皮納衛星編隊保持動力學分析

，，

1. 北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191 2. 北京控制工程研究所，北京 100190

近年來皮納衛星由于其造價低廉，在編隊飛行中的應用日益普遍，國際上對分布式小衛星系統技術要求水平不斷提高。編隊衛星當前軌道控制精度一般為毫米級，姿態控制精度一般為0.5°，而國內多顆小衛星在軌運行中都出現了飛輪系統過早失靈的情況。

2015年起，歐洲對衛星編隊的軌道控制精度要求達到了毫米以下，美國更是將編隊飛行控制精度提高到了微米甚至納米級[1]，早在2002年就于GRACE兩星串聯編隊上提出了距離與速率測量精度分別要達到1 μm和1 μm/s的要求，空間激光干涉引力波探測項目(Laser Interferometer Space Antenna，LISA)中3個航天器相互位置關系精度要求在米級以下，因此精度要求高于10-9[2]，超高精度的位置要求必需由超高精度的控制系統來完成。

場發射電推力器(Field Emission Electric Propulsion，FEEP)單個發射器推力為0.5～100 μN，通過設計安裝瞬間開關功能[3]，可以用于微牛頓量級的擾動補償系統；美國噴氣推進實驗室(Jet Propulsion Laboratory，JPL)研制的微型氙離子推力器，質量僅有0.2 kg[4]，單臺壽命長達15 000 h以上。歐洲航天局(European Space Agency，ESA)和美國國家航空航天局(National Aeronautic and Space Administration，NASA)為滿足LISA先驅者任務的推力和載荷要求，研制出包含9個銦液態金屬離子源(Liquid Metal Ion Source，LMIS)的FEEP簇，每個LMIS攜帶銦15 g，最大推力100 μN，在結構上集成前置電阻，使FEEP簇共用一個電源，這樣既滿足了推力分辨率，又增加了最大推力，整體質量大大減少。

皮納衛星編隊軌道控制精度的提高對于控制方法也有更高的要求。一般用C-W方程研究近距離衛星編隊構型的控制[5-7]，典型的控制方法有LQR方法、Lyapunov方法[7]、滑模方法[8-10]；文獻[8]采用了線性最小滑模誤差反饋法，用于抵抗飛行過程中遇到的大擾動；文獻[11]采用了基于視線角觀察值的編隊構型保持方法；文獻[12]考慮了外部干擾下連續時間導航和制導混合的控制方法。上述控制方法的控制精度普遍在米級或者毫米級，不能滿足消除微小擾動、節省能量及延長在軌時間[13-14]的要求。而bang-bang控制方法對模型參數變化及各種干擾的響應能力都較強，可以對小推力器的推力小、系統響應慢，以及收斂時間長等不足進行彌補。

本文針對目前皮納衛星在編隊飛行中只有毫米級控制精度，難以滿足對地定向等應用需求，提出了在小推力作用下的bang-bang高精度的編隊控制律，很好地解決了皮納衛星編隊構型保持問題，為皮納衛星編隊構型的設計提供理論指導。仿真表明，提出的控制方法不但可以使系統快速收斂，同時還能使皮納衛星編隊的星間控制精度達到1 μm，與滑模控制律相比較，精度提高近103倍。

1 編隊構型控制模型

1.1 編隊衛星動力學方程

則，第i顆衛星的動力學方程組表示為：

(1)

(2)

式中：扁率攝動系數取J2、J3、J4三項，見表1；fD=(fDx,fDy,fDz)；CD為阻力系數，自由分子流中取常數CD=2.2；S/m為衛星的面質比；ρ為衛星所在空間的大氣密度；V=v-va為衛星相對于大氣的運動速度；m′為第三體質量，其他各量意義如圖1所示；p為太陽輻射壓強，取為常數p=4.65×10-6N/m2；RS為太陽方向，RS=(cosΛ,sinΛcosε,sinΛsinε)，其中，Λ為太陽在黃道上的黃經；ε為黃赤交角，約為23°26′，太陽黃經由歷法計算；k為材料吸光系數，取值如下：

表1 地球扁率攝動系數

nJn×10-6nmJnm×10-6λnm/(°)21082.630000221.81222-14.54503-2.535600312.207927.08004-1.632336320.37190-17.4649

圖1 三體力學模型簡圖Fig.1 Model of three-body problem

(3)

圖2 推力器分布示意Fig.2 Diagram of the thruster distribution

定義兩衛星間的編隊構型參數為：

編隊構型參數的幾何意義如圖3所示。

圖3 編隊構型參數(dF,αF,βF)幾何示意Fig.3 Geometric diagram of the formation parameters (dF,αF,βF)

