質量比和阻尼比對高阻尼渦激振動的影響

李小超 ， 周熙林 ， 趙利平 ，2

（1.長沙理工大學 水利工程學院，長沙 410004；2.水沙科學與水災害防治湖南省重點實驗室，長沙 410004；3.可再生能源電力技術湖南省重點實驗室（長沙理工大學），長沙 410004）

0 引 言

流體流經鈍體結構表面時會發生旋渦脫落，當旋渦脫落頻率與結構自振頻率較為接近時，旋渦脫落頻率在一個較大的流速范圍內被鎖定在結構的自振頻率附近，稱為頻率鎖定或同步，此時，結構處于共振狀態，共振的結果是使結構產生大振幅振動，此現象稱為渦激振動。渦激振動會使很多領域的工程結構遭受嚴重的破壞[1-2]，如航空航天工程（飛機操縱面）、海洋工程（海底管線、立管、張力腿、采油平臺等）和土木工程（橋梁、塔樓、旗桿）等，一直以來，人們努力試圖干擾渦旋脫落，抑制渦激振動以防止其對工程結構的破壞。盡管如此，近年來的很多研究[3-5]表明此振動是可利用的，可以利用它從周圍流場中提取水流動能，并轉化為電能。傳統水力發電的方法是使用水輪機，需要平均流速為2.5～3.6 m/s或更高的流速才能發揮較好的效益[6]，而渦激振動水生能源技術可使用僅為0.514 m/s的流速提取高密度能量[3]，因而能夠廣泛應用于河流、海洋、潮汐和其他水流上。渦激振動水生能源除了可以用來發電之外，也可直接轉換成其他形式的可利用機械能，如利用其進行水力抽水或對海水加壓脫鹽等。Bernitsas等人[3]將渦激振動水生能源的成本費用與其他各種能源的進行了比較（圖1），展示出渦激振動水生能源較強的市場競爭力。

圖1 其他能源與渦激振動水生能源關于成本的比較[3]Fig.1 Cost comparison among conventional and alternative sources of energy and the VIV based energy source

渦激振動能量轉換裝置涉及彈簧支撐的剛性圓柱的渦激振動，見圖2。渦激振動是旋渦脫落引起的結果，交互式渦旋脫落產生不對稱的振蕩升力，使圓柱在垂直于自身軸向和水流流向的方向上振動。渦激振動在圓柱振動方向上產生一個負的阻力，因此圓柱發生渦激振動時從流體中吸取能量。振動體產生的能量取決于振幅和頻率，為了使能量輸出最大化，必須使系統在頻率鎖定的條件下運行。頻率鎖定發生在旋渦脫落頻率與結構自振頻率較為接近時，并且在一個較大的流速范圍內旋渦脫落頻率被鎖定在結構的自振頻率附近，而不僅僅只發生在結構的自振頻率上，頻率鎖定的流速范圍是研究關注的重點之一。圓柱振動的振幅是自限制的，其最大響應幅值并不發生在旋渦脫落頻率與結構自振頻率相等時。上述特性表明，渦激振動是一種自激非線性共振現象。基于振動體的其他海洋能轉換裝置，如浮筒、水柱、振動板等都是利用線性共振，使振幅達到最大。線性共振的大振幅振動頻率帶寬較窄。渦激振動能量轉換裝置是基于非線性共振，在增加轉換能量的同時，盡可能地將振動在整個非線性共振范圍內與其自限制振幅接近。以往的研究[7-8]表明，質量比對頻率鎖定的發生以及鎖定流速范圍有重要的影響。質量比m*定義為振動結構質量與結構排開流體質量之間的比值

圖2 單圓柱渦激振動能量轉換裝置示意圖Fig.2 Simple schematic of a VIV based energy converter module

其中：md為結構排開流體質量，對于圓柱體，排水質量為流體密度，D 為圓柱外徑，L為圓柱長度。

渦激振動能量轉換裝置中，通過能量傳遞系統將圓柱發生渦激振動時的機械能傳輸到能量轉換系統，然后將其轉化成電能或其他形式的可利用能源。不管最終的能量形式如何，能量傳遞和轉換會對渦激振動系統引入機械阻尼，高阻尼的引入使得渦激振動能量轉換裝置不同于一般的渦激振動系統。阻尼太大會抑制渦激振動，導致能量提取失敗。阻尼太小會導致能量提取過少。為了獲得最優的能量提取，需要對渦激振動系統的阻尼量進行優化。對于渦激振動能量轉換裝置，系統阻尼包括圓柱—彈簧系統內部阻尼cs、能量傳遞過程中引起的阻尼ctra、發電機內部電樞的電阻損耗引起的阻尼cgen以及用于能量提取的負載電阻產生的阻尼charn，即c=cs+ctra+cgen+charn，對應的阻尼比定義為

