利用表象變換求解非厄米量子系統的能量本征值

高慧芬，周小芳

（長治學院 電子信息與物理系，山西 長治 046011）

初等量子力學中，我們的研究對象是本征值為實數的厄米系統。但是，本征值為實數的量子系統也可能是非厄米的。在非厄米系統中，通過調節系統參數，本征態可以合并，合并點稱為奇異點。自1966年Kota提出奇異點概念以來，奇異點多次在實驗上被驗證和研究。例如，圓柱微波腔[1]、聲學腔、光學腔[2][3]和耦合電子電路[4]等，這些系統中都可以觀察到奇異點的存在。通過這些實驗，許多由奇異點的產生而誘導的新奇現象得到了驗證與研究，如超材料中的相干完美吸收[5]、損耗導致的復蘇激光[2]等。

理論上，只要知道描寫非厄米系統的哈密頓量，就可以求出系統的本征值，進而判斷系統是否存在奇異點以及奇異點產生的條件。但是對于一個比較復雜的系統，只通過本征值而獲得完整的奇異點的條件還是比較困難的。

文章介紹一種利用表象變換求解非厄米量子系統本征值的方法，該方法的優點是在求解本征值的同時，可以從不同的表象中看出奇異點是否存在，從而得到完整的奇異點條件。

1 非厄米系統本征值的計算

1.1 利用表象變換求解2×2非厄米系統的本征值

由兩個耦合聲學微腔A和B構成的二能級系統，哈密頓算符H可以寫為：

其中t是耦合系數，γ0是每個聲學微腔的內部損耗，γ=γ0+Δγ，Δγ是兩個微腔相互影響導致的損耗。將H寫成

把H變換到H0表象

從（3）式可以看出，當 Δγ=0，t=0 時，H＇11=H＇22，此時存在奇異點。

為了求出系統存在奇異點的完整條件，將H＇再次對角化為：

由（6）可知，系統的本征值為：

因此，系統奇異點存在的條件為：

1.2 利用表象變換求解4×4非厄米系統的本征值

由兩對耦合聲學微腔構成的四態系統，哈密頓量寫為：

其中γ=γ0+Δγ，k是兩對聲學微腔之間的耦合系數，ω1和ω2是每對聲學微腔的共振頻率。將H寫成

把H旋轉到H0表象：

變換矩陣U1為：

為了求出系統存在奇異點的條件，將H＇再次對角化為：

由（15）可知，系統的本征值為：

因此，系統奇異點存在的條件為：

2 總結

文章利用表象變換求解了2×2和4×4非厄米量子系統的本征值。在求解過程中，利用量子系統在不同表象中本征值不變的性質，在定性理解一些奇異點出現的物理本質的同時，求出了奇異點滿足的完整條件。由于該方法涉及到系統哈密頓量在不同表象中的表示形式，從各種表示形式中可以看出一些奇異點出現的條件，因此，該方法在處理更高階的非厄米量子系統時，得到的奇異點條件更完整。