統(tǒng)和滿足經(jīng)典極限條件的玻色或費(fèi)米系統(tǒng)都遵從波爾茲曼分布：

al=ωle-α-βεl①

其中ωl，表示能級(jí)εl的簡(jiǎn)并度，αl，表示量子數(shù)。

統(tǒng)計(jì)力學(xué)中最重要的方程之一（類似于牛頓力學(xué)中F=MA，或量子力學(xué)中的薛定諤方程）是配分函數(shù)，其定義實(shí)質(zhì)上是所有可用于系統(tǒng)的可能狀態(tài)的加權(quán)總和q。

Z=∑qe-E（q）kBT②

這里K是玻爾茲曼常數(shù)，T是溫度和E（q）能量，此外，給定狀態(tài)的概率q，發(fā)生是由下式給出：

P（q）=e-E（q）kBTZ③

三、 雙原子分子物態(tài)方程、內(nèi)能推導(dǎo)

雙原子分子能量的經(jīng)典表達(dá)式為：

ε=12mpx2+py2+pz2+12Ip2θ+1sin2θp2φ+12mμpr2+μ（r）④

其中第一項(xiàng)為平動(dòng)能量，第二項(xiàng)為轉(zhuǎn)動(dòng)能量，第三項(xiàng)為振動(dòng)能量（相對(duì)運(yùn)動(dòng)考慮為簡(jiǎn)諧振動(dòng)）

經(jīng)典理論中廣義坐標(biāo)q，廣義動(dòng)量p和粒子能量，都是連續(xù)變量。配分函數(shù)表示為：

Z=∑le-βε（p，q）Δωlhr0=1hr0∫e-β（p，q）dωhr0⑤

對(duì)于雙原子分子其動(dòng)能：

εl=εt+εv+εr⑥

Z=1hr0∫…∫e-β（εt+εv+εr）dpxdpydpzdpθdpφdθdφdprdr

⑦

其中，根據(jù)積分公式：

I（n）=∫

SymboleB@ 0e-αx2xndx⑧

可得

Zt=∫e-β2m（px2+py2+pz2）dxdydzdpxdpydpzh30=Vh302πmβ32

⑨

Zr=∫e-β2Ipθ2+1sin2θpφ2dθdφdpθdpφh20=8π2Ih20βB10

Zv=∫e-β2mμpr2+mμ2ω2r2drdprh0=2πh0βωB11

其配分函數(shù)為

Z=Zt·Zv·Zr=Vh302πmβ32·8π2Ih20β·2πh0βωB12

推導(dǎo)出雙原子分子的物態(tài)方程：

p=NβlnZV=NKTV

B13

雙原子分子的內(nèi)能表達(dá)式：

U=-NlnZβ=72NKTB14

參考文獻(xiàn)：

[1]汪志誠(chéng).熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理[S].高等教育出版社，第五版，2013（1）.

作者簡(jiǎn)介：龍新月，四川省南充市，西華師范大學(xué)。