圖3中dF為星間距離，αF為從星與主星的連線相對于xioiyi平面的夾角，βF為從星與主星的連線在xioiyi平面投影相對于oixi軸的夾角。

1.2 三軸解耦相對狀態方程

定義相對狀態矢量為：

(5)

式中：

則，衛星編隊的相對動力學方程為：

(6)

編隊構型參數穩定可等價于保持相對狀態矢量穩定在理想的相對狀態矢量：

(7)

改寫式(6)為：

(8)

式中：σk∈{-1,0,1}為分片常值函數，k=1,2,3。

(9)

將式(9)代入式(8)，得到相對動力學誤差模型：

(10)

(11)

式中：控制輸入σ∈{-1，0，1}，其他子系統類同。

1)對所有r>0都存在控制參數使得x0∈R2，且對所有t0∈R都存在T>0使得對所有t≥T都滿足φ(t,t0,x0)∈Br(0)；

2)在任意給定的較小時間間隔[t0,t1]內，控制輸入σ都在有限次數內完成。即必須在一個閉區間的時間間隔內通過有限次數的開關完成編隊構型保持。

2 基于bang-bang控制的連續-離散混合控制器

bang-bang控制將狀態空間(即相平面)分為兩個區域，分別對應于控制變量取正的最大值和取負的最小值，保證使軌跡趨向原點的切換頻率是有限的，由此可以提高推力器的分辨率，實現高精度控制。而bang-bang控制最短時間控制器的開關面設計，可以改善小推力對衛星編隊快速機動的敏感不足。采用連續和離散狀態混合的控制律設計，能夠通過離散控制律的狀態減少推力器的開關切換次數，延長推力器工作壽命。

2.1 開關面設計

基于最短時間控制器得到切換面如下：

Γ+和Γ-分別為如圖4所示的兩塊區域，開關面表示為：

兩條開關線的表達式為：

(12)

為了消除滑模影響，增加開關線x2=0，組成區域Σ+和Σ-，該區域保證使軌跡趨向原點的切換頻率是有限的。

圖4 Γ+和Γ-的幾何意義Fig.4 Geometric diagram ofΓ+and Γ-

Σ+和Σ-如圖5所示，表達式為：

(13)

圖5 切換平面Σ+和Σ-Fig.5 Geometric diagram ofΣ+and Σ-

(14)

2.2 控制律

令0<δ1<δ2

(1)精度優化控制律

提出一種混合控制律，運用離散狀態qi激活和反激活切換曲線Σ+和Σ-。

精度優化控制律由圖6有限狀態機中虛線方框內的過程給出，圖中Q={q1，q2，q3}為離散狀態，x∈R2為連續狀態，σ(·):Q→R為混合反饋，精度優化控制律表示為：

(15)

參數選擇條件如下：

2)δ2的取值必須遠小于r，其值可以按如下條件選取：

當:

(16)

否則，

(17)

3)δ1是滿足小于δ2的正數，且δ1的取值會影響控制器式(15)的切換頻率，δ1越大會導致開關次數越多。

圖6 表示控制律的有限狀態機Fig.6 Finite-state machine of the control theory

(2)能量優化控制律

假設穩定階段只受攝動影響的小擾動，為節省燃料，減少推力器工作時間，延長在軌工作壽命，在控制律式(15)的基礎上添加最大容許誤差限η，當控制誤差Δdf小于η時，不施加控制；反之再施加控制，控制律實現過程由圖6整體描述，具體表示為：

(18)

其他相關參數的選擇同精度優化控制律。

3 數值仿真

仿真條件如表2所示。

表2 仿真條件

3.1 精度優化控制律仿真

根據精度優化控制律式(15)進行仿真分析。

3.1.1 穩定領域r變化的仿真討論

初始條件如表3所示。

表3 初始條件

圖7給出了星間距離dF隨時間的變化曲線，可看出最終星間距離穩定在事先給定的2 m。

圖8分別給出了r取不同值時，穩定階段的星間距離誤差ΔdF隨時間的變化曲線和衛星某個正向推力器的開關狀態曲線。比較得出：

圖7 星間距離dF隨時間變化曲線Fig.7 Curve of the dF changing with the time

1)誤差dF保持在高精度范圍內；

2)當r=0.001 8時，改變推力器開關狀態并不頻繁，且構型保持階段推力器開啟時間只持續數秒；

3)穩定區域半徑r取值越小，則星間距離誤差越小，但相應的推力器開關次數變的越頻繁。

圖8 r對穩定階段的星間距離誤差ΔdF和推力器開關狀態的影響Fig.8 Curves of the ΔdF and the x-axis thruster′s states with different r

