底部均勻加熱的傾斜腔體中的對流特性

吳 昊， 寧利中， 寧碧波， 王新宏， 田偉利， 寧景昊

(1.西安理工大學 西北旱區生態水利工程國家重點實驗室培育基地，陜西 西安 710048； 2.嘉興學院 建筑工程學院, 浙江 嘉興 314001； 3.上海大學 建筑系, 上海 200444)

1 研究背景

近幾年，對流問題是引起世界范圍內較大關注的研究課題之一，這不僅僅是由于許許多多的自然現象都涉及到非線性的對流問題，而且在日常生活中，對流現象也時常出現。例如，在冬天的水庫、湖泊或者是大海中，當靠近底部的水流溫度較高，臨近水面溫度較低時，底部和水面之間就會形成一個溫度差，并且達到一個限值，若此時水面出現無風狀態，就會出現這樣一個現象：水面上會有水向兩側或者多方位冒出，然后水面又歸于平靜，這一對流現象較為常見且典型。通常情況下，人們研究對流問題大部分都是先建立Rayleigh-Bénard對流模型，然后再進行該研究。

Rayleigh-Bénard對流系統就是在一個完全密閉的腔體內，保持上表面的溫度持續穩定不變，使下表面的溫度逐漸升高。此時下表面附近的流體在溫度增加后會產生膨脹，與上表面附近的流體的密度相比，底面的流體密度較小，這時，下表面附近的流體就會上升，流體在上升過程中必然會因與周圍流體相接觸而消耗能量，因此，上升的流體溫度逐漸變低，密度逐漸變大。如果繼續給下表面增溫，并使其附近流體的密度因高溫而變得非常小，若流體上升到上表面，且能量還未耗盡，就會產生RB對流斑圖[1-4]。從20世紀初，在Henri Bénard通過實驗觀察到在實驗裝置上下壁存在溫差情況下腔體內出現了有規則的對流斑圖，Lord Rayleigh對這種結果進行了理論的研究后，這一現象引起了科研人員的興趣。隨后科學工作者們對此展開了廣泛和深入的研究，并且獲得了很大的進展[5-8]。在數值計算方面，人們通過流體力學基本方程組[9]、流體力學擾動方程組或者流體力學振幅方程組，對對流斑圖進行模擬，探討其動力學特性。在人們研究對流的過程中，已經發現了諸多如行波、局部行波、定常對流等等的對流現象[10-18]。如今，國內外大多在側向腔體加熱，矩形腔體給定水平來流，對腔體進行局部或周期加熱等研究方向對對流結構的影響而進行研究，但關于傾斜角度對對流結構影響這一課題的研究相對較少。

本文通過數值求解二維流體力學基本方程組，研究普朗特數Pr=6.99時，具有一定傾斜角度的矩形腔體在均勻加熱條件下對對流特性的影響。

2 數學物理模型

2.1 流體力學基本方程組

在一傾斜放置、矩形截面的二維封閉的腔體(如圖1所示)內進行自然對流換熱的數值計算時，通常采用Boussinesq假設[9]，即認為溫度足夠小時，僅浮力項中考慮密度的變化。描述這一對流問題的流體力學方程組[9]可表示為：

(1)

gα(T-T0)sinθ

(2)

gα(T-T0)cosθ

(3)

(4)

式中:peff=p+ρ0gycosθ-ρ0gxsinθ，u,v分別為沿腔體長度方向的速度和垂直速度,m/s；T為溫度場,K；ρ為密度,kg/m3；g為重力加速度,m/s2；p為壓強,Pa；ν為運動黏性系數,m2/s；α為熱引起的體積膨脹系數，K-1；t為時間,s；κ為熱擴散系數，m2/s；θ為矩形腔體傾斜角度，(°)。下標0表示傳導狀態下相應物理量沿空腔高度的平均值，一般取腔體1/2高度處的值。

