倒立擺線性二次型最優(yōu)控制方法研究

夏浩軍，邱榮華

(1. 楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 楊凌 712100； 2. 西安工程大學(xué)，陜西 西安 710048)

0 引言

倒立擺系統(tǒng)為不穩(wěn)定、多變量和非線性的高階系統(tǒng)[1]，其穩(wěn)定控制存在諸多問題，表現(xiàn)為系統(tǒng)參數(shù)的不確定性及系統(tǒng)受到不確定因素干擾[2]。近年來，國內(nèi)外學(xué)者針對倒立擺系統(tǒng)控制方法進(jìn)行了大量研究，使倒立擺控制方法廣泛用于軍工、航天、機(jī)器人領(lǐng)域和一般工業(yè)過程中，如精密儀器加工、機(jī)器人平衡控制、火箭垂直度控制、導(dǎo)彈攔截控制、航空對接及衛(wèi)星姿態(tài)控制等方面[3]。相關(guān)研究在倒立擺系統(tǒng)控制的快速性和穩(wěn)定性等方面仍存在一些問題，如導(dǎo)彈攔截快速性和準(zhǔn)確性問題、機(jī)器人平衡控制的穩(wěn)定性等問題，需進(jìn)一步改進(jìn)和完善，以實現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制。

有關(guān)倒立擺系統(tǒng)控制的研究成果主要集中在模型和控制方法等方面，LB Prasad等[4]先后應(yīng)用線性化方法及最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器理論，分析了二級倒立擺控制方法；ME Mousa等[5]探討了LQR (linear quadratic regulator)倒立擺系統(tǒng)控制理論問題，李雪冰等[6]應(yīng)用智能控制理論研究了二級倒立擺系統(tǒng)的控制方法；唐永川等[7]針對二級倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制問題，分析了系統(tǒng)起擺和控制方法；黃彥海等[8]研究了單級倒立擺動平衡姿態(tài)控制問題；陳富國等[9]對三級倒立擺進(jìn)行了仿真和實驗研究；韓鋒等[10]探討了應(yīng)用變步長預(yù)測控制實現(xiàn)系統(tǒng)實時非線性控制方法，并對二級倒立擺的起動及穩(wěn)定控制進(jìn)行了仿真分析；郭丙君等[11]建立了多級旋轉(zhuǎn)倒立擺動力學(xué)模型，為研究倒立擺最優(yōu)控制方法奠定了理論基礎(chǔ)。

由于倒立擺在實際應(yīng)用中可做線性化處理，得到系統(tǒng)近似線性模型，應(yīng)用LQR線性二次型調(diào)節(jié)器可得狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制規(guī)律。故本文首先建立單級倒立擺系統(tǒng)線性化狀態(tài)空間模型，并設(shè)計LQR線性二次型狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器，優(yōu)化系統(tǒng)響應(yīng)速度和穩(wěn)定性，實現(xiàn)單級倒立擺的最優(yōu)控制。

1 單級倒立擺線性模型

若忽略空氣阻力等影響因素，可將單級倒立擺簡化為小車和勻質(zhì)桿模型[12]，如圖1所示。單級倒立擺中，小車由絲杠傳動，其頂端通過鉸鏈連接擺桿；小車沿水平軌道左右運動，同時擺可在垂直平面內(nèi)自由運動。

圖1 單級倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖

擺桿及小車都是剛體，采用絲杠傳動方式。小車所受摩擦力正比于小車運動速度，擺桿運動時所受摩擦力矩正比于下擺轉(zhuǎn)動速度。本文單級倒立擺參數(shù)如表1所示。

表1 單級倒立擺參數(shù)

圖2 單級倒立擺系統(tǒng)受力分析圖

分析圖2(a)、圖2(b)中小車和擺桿水平方向受力，可得小車運動方程為：

(1)

根據(jù)圖2(b)擺桿豎直方向受力，可得擺桿運動方程為：

(2)

若圖2(b)中，擺桿與豎直方向夾角φ<<1(rad)，則：cosθ=-1，sinθ=-φ，(dθ/dt)2=0。用u表示被控對象的輸入力F，對式(1)和式(2)線性化，得：

(3)

由式(3)得單級倒立擺位移x、角度φ的解。

對質(zhì)量均勻分布的擺桿有：

(4)

由式(3)可得：

(5)

(6)

(7)