ω為自振頻率（圓頻率）。

關于質量比和阻尼比對渦激振動的影響，文獻[7-9]對其進行了探討，但都關注于低阻尼情況下的渦激振動，本文將主要探討高阻尼條件下質量比和阻尼比等參數對渦激振動響應及能量轉換效率的影響。

1 數學模型

1.1 模型建立

在流體力的作用下由圓柱、彈簧及能量傳遞部件（比如齒條）構成的系統結構作為一個整體在豎直方向上下振動，振動位移用y表示，圓柱運動采用二階方程模擬：

其中：mosc為振動系統質量，包括圓柱質量、能量傳遞過程中連帶振動的部件質量以及彈簧的有效質量，彈簧的有效質量為彈簧總質量的三分之一，k為彈簧剛度，c為系統阻尼系數，ma為附加質量，F為y方向上作用在圓柱體上的流體升力。

圓柱的附加質量可利用附加質量系數由下式計算得到：

其中：Ca為附加質量系數。由于發生頻率鎖定時，結構處于共振狀態，因此結構的響應頻率實質上是考慮附加質量后結構的自振頻率，響應頻率f可由下式計算：

當系統處于共振狀態時，系統振動接近于正弦。假定圓柱的振動響應和升力是簡諧的，它們的頻率同為f，響應和升力之間存在一個相位差。響應y（t）和升力F（t）可以表示為：

其中：A為響應幅值，U為水流流速，CL為升力系數，φ為相位差。Gopalkrishnan[10]通過圓柱受迫振動實驗得到的附加質量系數和升力系數，其中附加質量系數與圓柱加速度同相，升力系數與速度同相，φ可取為（速度與位移之間的相位差為）。 于是（7）式變為

將（6）式和（8）式代入（3）式，得響應幅值

在一個振動周期內流體對圓柱做的功可以由升力與位移響應的乘積在一個周期內積分得到。因此，響應y和升力F一旦求出，流體對圓柱做的功可由下式計算：

1.2 模型求解

Gopalkrishnan測得的大部分附加質量系數曲線都幾乎垂直于代表無量綱振幅的橫坐標軸，這表明附加質量系數對于無量綱振幅的依賴性非常弱，因而可對其進行簡化。圖3為計算采用的附加質量系數曲線，給出了附加質量系數Ca與無量綱頻率f*之間的關系，其數據主要取自Gopalkrishnan測得的附加質量系數圖中無量綱振幅A/D=0.5所對應的附加質量系數，該附加質量系數曲線與振幅無關。

從以上分析可知（3）式中附加質量ma、升力F均依賴于響應頻率f，而f依賴于附加質量的確定，進而依賴于附加質量系數。為了求解結構響應，我們首先根據附加質量系數曲線確定響應頻率f。采用如下計算過程來計算響應頻率：

圖3 附加質量系數曲線[11]Fig.3 Added mass coefficient curve

（1） 取靜水附加質量系數 Ca0=1.0，代入（4）式得靜水附加質量ma0，將靜水附加質量代入（5）式可得到靜水自振頻率f0；

（2）選取靜水自振頻率作為初始響應頻率，即fj=0=f0，j為迭代步；計算無量綱頻率St為Strouhal數，表征了旋渦脫落頻率與流速之間的關為旋渦脫落頻率，表示考慮真實Strouhal數對無量綱頻率的修正，StG為Gopalkrishnan實驗的Strouhal數，StG=0.193，Strouhal數與雷諾數Re有關，雷諾數定義為慣性力與粘滯力的比值，即為流體運動粘滯系數。St由圖4所示的

Strouhal數St與雷諾數Re關系曲線得到；

圖4 St-Re關系曲線[11]Fig.4 St-Re relationship curve

（3）從圖3的附加質量系數曲線中找到上一步得到的無量綱頻率對應的附加質量系數，由（4）式計算圓柱附加質量，求得附加質量后代入（5）式，求解得到新的響應頻率fj+1；