圖1 傾斜腔體的模型圖

2.2 邊界條件和初值

在均勻加熱下，應該給出合理恰當的速度場、溫度場等邊界條件來求解方程組。由于模型中所有壁面都是固定的，所以速度在壁面上為0。因此，

當y=0，d時,u=w=0

(5)

當x=0，Lx時,u=w=0

(6)

式中:d為計算區域高度；Lx為計算腔體的長度。

溫度的邊界條件為：

當y=0時，T=T0+0.5ΔT

(7)

當y=d時，T=T0-0.5ΔT

(8)

式中：ΔT為上下表面溫度差；本文針對t=20℃，Pr=6.99 的流體，此時T0=293.15K；流速初始條件為u=w=0，溫度的初始條件為T0=293.15K；為了討論的方便，取X=x/d，Y=y/d，Γ=Lx/d。

這樣一個系統可以由以下參數來控制,即傾斜角度θ，瑞利數Ra=gαΔTd3/κν，在這里采用相對瑞利數r=Ra/Rac來作為控制參數，其中，Rac=1708；反映流體物理性質對對流傳熱過程影響的普朗特數Pr=ν/κ,κ=λ/(ρ0cp)，λ為熱傳導系數,W/(m·K);cp為定壓比熱容,J/(kg·K)。

2.3 數值計算方法

在數值模擬中，本文采用Gambit來劃分網格，建立基本模型，運用Fluent軟件進行模擬運算求解，最后用Tecplot進行后處理。根據有限容積法對流體力學方程組進行了離散，對流與擴散項采用二階精度的乘方差分格式。Simple算法用于求解速度-壓力耦合方程。采用均勻交錯網格系統。

本文采用的是長高比Γ=20的腔體，對Pr=6.99的流體進行對流模擬。由于文獻[19]對采用d/20與d/30兩種不同的網格進行計算，發現計算結果基本相同。所以本文采用d/20的網格進行計算，時間步長采用Δt=0.02s。

3 傾斜腔體在均勻加熱條件下的對流

3.1 傾斜腔體的對流結構

3.1.1 流線圖的變化過程 取相對瑞利數 ，傾角為89°條件下，分析下壁面Nu數隨時間的變化，如圖2所示。從圖2中可以看出，Nu數在0≤t≤2s這一期間急劇減小，然后呈現緩慢減小的趨勢，降到t=16s到達最低點，再呈現緩慢上升的趨勢，一直到t=80s之后，Nu數不再隨時間變化，此時說明對流趨于穩定，所形成的流線圖不再變化，這時形成的流線圖可以作為r=3、傾角為89°條件下的最終結果。

圖2 r=3且θ=89°時Nu數隨時間的變化

圖3為r=3、θ=89°流線圖在不同時間的變化，分別為在t=2 s、t=16 s、t=80 s、t=120 s時形成的流線圖，將圖3與圖2相對照，從中可以看出對流圈在各個特征點所發生的變化。2s≤t≤16 s比16 s≤t≤80 s這一時間段變化速度要快。圖3中t=120 s時形成的流線圖與t=80 s時的流線圖比較沒有明顯的變化，由此可以證明，t=80s形成的流線圖可以作為最終結果。

圖3 r=3且θ=89°時流線圖隨時間的變化

3.1.2 對流斑圖結構 圖4為r=6、θ=1° 對流結構，類似于水平放置狀態下的典型對流結構。圖4(a)為溫度場，類似于正弦函數的彎曲的曲線，具有周期性。圖4(b)是流線，由封閉的曲線組成的流線圈，共有25個對流圈，波數是25π/20=3.93。圖4(c)是2個周期內的速度矢量圖，兩個對流圈對應一個周期，流體順時針或逆時針交替流動，可以看出兩個滾動之間的上升流或下降流。