2 LQR最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計

2.1 倒立擺控制要求

應(yīng)用LQR狀態(tài)反饋法設(shè)計倒立擺控制器，當(dāng)在小車上作用0.2m階躍信號時，閉環(huán)控制系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：擺桿角度φ和小車位移x的穩(wěn)定時間<5s，位移x的上升時間<1s，超調(diào)量<0.35rad，穩(wěn)態(tài)誤差<2%。

2.2 LQR控制器

圖3 系統(tǒng)控制框圖

假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)(4個狀態(tài)量均可測)，需確定反饋控制規(guī)律的向量K。應(yīng)用Matlab軟件中的LQR函數(shù)，可得最優(yōu)控制器的向量K。LQR函數(shù)可選擇2個參數(shù)R和Q，這2個參數(shù)用于平衡系統(tǒng)對輸入量和狀態(tài)量的敏感程度[13]。

若Q取為對角陣，表示為：

設(shè)：

R=[r]

則系統(tǒng)性能指標(biāo)泛函為：

(8)

對于單級倒立擺系統(tǒng)，被控量為輸出x和φ，由于Q11表示小車位置敏感程度，Q22表示擺桿敏感程度，R表示輸入敏感程度[15]。若r=1，在選取對角陣Q的各元素時，可取Q11、Q22，Q33=Q44=0。

3 控制系統(tǒng)仿真

在Matlab軟件中，由單級倒立擺線性模型式(7)和目標(biāo)泛函式(8)，應(yīng)用LQR函數(shù)編寫控制系統(tǒng)m程序[16]。當(dāng)取Q11=0、Q22=0時，調(diào)用LQR函數(shù)得：

K=[-0.863 7 -2.350 5 -54.669 4 -7.936 8]

則LQR控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)如圖4所示。

圖4 LQR控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)

由圖4可知，小車位移連續(xù)增大，響應(yīng)時間不滿足要求，不符合設(shè)計指標(biāo)，故需調(diào)整控制器參數(shù)。

取Q11=1、Q22=1，調(diào)用LQR函數(shù)得：

K=[ -0.869 3 -2.390 9 -55.869 9 -8.498 8]

則系統(tǒng)階躍響應(yīng)如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

圖5中，小車階躍響應(yīng)上升時間>1s，不符合設(shè)計要求，需繼續(xù)調(diào)整控制器參數(shù)。

取Q11=200、Q22=400，調(diào)用LQR函數(shù)得：

K=[-11.860 0 -11.421 7 -78.934 7 -11.273 5]

此時系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖6所示。

圖6 控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)

圖6中，小車階躍響應(yīng)上升時間<1s，調(diào)節(jié)時間<5s，超調(diào)量為0.25rad，小于設(shè)計目標(biāo)值 0.35rad，系統(tǒng)性能指標(biāo)滿足要求，LQR狀態(tài)反饋控制器達(dá)到設(shè)計要求。

應(yīng)用Matlab中GUI工具箱，對倒立擺LQR狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)仿真，可進(jìn)一步驗證本文設(shè)計方法的有效性。使用GUI工具箱建立倒立擺物理模型，系統(tǒng)參數(shù)按表1取值，設(shè)小車初始水平位置為0，擺桿角度為0.15rad。控制器參數(shù)設(shè)定為：Q11=8、Q22=8和R=1。利用LQR設(shè)計方法，計算得控制器增益K=[-65.790 5 -8.364 98 -2.828 43 -5.548 15 ]；設(shè)定仿真時間為10s，步長0.1。啟動仿真得GUI動畫演示仿真圖，系統(tǒng)動態(tài)仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 GUI動態(tài)仿真圖

動態(tài)仿真結(jié)果顯示，小車和擺桿運動狀態(tài)、響應(yīng)時間與解析模型仿真結(jié)果一致，證明本文線性二次型最優(yōu)控制方法有效。

4 結(jié)語

1) 對單級倒立擺進(jìn)行動力學(xué)分析，建立了倒立擺線性狀態(tài)空間模型。

2) 分析了倒立擺系統(tǒng)最優(yōu)控制性能指標(biāo)泛函，在Matlab中應(yīng)用LQR函數(shù)設(shè)計了線性二次型狀態(tài)反饋控制器。

3) 分析了倒立擺控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)指標(biāo)，優(yōu)化狀態(tài)反饋控制器參數(shù)，并應(yīng)用Matlab GUI開發(fā)工具完成系統(tǒng)動態(tài)仿真。結(jié)果表明，本文設(shè)計的線性二次型狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，階躍響應(yīng)上升時間<1 s，調(diào)節(jié)時間<5 s，實現(xiàn)了單級倒立擺快速、穩(wěn)定控制。

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