非線性隨機振動的等效線性化法分析

在工程實踐的各個領域廣泛地存在著非線性系統，而外在的激勵又廣泛地存在著隨機性，因此計算在隨機激勵下結構的響應及統計特征具有十分重要的意義。近年來對于線性系統的隨機振動響應的研究已經很成熟，非線性隨機振動問題的研究也取得了很大程度的進展出現了諸如攝動法，擴散過程理論法，等效線性化法等。在非線性隨機振動的近似方法方面，等效線性化方法［3］［4］［5］由于簡單、實用，并能滿足工程分析精度，因而在處理工程動力學問題中獲得廣泛應用。

1 一般等效線性化法

對于單自由度非線性隨機振動的微分方程可以概括為：

（1）式的等效線性微分方程可以描述如下：

如果f（t）為均值為0的平穩高斯過程，系統具有弱非線性，響應X，近似為平穩高斯過程，并假定上式中的各隨機過程是各態歷經的，則可推出：

2 加權等效線性化理論

設單自由度非線性系統的隨機振動微分方程為：

引入如下的等效線性微分方程：

把響應函數X（t）的穿越概率P（X）作為一個權函數作用在殘差函數上，使得E［pe2］的值為極小值，通過滿足這樣的條件來求取等效ce，ke的值。

上述的討論思路清晰，但計算等效系數ce，ke仍然比較繁瑣。為此，可以作進一步的簡化，假設F（t）為一均值為零的平穩高斯過程，從而可得等效線性方程的響應也為高斯過程。

單位時間內正穿越X的概率為

根據式（7），（10），（11）經過迭代可以求出等效系數 ce，ke的值。

3 等效線性化法的研究意義

等效線性化法的思路簡單，計算精度的誤差一般在0-20%之間，對于弱非線性系統可以達到滿足工程所需精度的要求。

等效線性化法還可以結合其他概率方法解決更復雜的系統隨機振動問題，諸如：使用點估計法通過將結構隨機參數分解為若干確定性的積分點，隨之可以將平穩隨機激勵下非線性隨機結構轉化為一些列確定性非線性結構在平穩隨機激勵下振動問題，進而再使用等效線性化法［6］。

［1］陳立群，梅波.關于單自由度非線性諧迫振動等效線性化方法的注記［J］.長沙大學學報，2003，17（4）：6-7.

［2］陳立群.等效線性化方法的最優性［J］.力學與實踐，1996，18（1）：56-57.

［3］方建杰.隨機振動的一種加權等價線性化方法［J］.應用力學學報，1991，8（3）：114-120.

［4］張明.非線性隨機振動等效線性化的一種推廣［J］.西南交通大學學報，1998，33（1）：77-81.

［5］彭解化等.一類非線性系統隨機振動的等效線性化［J］.振動與沖擊，1995（1）：30-35.

［6］劉楊.平穩隨機激勵下隨機結構非線性動力響應分析［J］.地震工程與工程振動，2011，31（1）：1-4.