求得響應頻率f之后，可計算對應的無量綱頻率f*，此時升力系數CL只是無量綱振幅A/D的函數。圖5為升力系數模型，升力系數曲線由AB和BC兩段二次曲線構成，B點為最大值點，A、B、C三點的坐標由四個參數CL,max、CL,A/D=0、A/DCL=max以及A/DCL=0確定，它們都是無量綱頻率的函數，見圖6，其值主要來源于Gopalkrishnan的實驗數據。因此，當響應頻率確定之后，得到相應的無量綱頻率，進而確定參數CL,max、CL,A/D=0、A/DCL=max以及A/DCL=0，從而升力曲線也就確定了。

圖5 升力系數模型Fig.5 The lift coefficient model

圖6 用于確定升力系數曲線的參數曲線[11]Fig.6 The lift coefficient parameter curves

考慮到升力系數CL依賴于結構的響應幅值，在求解響應幅值A時需要進行迭代，計算采用如下方式：無量綱響應幅值A/D在0到1.0的范圍內以0.001的步長逐漸增加直至（5）式滿足為止。每一步均需要根據無量綱幅值Aj/D，j為迭代步，由升力系數曲線得到升力系數CL,j，響應幅值由（9）式確定，當滿足精度要求時迭代過程停止，接受Aj和CL,j為最終的響應幅值A和升力系數CL。

將求得的響應頻率f、響應幅值A和升力系數CL代入（11）式和（13）式即可得到吸收功率Pviv和轉換效率η。

1.3 模型驗證

基于上述數學模型編制了計算機程序，為了驗證程序的正確性，將程序計算結果與Khalak和Williamson[7]的試驗結果進行了比較，見圖7，圖中采用自振頻率及圓柱直徑分別對響應頻率和響應幅值進行了無量綱化。Khalak和Williamson的試驗模型具有低質量—阻尼特性，其質量比m*=2.4，阻尼比ζ=0.004 5。從圖7可以看出，響應頻率的計算結果與試驗結果符合得較好，響應幅值的計算結果在無量綱流速U*＜6和U*＞10的范圍內與試驗結果符合得較好，在6＜U*＜10的范圍內較試驗結果大。

圖7 計算結果與Khalak和Williamson試驗結果的比較Fig.7 Comparison between calculated and Khalak&Williamson’s experimental results

2 結果分析

2.1 質量比的影響

取直徑D=1.0 m，長度L=20.0 m的圓柱進行計算，計算時對彈簧剛度進行調整，使鎖定流速范圍在0～1.5 m/s以內，下文主要考察質量比和阻尼比對轉換效率、鎖定范圍、無量綱幅值及頻率比（響應頻率與靜水自振頻率的比值）的影響。

圖8～10分別給出了同一阻尼比下具有四種不同質量比的圓柱無量綱幅值、頻率比及能量轉換效率隨無量綱流速的變化情況。從圖8和圖10可以看出，無量綱幅值和能量轉換效率均隨流速的增大先增大后減小，中間存在一個最大值，但兩者最大值并不出現在同一無量綱流速下。最大無量綱幅值隨質量比的增加而減小，最大能量轉換效率隨著質量比的增加先增大后減小，兩者對應的無量綱流速均往右發生了偏移，表明在保持其他條件不變情況下對于較大質量比圓柱產生最大能量轉換效率所需要的流速更大。對于各質量比，頻率鎖定發生的無量綱流速較為接近，均在4.5附近，頻率鎖定的發生伴隨著無量綱幅值和轉換效率的大幅度增加，隨著質量比的增加其變化趨勢變得平緩。頻率鎖定結束時的無量綱流速主要在8～12這個范圍。鎖定范圍及較大能量轉換效率覆蓋的無量綱流速范圍隨質量比的增加而縮小。由圖9可以看出，頻率比在鎖定范圍內隨流速的增加而線性增加，并且四種質量比條件下頻率比曲線基本重疊在了一起，鎖定結束后基本保持不變，其值為最大頻率比值，從不同質量比條件下最大頻率比的差值來看，質量比在小于5時對頻率比的影響更大，質量比為5和8時的最大頻率比值較為接近。

圖8 不同質量比情況下無量綱幅值隨無量綱流速的變化Fig.8 Response amplitude versus nondimensional velocity for varying mass ratios

圖9 不同質量比情況下頻率比隨無量綱流速的變化Fig.9 Response frequency ratio versus nondimensional velocity for varying mass ratios

圖10 不同質量比情況下能量轉換效率隨無量綱流速的變化Fig.10 Energy efficiency versus nondimensional velocity for varying mass ratios

