利用函數思想指導數學線性代數問題的解決

張賓然 成都市列五中學

函數思想的利用具有多方面的優勢，其不僅能夠清晰的對數學題目中的因素、關系進行提取，從而讓數學問題更加明朗化。同時也能通過對數學對象、特征的總結，繼而建立起廣泛聯系的函數關系。據此，將函數思想作為解題指導引入到線性代數的解題過程中，也便具有了極為深刻的現實意義。

1 線性代數問題下的函數思想概述

函數思想是數學知識理論體系中的重要內容，指的是通過對函數概念與性質的探究，再對問題進行深入分析與轉化，并最終實現解題目標的過程。一旦建立起相關函數關系，既可以對變量變化規律、抽象數學對象等抓取信息，同時這種更加簡便、準確的解題方式也具有普遍的適用性，利用函數思想也能對許多的數學問題進行解答。將函數思想納入到線性代數的題型探析中，通常也可以收獲到較為優異的成效。

2 利用函數思想解答線性代數問題的方法

2.1 運用函數思想解決線性代數問題的具體辦法

高中線性代數中囊括了行列式、線性方程組、矩陣、線性變化、空間小向量等知識點，關于線性代數問題中函數思想的解題應用，大致可以歸納為以下幾個方面。

第一，關于函數思想在方程式中的解題。在此種題目中主要為通過已知量來求解未知量，并且這種描述方式是較為直接的數式形式。要解答這類問題首先要將函數式看作零的數量，然后再對該已知數量進行轉化，從而讓數式轉化為方程或方程組形式。接著在簡化方程的基礎上，再結合函數圖像便可以快速解答出該問題。例如，在對移項簡化之后獲得的方程式為lgx=2-1，根據該方程式建立起坐標系并畫出圖像走勢，再將相交的點相加便可以得出答案。

第二，在列式中的解題也是通過對變量的變化規律展開研究，利用函數圖像對數的分布情況進行描繪，從而得出列式的曲線圖。需要注意的是，由于數列均為整數點位，所以在取點的過程中也通常提取離散點，所以圖像也并非為連續性的。

第三，在不等式問題上的解答。函數思想中具有的明顯特征極為函數具有值域，而這邊與不等式的解題達到了相互契合的效果。通過畫出函數圖像，能夠輕易地畫出函數的區間，而區間所代表的范圍即為不等式的求解范圍。例如，對于不等式變量的求解在x∈[0,6]，那么在函數圖像上的表示則為x∈(-∞,-1)∪(6,+∞)。

2.2 結合實例對線性代數函數解題方法的分析

第二，利用函數的圖像性質來解答題型。例題2，已知直線L過原點，并且拋物線C頂點在原點上，其焦點在x軸的正半軸，假設點A（-1，0）與點B（0,8）都關于L的對稱，并都在點C上，現求直線L及拋物線C的方程。可通過待定系數法來解決這類問題。首先，根據題干設直線L為y=kx(k≠0),并有C為y2=2px(p>0)。設A、B關于L的對稱點分別為A，B并代入到拋物線上消除點p，便可以得出k2-k-1=0，從而求得從中便可以得出直線L的方程又可以表示為，所以拋物線C的方程式則為:。

第三，求曲線的軌跡方程也可以利用函數思想進行解答。以下圖1為例，已知直角坐標平面上點Q（2,0）和圓C:x+y=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|

的比等于常數e(e>0),現求動點M的軌跡方程 并說明它是什么曲線。

圖1

要解決這一問題，需要結合函數思想，通過對圓錐曲線中最值范圍、常用代數法、幾何法等有著熟悉的掌握。當命題中的條件與結論具備幾何特征時，則可憑借圖形性質來解決。假設條件同結論展現了函數的關系式，那么則應當建立目標函數，再對利用二次函數、三角函數、均值不等式等進行求解。從上題中不難看出，通過對點M的集合的求解，并將坐標點代入到切圓之中，便可以得出當e表示直線時其值的大小，并最終證明該曲線為圓形。

3 結束語

高中階段的數學學習對于學生的解題思路與解題能力建設都有著舉足輕重的作用，因而，只有不斷加強對函數思想的理論學習與實踐探究，并將探索得出的經驗積極運用到線性代數的問題解答中時，才能真正讓學生實現“學以致用”的學習目標，從而也為數學事業的蓬勃發展奠定更為堅實的基礎。

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