移動最小二乘法導數近似討論

楊建軍 楊子樂 黃旺 文丕華

摘要：在移動最小二乘法（moving least squares method， MLS）構造無網格形函數的數值方法中，通常采用無單元伽遼金法（element-free Galerkin method， EFG）的建議，將系數向量a參與導數運算。為探討這種導數近似算法在更一般無網格法中的適用性和合理性，針對系數向量a是否應參與運算的問題進行討論和數值檢驗。結果表明：單純從近似意義上講，這種將系數向量代入導數運算的算法并不具有優勢；從數值方法的應用意義上講，這種導數近似算法對數值求解，特別是強式無網格法，會帶來一系列潛在不穩定的問題。建議在MLS導數近似中，系數向量a不應當參與導數運算，并提出采用一種由核基函數代替普通基函數的核近似法。

關鍵詞：無網格法； 移動最小二乘法； 導數近似； 系數向量； 核近似

中圖分類號：O241.3，O242.2，O302

文獻標志碼：A

文章編號：1006-0871（2018）01-0028-07

Abstract： In the numerical method of meshless shape function constructing with moving least squares method（MLS）， the element-free Galerkin method（EFG） is adopted customarily， and the coefficient vector a usually take part in the derivative operation. To investigate the applicability and rationality of this derivative approximation algorithm applying to more general meshless method， the discussion and numerical tests are carried out which focus on whether the coefficient vector a should take part in computing or not. The results show that on approximate means only， there is no advantage if the coefficient vector takes part in computing； on the application means of the numerical method， there is a series of potential instability problems using the derivative approximation algorithm on numerical calculation， especially for the strong meshless method. It is suggested that the coefficient vector a should not be included in the derivative operation. A core approximation method is proposed in which the common basis function is replaced by core primary function.

Key words： meshless method； moving least squares method； derivative approximation； coefficient vector； core approximation

0 引 言

移動最小二乘 （moving least squares， MLS）法最初用于地理信息繪制和表面擬合。[1-3]隨著無網格法研究的興起，MLS法被廣泛用于構造無網格形函數。[4-9]

BELYTSCHKO等[10]提出無單元伽遼金法（element-free Galerkin methods， EFG）時，主張系數向量a（x）不應當被假定為常數向量，而應參與求導運算。此后，這一觀點被廣為接受，在MLS法的導數近似中得到普遍應用。[11-18]

MLS法在執行導數近似時，系數向量a（x）是否該參與導數運算是一個由來已久的問題。鑒于該問題涉及導數近似中基本概念的爭議，并且應用范圍非常廣泛，因此有必要重新審視。

1 移動最小二乘法

設問題域Ω上的場函數為u（x），這個場函數的值只在一些域內的散亂點上已知或可測量。為獲得目標點（計算點）

xI處的場函數uI（x），為xI設置一個以其為中心的局部支撐域ΩS，見圖1。只要這個支撐域足夠局部，場函數u（x）總可以用一個預定義的試函數

u～（x）近似描述。

由于多項式函數較簡單，因此MLS法一般采用多項式試函數，即

以上所述即為經典的MLS法。在此基礎上，可以使用復變量近似方法提高計算效率和計算精度[21]，或者通過改造基函數使其具有插值性[22-23]。此外，為提高MLS法的計算穩定性和計算精度，可使用核基函數代替普通基函數，即移動最小二乘核近似（moving least squares core，MLSc）方法。[20，24-25]式（2）對應的核基函數可寫為

MLSc法可以保證A矩陣條件良好，從而可以顯著提高近似計算的精度和穩定性。[20]這一優勢將在后續數值算例中給出檢驗。

2 MLS導數近似

式（12）是目標點xI處場函數的近似，在數值方法中，如果要執行場函數導數的近似，可通過形函數J的求導實現，即

上述2種導數近似方法的本質區別是向量a作常數考慮還是作非常數考慮，對該分歧討論如下。

（1）式（4）引入權函數w（x），但不應當改變向量a的初始假定和本質屬性，a作常數考慮合理。

（2）a不作常數考慮，則除基函數需求導外，還要對權函數求導，無疑會增加對權函數連續性的要求。通常，權函數的連續性要高于基函數的連續性，權函數求導并不會提高近似函數的連續性，因為近似函數的連續性由基函數的連續性決定。