2.2 阻尼比的影響

圖11和圖12分別給出了不同阻尼比條件下具有質量比m*=2.4的圓柱渦激振動能量轉換效率和無量綱幅值隨無量綱流速的變化曲線，其變化規律與圖8和圖10相似。最大無量綱幅值隨阻尼比的增加而減小，這與Khalak和Williamson[8]的試驗結果較為一致，最大無量綱幅值均出現在7.5左右的無量綱流速下。最大能量轉換效率隨著阻尼比的增加先增大后減小，最大能量轉換效率對應的無量綱流速向右發生了偏移，表明在保持其他條件不變情況下對于較大阻尼比圓柱產生最大能量轉換效率所需要的流速更大。對于頻率鎖定的發生，除ζ=0.015時發生無量綱流速為3.0附近之外，其他阻尼比情形均發生在無量綱流速為4.5附近，隨著阻尼比的增加，頻率鎖定發生時無量綱幅值和能量轉換效率的增加趨勢變得平緩。各阻尼比條件下頻率鎖定結束時的無量綱流速較為一致，均在9.0附近，表明鎖定流速范圍受阻尼比的影響較小。

圖11 不同阻尼比情況下無量綱幅值隨無量綱流速的變化Fig.11 Response amplitude versus nondimensional velocity for varying damping ratio

圖12 不同阻尼比情況下能量轉換效率比隨無量綱流速的變化Fig.12 Energy efficiency versus nondimensional velocity for varying damping ratio

2.3 關于質量—阻尼參數

從以上分析可以看出，頻率鎖定的發生及鎖定流速范圍主要取決于質量比，而最大能量轉換效率以及出現最大能量轉換效率的無量綱流速則與質量比和阻尼比均有重要的關系。因此，我們聯想到了很多渦激振動研究文獻中提到的質量—阻尼聯合參數，它是質量比和阻尼比的乘積，即m*ζ。圖13和圖14分別給出了最大能量轉換效率以及出現最大能量轉換效率的無量綱流速隨質量—阻尼參數m*ζ的變化關系。圖13中四條曲線分別對應不同的質量比，每條曲線表現出兩個極大值，一個出現在m*ζ=0.1附近，一個出現在m*ζ=0.2附近。盡管不同的質量比情形四條曲線存在差別，但四條曲線非常接近，最大能量轉換效率主要取決于質量-阻尼參數，并且存在最優值，其值約為0.1，此時的最大能量轉換效率約為0.19，m*ζ=0.2處的最大能量轉換效率約為0.17。最大能量轉換效率大于0.1的m*ζ范圍集中在0.05～0.6內。從圖14可以看出，在m*ζ＜0.2的范圍內出現最大能量轉換效率的無量綱流速隨阻尼比的變化而變化，而在0.2＜m*ζ＜0.7的范圍內，其值保持不變，表明出現最大能量轉換效率的無量綱流速在m*ζ＜0.2的范圍內主要取決于m*ζ，而在0.2＜m*ζ＜0.7的范圍內其值與阻尼比無關，主要取決于質量比。

圖13 最大能量轉換效率隨質量—阻尼參數的變化Fig.13 Dependence of the maximum efficiency with the mass-damping parameter

圖14 出現最大能量轉換效率的無量綱流速值隨質量—阻尼參數的變化Fig.14 Dependence of the dimensionless velocity where the maximum efficiency appears with the massdamping parameter

3 結 論

基于受迫振動試驗結果建立一個單自由度渦激振動分析模型，用于分析渦激振動響應和能量轉換效率，考察了質量比和阻尼比等重要參數對渦激振動響應和能量轉換效率的影響，結果表明：（1）頻率鎖定的發生及鎖定流速范圍主要取決于質量比；（2）最大能量轉換效率主要受質量—阻尼參數m*ζ控制，并且存在一個最優值。（3）出現最大能量轉換效率的無量綱流速與m*ζ有關，在m*ζ＜0.2的范圍內出現最大能量轉換效率的無量綱流速隨質量比和阻尼比的變化而變化，而在0.2＜m*ζ＜0.7的范圍內與阻尼比無關，主要取決于質量比。本文的渦激振動模型采用的流體力數據主要來源于受迫振動試驗結果，目前關于是否可以用受迫振動試驗數據來預報渦激振動還在爭論當中，盡管如此，Morse和Williamson[12]的研究結果表明，在合適的控制條件下，自由振動實驗和受迫振動實驗可以得到非常一致的結果，因此本文結果可作為現實情況的一種近似。渦激振動是一個非常復雜的流固耦合問題，其影響參數眾多，很多參數的影響有待進一步研究，希望本文的研究對渦激振動能量轉換裝置的設計及未來的實驗研究有所幫助。

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