改進的自適應四階偏微分方程的圖像恢復算法

王軍鋒，賀亞茹

(西安理工大學 理學院 應用數學系，陜西 西安 710054)

0 引 言

在數字圖像的生成、傳輸、儲存等過程中容易造成圖像的模糊、缺損和噪聲污染等現象，因而對降質圖像的恢復成為了當前的研究熱點之一。最常見的圖像恢復主要是去除噪聲、修復劃痕、文字污染和去除運動模糊。

目前，二階、四階和分數階的偏微分方程算法在去噪方面已經取得了很好的效果。1990年，Perona和Malik提出了二階偏微分去噪算法[1]，Catte提出了改進的正則化P-M模型以及各向同性和各向異性的去噪算法[2-4]，恢復后的圖像在平滑的過程中模糊了邊緣，出現明顯的階梯效應。You和Kaven在2000年提出了四階去噪算法[5]，該算法有效抑制了“階梯效應”的產生，但同時產生了斑點。Liu Tianhua[6]和王璐[7]分別提出了二階和四階結合的偏微分方程算法。Bai Yunjiao等[8]利用差分曲率算子[9]檢測邊緣，使圖像在邊緣處盡可能慢的擴散或不擴散，有效保留了邊緣。Hajiaboli提出了非線性的四階擴散方程[10]，在梯度方向采用各向異性擴散，在梯度的垂直方向采用各向同性擴散。白云蛟等提出了自適應的四階去噪模型[11]，提高了圖像質量。

在介紹現有的四階偏微分方程算法的各向同性和各向異性擴散的基礎上，在自適應的四階去噪模型中引入一種新的擴散函數，并通過實驗對其進行驗證。

1 四階偏微分方程模型

為了避免階梯效應，You和Kaven提出了四階的偏微分方程去噪模型(Y-K模型)。其能量泛函為：

(1)

通過求解歐拉-拉格朗日方程，得梯度下降流為：

(2)

(3)

由于拉普拉斯算子會過渡平滑圖像，導致圖像的邊緣和細節信息的丟失，因此Hajiaboli提出用|I|代替|2I|檢測圖像特征信息。為了不產生斑點和階梯效應，Hajiaboli提出了非線性的四階偏微分方程(Hajiaboli模型)：

(4)

(5)

其中，η為梯度方向；ξ為梯度方向的法向。

該模型在噪聲較小時，梯度方向擴散速度大于法向，能更好地保留邊緣。

2 文中算法

用于檢測邊緣的算子有很多，如梯度模值算子、雙十字梯度算子[12]、差分曲率算子[13]、path similary[13]算子等，其中應用最廣泛的是梯度模值算子。例如，P-M模型中采用的邊緣檢測函數為：

(6)

Weichert提出了一種邊緣檢測函數：

(7)

白云蛟等提出了一種自適應的邊緣檢測函數和擴散函數：

(8)

其中，h0為常數；n為迭代次數；梯度模閾值用h0×n-1/3表示。隨著迭代次數的增加，梯度模閾值將逐漸減少，與傳統的取閾值方法相比，具有自適應和調節閾值的能力，更有利于檢測和保護邊緣。

(9)

圖1中取k=20,隨著|I|的變化，c1、c2、c3函數曲線整體呈下降趨勢。通過對比可看出，當|I|≤k時，c1呈下降趨勢，c2=1，c3的值先取到1，再逐漸下降；而當|I|>k，c2、c3下降很快，并逐漸趨近于0。因此，選取合適的閾值，且在|I|≈k的一個小鄰域內，擴散函數快速從1下降到0，能更有效地去除噪聲，保留邊緣。

因此文中提出了一種新的邊緣檢測函數和擴散函數：

(10)

令x=|I|-k

(11)

圖1 各種擴散函數變化曲線

3 數值實現

(12)

采用中心差分格式求解圖像在x,y方向的一階、二階導數:

(13)

圖像η和ξ方向的二階導數為:

(14)

對應的邊界條件為：

(15)

(16)

對應的邊界條件為：

(17)

將式(4)變型為：

(18)

4 實驗結果分析

為驗證算法的有效性，將文中方法與四階自適應模型(Hajiaboli+c1模型、Hajiaboli+c2模型、Hajiaboli+c3模型)進行比較，采用均方差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)[14-16]評價算法性能。均方差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)定義如下：

(19)

(20)

其中，M×N為圖像大小；I(i,j)和I0(i,j)分別代表原圖像和去噪后圖像在對應像素點的像素值。

在仿真實驗1中，選取256×256的Lena圖像并加10倍的隨機噪聲。文中模型參數為：迭代步長t=0.03,迭代次數i=70，為方便對比，梯度模閾值k=5，高斯濾波的方差為3，窗口大小為3×3。從四種模型的圖像恢復結果(圖2)中可看出，隨著迭代次數的增加，采用c1算子會出現過渡平滑造成帽子邊緣、頭發等區域模糊，采用c2、c3算子去噪效果明顯，但丟失了頭發區域等部分細節，采用c4算子去噪效果很好，保留了邊緣，頭發區域也比較清晰。

圖2 實驗1中各種模型的Lena圖像恢復效果比較

仿真實驗2中，選取242×308的eight圖像并加10倍的隨機噪聲。文中模型參數為：梯度模閾值k=20。從四種模型的圖像恢復結果(圖3)中可看出，隨著迭代次數的增加，采用c1、c2、c3算子去噪效果良好，但會造成邊緣模糊，采用c4算子去噪效果很好，硬幣上的圖案也比較清晰。

表1是各種算法的評價參數對比結果。從實驗數據可知，文中模型有效克服了階梯效應和斑點的出現，且盡可能多地保留邊緣和部分細節信息，提高了圖像的質量。

表1 各模型的均方差和峰值信噪比

5 結束語

針對已有的偏微分方程模型的不足，提出了一種基于自適應的四階偏微分方程算法。從實驗結果可以看出，該算法在去除噪聲的同時，能保留邊緣和細節，并能有效克服階梯效應和斑點的產生，提高了圖像的質量。

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