（3）a不作常數考慮時，形函數J的導數中會出現A及其導數求逆的累加，如式（21）和（22）。從原理上講，這會造成誤差累計，對計算精度不利。

（4）MLS法本質上是一種非常簡單的方法，但a參與導數運算后，使算法變得非常復雜，這樣會削弱MLS法的競爭力。

（5）如果a不作常數考慮確定對EFG法[10]有利，那么對更一般的方法，這種優勢是存在疑問的。

接下來，進一步通過數值試驗來進行審視。

3 數值檢驗

3.1 算例1

曲面擬合問題對近似方法的檢驗比較直接，因此通常被用于近似算法檢驗。假設在x∈[0，1]且y∈[0，1]問題域上的曲面函數為

其函數圖像見圖2。該函數的偏導數很容易得到，此處從略。在近似計算中，為避免散亂節點的擾動，采用規則節點離散方案。節點間距h=0.2的場節點離散方案見圖3。

在近似計算中，任一目標節點xI的場函數u，一階導數u，x和二階導數u，xx由其他節點的場函數值通過近似計算得到。

為評價近似計算的精度和收斂性，定義平均L2誤差范數為

式中：ξI，num為數值計算得到的值；ξI，exa為解析得到的精確值；N為考察的計算點數量。對于曲面擬合問題，N為所有的場節點數量；對無網格法求解問題，N為結果輸出路徑上的取值點數量。

設置一組疏密不同的節點離散方案（節點間距為h），將原函數、一階導數和二階導數的近似誤差匯總，見圖4。圖例中，“MLS”表示使用經典MLS法，“MLSc” 表示使用改進后的MLSc法，a表示將a視為常數不參與導數運算，a（x）表示將a視為非常數參與導數運算。

忽略一些細節問題，圖4可以解讀為2個主要結論：（1）a參與導數運算并沒有表現出預期的優勢；（2）MLS法在節點稠密時收斂性將變差，而MLSc法總是表現為嚴格的收斂性。

3.2 算例2

為不失一般性，考慮一個形狀較為復雜的，或者場函數光滑性較弱的曲面擬合問題。假設在x∈[-8，8]且y∈[-8，8]問題域上的曲面函數為

該曲面函數的圖像見圖5。

繪制一組疏密不同的節點離散方案和場函數及其導數的近似計算誤差，見圖6。由此得出的結論與算例1保持一致：（1）a參與導數運算在近似精度和收斂性上，比a不參與導數運算更差；（2）MLS法隨節點加密會喪失收斂性，MLSc法總是表現為更高的計算精度和嚴格的收斂性。

3.3 算例3

結合一種具體的無網格方法進一步檢驗，使用有限點法（finite point method，FPM）[26-27]。選擇FPM主要考慮到：該法是直接的配點法，屬于最簡單的無網格法之一，對近似計算的驗證受數值離散算法的影響較小[28]；更重要是，FPM屬于強式法，會使用到二階導數近似，對問題的驗證會更完整。

選擇一個常用的懸臂梁問題算例，其結構模型見圖7。計算采用無量綱化（量綱歸一化）處理，計算參數取：梁寬D=2，梁長L=12，梁端荷載集度P=6，彈性模量E=10-4，泊松比ν=1/3。將y=0路徑上的縱向位移uy和x=L/2路徑上的剪切應力σxy作為計算指標，其解析解[10，29]為

式中：I為截面慣性矩，I=D-3/12。數值計算中為避免散亂節點擾動，采用規則節點離散方案，但各坐標方向的標準節點間距不同，且hx=2hy。hy=0.4的場節點離散方案見圖8。為便于讀者直觀了解FPM求解該問題的效果，給出hy=0.2離散方案的計算結果，見圖9。

