根據顏色讀數辨別物質濃度

趙 燕

（山西機電職業技術學院 基礎部，山西 長治 046011）

以2017年全國大學生數學建模競賽C題為背景，主要解決三個問題：

問題一：賽題給出五種物質在不同濃度下的紅（R）、綠（G）、藍（B）、色調（H）和飽和度（S）五種顏色讀數，確定顏色讀數和物質濃度間的關系，并給出一些準則評價這五組數據的優劣。

問題二：賽題給出二氧化硫在不同濃度下的顏色讀數，建立二氧化硫顏色讀數和物質濃度的數學模型，并給出模型的誤差分析。

問題三：探討數據量和顏色維度對模型的影響。

1 問題分析

人的眼睛對紅、綠和藍三種可見光最為敏感。R、G、B三色按不同比例混合可以生成大多數光。同樣絕大多數光也可以分解成RGB三種光，這是三基色原理[1]。

1.1 問題一分析

根據數據做出RGBHS顏色值隨濃度變化的散點圖，若呈現明顯線性關系，則選擇線性回歸模型；否則將RGB值化為灰度值。灰度是用[0,255]的數值來顯示圖像，0顯黑色，255顯白色。RGB值可轉化成灰度顯色，用灰度和濃度建立模型。

對于數據優劣的評價使用層次分析法：根據數據量的多少、數據精度、異常數據的個數三個準則來綜合評價進而得出數據的優劣程度。

1.2 問題二分析

二氧化硫顏色讀數與濃度模型的研究方法同問題一。建立并計算出模型的均方根誤差。

1.3 問題三分析

從模型的精準度和經濟成本角度分析數據量多少對模型的影響；以組胺為例，對比不同維度下的線性回歸模型的統計量，討論維度對模型的影響。

2 模型建立與求解

2.1 問題一的求解

2.1.1 五種物質顏色讀數與濃度的關系

2.1.1.1 組胺顏色讀數與濃度的關系

根據組胺的10組顏色讀數繪制出五種顏色讀數隨著濃度變化的散點圖，發現都呈線性。設B為x1，G 為 x2，R 為 x3，H 為 x4，S 為 x5，濃度為 y，用MATLAB的stepwise逐步回歸命令，尋找RGBHS中對濃度影響顯著的量。結果顯示引入模型、移除模型。用MATLAB的regress建立線性關系：

檢驗結果顯示：R2近似為1，P小于0.05，系數置信區間不包含零點，模型合理。

2.1.1.2 溴酸鉀顏色讀數與濃度的關系

根據溴酸鉀的10組顏色讀數繪制出五種顏色讀數隨著濃度變化的散點圖，發現呈線性。用stepwise逐步回歸命令顯示 x1、x4、x5引入模型，x2、x3移除模型。因此，判斷濃度隨顏色變化的關系為多元線性關系：

模型檢驗：R2=0.99近似為 1，P小于 0.05，S2=20.5077系數的置信區間均不包含零點，模型合理。

2.1.1.3 工業堿顏色讀數與濃度的關系

根據工業堿的7組顏色讀數繪制出五種顏色讀數隨著濃度變化的散點圖，發現不再呈現線性，考慮RGB值轉化為灰度見表1。RGB值化為灰度的計算公式[2]：x=0.299R+0.587G+0.114B

表1 工業堿的灰度與濃度

先建立灰度x與濃度y的線性模型y=14.5198-0.0611x。但擬合度 R2=0.4389＜0.5,說明模型不合理。再用rcoplot繪制殘差圖發現第7個數據有異常。剔除后,用regress計算得濃度隨顏色變化的關系：

模型檢驗：R2=0.90 近似為 1，P=0.0026＜0.05，系數置信區間不包含零點，模型合理。

2.1.1.4 硫酸鋁鉀顏色讀數與濃度的關系

根據硫酸鋁鉀的37組顏色讀數繪制出五種顏色讀數隨著濃度變化的散點圖，發現RGB基本呈現線性，HS不是線性關系，則建立RGB與濃度的多元線性模型：y=7.7733+0.0366x1-0.1022x2+0.0049x3擬合度R2不高。根據殘差圖剔除第34、35組數據后再擬合，發現R2的值并沒有提高。最后考慮RGB化為灰度見表2。