注：(a)溫度場； (b)流線； (c)速度矢量

圖5為r=6、θ=60°時的對流結構，這時出現了另外一種對流結構。與圖4相比，溫度場變成了平滑的曲線，流線變成一個封閉完整的穩定的對流圈。圖5(c)為0≤X≤10范圍內的速度矢量。可以看出，接近上壁面的流體向左運動，接近下壁面的流體向右運動，形成逆時針流動的一個大滾動，越靠近壁面速度越大，越向中心處速度越小。

注：(a)溫度場； (b)流線； (c)速度矢量

3.1.3 流速分布 圖6為r=6且θ=60°時在腔體1/2、1/4、3/4高處垂直方向的流速。從圖6中可以看出，在0

圖6 r=6且θ=60°時腔體不同高處隨X變化的垂直流速

3.2 相對瑞利數對對流結構的影響

3.2.1 相對瑞利數對流線圖的影響 在傾斜角度比較小時(θ=4 °)，流函數隨著相對瑞利數的變化而變化，如圖7所示。從圖7中可以看出，該流體在傾角較小的情況下存在多種穩定狀態的流線，并且隨著r的增加，滾動圈的個數逐漸增加。相對瑞利數越大，上下壁面的溫差就越大，由此可以說明，在極小的角度下，增大溫差，對流將由單滾動轉換成多滾動。

圖7 θ=4 °時不同r下的流線圖

當傾斜角度逐漸增大至60°時， 流函數隨著相對瑞利數變化如圖8所示。從圖8中可以看出，傾斜角度增大到一定度數時，無論相對瑞利數增加多大，形成的都是一個完整穩定的滾動圈，相對瑞利數對流線圖的影響較小。

圖8 θ=60°時在不同r下的流線圖

3.2.2 相對瑞利數對流速的影響 圖9中的(a)、(b)、(c)表示θ=4 °，相對瑞利數分別為r=2、r=3、r=6在腔體1/2高處的垂直流速。從圖9中可以看出，傾斜角度一定時，相對瑞利數越大，流速的極值越大，腔體中間如圖6所示的X0

注：圖中(a)r=2； (b)r=3； (c)r=6

3.3 傾角對對流結構的影響

3.3.1 傾角對流線圖的影響 圖10是r=6時，不同傾角情況下的對流結構圖。從圖10中可以看出，隨著傾斜角度的增大，對流所形成的穩定狀態下的滾動圈個數越來越少。θ=1°時有25個滾動圈，θ=20°時有17個滾動圈，θ=45°時只有一個滾動圈，而且，形成一個滾動圈的穩定狀態后，傾角增大，封閉曲線由四周向中心發展。圖10說明相對瑞利數一定時，隨傾角增大，系統由多對流圈逐漸過渡到單對流圈。

圖10 r=6時不同傾角的流線圖

3.3.2 傾角對流速的影響 圖11(a)、11(b)、11(c)表示相對瑞利數r=6時，傾角分別為1°、22°、30°情況下腔體1/2高處的垂直流速。從圖11中可以看出，相對瑞利數一定時，傾斜角度越大，流速絕對值的最大值反而越小。圖11(a)、(b)、(c)的變化反映了對流從多滾動到單滾動的轉變過程。

圖11 r=6時不同傾角的垂直流速

4 結 論

本文主要討論了矩形腔體在一定傾斜角度下進行均勻加熱的對流結構，也討論了不同的控制參數對流線圖及流速的影響。對于給定的普朗特數Pr=6.99流體，計算了給定相對瑞利數，變化矩形腔體的傾斜角度和給定傾斜角度，變化相對瑞利數兩種情況，通過分析這兩種情況，可以得出如下結論。

(1)給定傾斜角度且角度比較小時，隨著相對瑞利數的增大，對流穩定狀態下的滾動圈個數逐漸增多；給定傾斜角度且角度較大時，對流形成的流線圖都是一個完整封閉的滾動圈，此時相對瑞利數對流線圖影響較小；在垂直流速方面，相對瑞利數越大，流速絕對值的最大值越大。

(2)給定相對瑞利數，隨著傾斜角度的增大，對流穩定狀態下的滾動圈個數逐漸減小，直至減少到只剩一個滾動圈。在垂直流速上，傾斜角度越大，流速絕對值的最大值越小。

[1]CHANDRASEKHARS.Hydrodynamicsandhydromagneticstability[M].Oxford:ClarendonPress,1961.