2種導數近似方法分別采用MLS法和MLSc法的數值計算收斂性比較見圖10（最密節點間距取hy=0.05）。由此可以看出，a不作常數考慮時，不論是位移解還是應力解，其計算收斂性要比另外的方案明顯變差，只是在節點較為稀疏時，似乎a不作常數考慮的解更精確。但須注意到，在節點非常稀疏的情況下，求解精度本身是非常粗糙的，不具有代表性，所以此處的結論依然應該是：a不作常數考慮時，求解收斂性并不具有優勢。

無網格方法對局部支撐域尺度參數αS的敏感性，不僅直接反映數值方法計算的穩定性，也可以反映近似計算的穩定性。因此，對支撐域尺度參數的數值計算影響效果進行分析，hy=0.2時的計算結果見圖11。顯然，不論是位移解還是應力解，a參與導數計算的數值結果明顯要差得多，換句話說，a參與導數計算的情況下，數值方法的計算穩定性會變差。必須注意的是，支撐域尺度參數αS=3.4時，a參與導數計算的效果出現偶發性的好轉，而圖9的結果正好采用這一參數，均不具有普遍性，因此此處的結論依然類似，a不作為常數考慮或a參與導數計算時，在數值計算的穩定性上不具有優勢。

3.4 算例4

在矩形域Ω（0≤x≤a，-b/2≤y≤b/2）上，當取a=b=1時，泊松方程可定義為

其函數圖像見圖12。采用FPM求解該問題，問題域采用不規則節點離散，見圖13。

取x=0.8的輸出路徑，選擇21個等間距分布的取值點，此結果輸出路徑上的數值計算收斂性見圖14。由此可以得到與前幾個算例類似的結論：（1）總體上，a參與導數計算的求解結果會更差，雖然在隨機節點高度稠密區間，即ha<0.02時，a參與導數計算的結果似乎更好些，但這個區間對經典MLS而言，數值解已經喪失精確性，其優劣性的評價意義不大；（2）改進的MLSc法的數值解嚴格收斂，而MLS會隨著節點稠密變得非常不穩定。

4 結 論

通過4個數值算例驗證，均得出a參與導數運算的負面影響，這顯然與EFG方法的建議不同。其中，2個算例是通過曲面擬合的方式直接檢驗MLS的導數近似效果，對問題的評價具有普遍意義。此外，采用FPM通過2個數值求解算例評價a參與導數運算的優劣性。單用一種具體的方法評價，雖然有失全面性和公允性，但至少可以說明一個問題：EFG方法中認為a參與導數運算使數值求解更精確，這個結論不是對任何方法都適用的，不具有普遍性。

在EFG方法[10]中，對a參與導數運算的效果評價通過一個簡單小片試驗算例進行驗證，場節點非常稀疏，精確解又是一個簡單的二次多項式，加上EFG方法只會使用一階導數近似，因此其論據支持顯然偏弱，說服力不夠，將其結論不加鑒別的普遍推廣，是不恰當的。

從原理性分析的角度來看，系數向量a不參與導數運算是完全合理的。簡單地說，多項式函數的求導與系數無關，將a作為函數處理并參與導數運算，會增加問題的復雜性。更重要的是，經過本文的初步數值驗證，這種處理會使情況變差而非向好。

此外，數值算例也對核近似方法MLSc和經典的MLS法進行比較，進一步證明MLSc法是一種嚴格收斂和計算穩定的有效方法。此數值檢驗結果完全符合文獻[20]的理論解釋。MLSc法的改進措施很簡單，但對提升MLS方法的計算效果卻非常顯著。

在MLS導數近似中，系數向量a不應當參與導數運算，建議采用更簡單的MLSc方法使計算更加精確和穩定，其在無網格近似方法的選擇比較中更具有競爭力。

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（編輯 武曉英）