3.1.2 高中低軌飛行的控制精度分析

初始條件如表4所示。研究主星分別位于高、中、低軌時的飛行情況，并與滑模控制方法進行比較。

從圖9可以看出，4顆從星的編隊構型的相軌跡能很快地收斂至原點，符合要求。

由圖10可以看出，在考慮攝動因素情況下，主星位于高、中、低軌時星間距離精度均能保持在30～50 μm范圍內，而對比文獻[16]中采用的基于終端滑模控制器，最終達到0.002 455 m的精度，明顯本文方法更有優勢。

表4 初始條件

由圖11可以看出，當4顆從星受到較大擾動偏離標準軌道時，采用本文控制方法后，衛星很快回到目標軌道，并且構型保持在穩定范圍內。

3.1.3 參數改變的影響分析

(1)不同軌道高度

在衛星質量8 kg條件下，改變參數δ1和δ2，仿真結果如表5所示。

圖9 Δvxb-Δxb分系統相平面構型曲線Fig.9 Phase plane curve of theΔvxb-Δxb subsystem

圖10 各個從星距離誤差ΔdF隨時間變化曲線Fig.10 Curve of the ΔdF changing with the time

由表5可知：

1)本文控制律對各種高度軌道飛行器均有良好的控制特性；

2)隨著軌道高度減小，攝動力增大，所需推力也相應增大，若需達到高軌同樣的精度，推力器的切換頻率將大大增加；

3)調整δ1和δ2可以減小誤差，但相應推力器的切換頻率將會變大，且不施加控制的時間縮短，因此，需要兼顧切換頻率、控制時間及誤差。

(2)不同推力分辨率

當放寬對推力器推力分辨率及開關時間的要求，得到表6的結果。

表6說明推力器的推力越小，采樣時間越短，則誤差越小，在推力為0.03 mN時，軌道控制精度最小可以達到1 μm，目前小推力器最小推力已經能夠達到微牛量級，所以星間距離精度有望達到納米級。

表5 仿真結果1

注：軌道高度n1為地球半徑(6 378 km)的倍數。

表6 仿真結果2

3.2 能量優化控制律仿真分析

基于能量優化控制律式(18)，以表5中的高軌為例，當星間距離穩定在精度范圍內10 s后一定時間內不施加控制，當位置誤差大于要求精度時，再重新施加控制，得到仿真結果見表7。

由表7可知：

1)不施加控制的時間與推力大小無關，只與星間距離最大允許誤差有關；

2)當推力器的分辨率達到0.1 N時，星間距離的均方根誤差依然能達到0.2 mm左右，且星間距離誤差幾秒內快速收斂；

3)星間距離的誤差范圍增大，可以使不施加控制的時間增長，但同時衛星回到規定精度所需的時間和能量均需要增加；因此，需要權衡利弊使系統獲得性能最優。

以表6中第1組第1種情況即推力0.03 mN,采樣間隔0.2 s為例進行仿真，結果如圖12所示。

表7 仿真結果3

圖12 各個從星星間距離dF隨時間變化曲線Fig.12 Curve of the dF changing with the time

由圖12可以看出，當星間距離誤差收斂到要求精度30 μm內10 s后，不再對衛星施加控制；在不控制區間，要求星間距離誤差不超過0.1 m，一旦超過0.1 m，控制系統重新啟動，星間距離誤差快速收斂，回到30 μm內，循環往復。可以看出，一定時間不施加控制的方法，可以延長在軌壽命。

4 結束語

針對基于小推力高精度的皮納衛星編隊構型控制開展研究，結果如下：

1)根據小推力變化緩慢的控制特性，建立三軸解耦的相對狀態方程，分別對各子系統進行控制律設計；

2)采用時間最優條件設計bang-bang控制器開關面，提高小推力推力器控制的快速響應特性；

3)通過有限狀態機設計精度優化控制律，使其對軌道參數及攝動大小等的變化更具有魯棒性；

4)設置誤差門限控制推力器工作時間，設計能量優化控制律，由此不但節省燃料，而且延長衛星的在軌壽命；

5)本文提出的基于bang-bang控制的連續-離散混合控制方法使皮納衛星編隊星間保持精度提高到1 μm，相比于滑模控制方法的保持精度提高103倍。

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