表2 硫酸鋁鉀的灰度與濃度

繪制灰度隨濃度變化的散點圖，發現不是單調遞減，而是呈現弧形遞減。因此，用MATLAB的nlinfit命令建立濃度隨灰度變化的雙曲模型[3]

檢驗結果顯示：擬合程度R2=0.95接近與1，系數置信區間不包含零點，均表示擬合效果較好；另外觀察擬合效果圖1顯示擬合效果較好，雙曲模型成立。

圖1 硫酸鋁鉀雙曲模型檢驗的擬合圖

2.1.1.5 奶中尿素顏色讀數與濃度的關系

根據奶中尿素的15組顏色讀數繪制出五種顏色讀數隨著濃度變化的散點圖，發現呈線性。考慮建立線性模型，先用stepwise逐步回歸命令顯示x2、x3、x4、x5引入模型，x1移除模型。因此，用 regress命令計算模型：y=20794+453x2-555x3-346x4+94x5檢驗結果：R2近似為1，表明模型基本可用，但是估計誤差方差S2=91839較大，有待改進。根據繪制殘差圖[4]排除第5個異常數據再計算濃度隨顏色變化的關系：模型檢驗：R2近似為 1，估計誤差方差S2=44298較前有所降低，表明改進后模型更好。

2.1.2 五種物質顏色讀數優劣

準則1：數據的數量：實驗數據的組數n越大說明數據越優。

準則2：數據的精度：用MATLAB的rgb2hsv命令將RBG值算出的值，利用公式：

計算誤差，誤差越小說明數據越優。

準則3：異常數據個數：建立模型時剔除的異常數據越少，說明數據越優。

用層次分析法確定數據的數量，數據的精度，異常數據個數的權重為（0.4，0.3，0.3），根據實驗數據并歸一化，結合權重得到最終排名見表3。

表3 數據優劣的排名

因此，得到數據優劣的程度為：溴酸鉀＞組胺＞硫酸鋁鉀＞工業堿＞奶中尿素。

2.2 問題二的求解

2.2.1 問題二的模型建立

根據二氧化硫的25組顏色讀數繪制出五種顏色讀數隨著濃度變化的散點圖，發現不再呈現線性關系。因此考慮灰度與濃度的關系，RGB值轉化為灰度見表4。

表4 二氧化硫的灰度與濃度

繪制灰度隨濃度變化的散點圖見圖2。用nlinfit計算灰度隨濃度變化的模型：

圖2 二氧化硫濃度隨灰度變化的散點圖

圖3 二氧化硫模型檢驗的擬合圖

2.2.2 模型的檢驗

根據模型計算出濃度預測值，給出預測值和真實值對比表見表5。

表5 預測值和真實值對比表

對比顯示濃度預測值與真實值相差不多。灰度為120.42時，濃度的預測值與真實值的偏差最大。再利用MATLAB的nlintool功能對模型進行檢驗。

圖中顯示灰度為120.42的數據點在預測區間的邊緣，說明了（120.42，50）是異常點，剔除后用nlinfit計算得改進后的模型：

圖4 二氧化硫預測結果輸出圖

改進后的模型擬合度為R2較原來的模型有所提高，且均方根誤差為7.045較原來的模型有所減少。說明改進后的模型更好，擬合效果見圖3。

2.3 問題三的求解

2.3.1 數據數量對模型的影響

數據樣本數量應該適中就好，并且數據在整體中的分布要盡可能均勻，才能正確反應整體，建立的模型才更精準。

2.3.2 維度對模型的影響

以組胺為例進行不同維度的多元線性回歸，發現不是維度越高越好，維度升高必導致模型復雜度升高。要結合數據選擇對濃度影響顯著的顏色讀數建立模型，方可提高模型精度。