[2]BATISTEO,KNOBLOCHE,AlonsoA.Spatiallylocalizedbinaryfluidconvection[J].JournalofFluidMechanics,2006,560:149-158.

[3]NINGLizhong.Rayleigh-Benardconvectioninabinaryfluidmixturewithandwithoutlateralflow[M].Yangling:NorthwestA&FUniversityPress,2006.

[4]TARAUTAV,SMORODINBL,LüCKEM.Collisionsoflocalizedconvectionstructuresinbinaryfluidmixtures[J].NewJournalofPhysics,2012 14(9):093055.

[5]MOSESE,STEINBERGV.CompetingpatternsinaCon-vectiveBinaryMixture[J].PhysicalReviewLetters,1986,57(16):2018-2021.

[6]MOSESE,FINEBBERGJ,STEINBERGV.Multistabilityandconfinedtravelingwavepatternsinaconvectingbinarymixture[J].PhysicalReviewA,1987,35:2757-2760.

[7]HEINRICHSR,AHLERSG,CANNELDS.Travelingwavesandspatialvariatinintheconvectionofabinarymixture[J].PhysicalReviewAGeneralPhysics,1987,35(6):2761-2764.

[8]ISABELM，ORIOLB，ARANTXAA，etal.Convectons,anticonvectonsandmulticonvectonsinbinaryfluidconvection[J].JournalofFluidMechanics,2011,667:586-606.

[9]陶文銓. 數值傳熱學：第2版[M].西安: 西安交通大學出版社,2001.

[10]寧利中,齊 昕,周 洋,等. 混合流體Rayleigh-Bénard行波對流中的缺陷結構[J].物理學報, 2009,58(4):2528-2534.

[11]余 荔,寧利中,魏炳乾,等.Rayleigh-Benard對流及其在工程中的應用[J].水資源與水工程學報,2008,19(3):52-54.

[12]ISABELM,ORIOLB,ARANTXAA,etal.Travelingconvectonsinbinaryfluidconvection[J].JournalofFluidMechanics,2013,722(5):240-265.

[13]TAKESHIW,MAKOTOI,YASUMASAN.Spontaneousformationoftravellinglocalizedstructuresandtheirasymptoticbehavioursinbinaryfluidconvection[J].JournalofFluidMechanics,2012,712(35):219-243.

[14]KNOBLOCHE，MERCADERI,BATISTEO,etal.Convectonsinperiodicandboundeddomains[J].FluidDynamicsResearch,2010,42(2):025505.

[15]寧利中,王 娜,袁 喆,等.分離比對混合流體Rayleigh-Bénard對流解的影響[J].物理學報,2014,63(10):104401.

[16]寧利中,余 荔,袁 喆,等.沿混合流體對流分叉曲線上部分支行波斑圖的演化[J].中國科學(物理學,力學,天文學),2009,39(5):746-751.

[17]ZHAOBingxin,TIANZhefu.Numericalinvestigationofbinaryfluidconvectionwithaweaknegativeseparationratioinfinitecontainers[J].PhysicsofFluids,2015,27(7):074102.

[18]MAYanping,BURKEJ,KNOBLOCHE.Defect-mediatedsnaking:Anewgrowthmechanismforlocalizedstructures[J].PhysicaDNonlinearPhenomena, 2010,239(19):1867-1883.

[19]寧利中,胡 彪,寧碧波,等.Poiseuille-Rayleigh-Benard流動中對流斑圖的分區和成長[J] .物理學報,2016, 65(21):214401.