基于能量法的露天開采下采空區頂板安全厚度研究

李玉飛 葉義成,2 胡南燕 胡盛棟 羅斌玉 元宙昊

(1.武漢科技大學資源與環境工程學院，湖北 武漢 430081；2.冶金礦產資源高效利用與造塊湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430081)

我國一些露天開采的老礦區，受開采規劃或礦床勘探的影響，在露天開采境界內往往遺留淺埋采空區。露天礦山逐層向下剝離時，采空區覆巖厚度逐漸減小。在地面機械施工荷載作用下，露天礦山下伏采空區頂板安全厚度不足時，將誘發采空區頂板突發性冒落，對采空區上方作業人員和采掘設備構成安全隱患。因此，合理確定采空區頂板安全厚度是保障露天礦安全生產的重要工作。

目前，針對采空區頂板安全厚度的研究取得了較多成果。王樹仁等[1]基于Reissner厚板理論，考慮了施工機械的動荷載作用，建立了采空區頂板安全厚度表達式；燕恩科等[2]采用厚度跨比法、普氏壓力拱法、魯佩涅伊特理論和三維數值模擬法聯合確定了采空區頂板最小安全厚度；周曉超等[3]基于改進梁模型，推導了地下空區不同跨度下頂板安全厚度；林杭等[4]借鑒邊坡穩定性分析的強度折減法，提出了采空區安全頂板預測的厚度折減法；張敏思等[5]采用RFPA數值模擬，獲得了采空區頂板發生初始損傷和失穩垮塌時的臨界跨度和頂板安全厚度；鄧鵬宏等[6]建立了車輛荷載作用下采空區頂板的力學模型，獲得了空區頂板安全厚度計算式；何忠明等[7]基于厚度折減理論，采用FLAC3D建立了雙層空區數值模型，計算了不同空區跨度下的頂板安全厚度；柳小波等[8]采用第一強度理論建立了均布載荷和集中載荷共同作用下的空區頂板安全性控制方程，得到了安全臨界頂板厚度；甄云軍等[9]采用強度折減技術和二分法原理，通過FLAC計算出各種跨度空區在不同巖層中的最小安全頂板厚度。

大多數學者基于頂板的力學行為對采空區頂板安全厚度進行了研究，為礦山安全開采提供了理論支撐。然而，采空區頂板失穩破壞過程的應力、應變較為復雜，從能量角度可以避免研究采空區頂板結構失穩破壞的中間復雜受力過程[10]。同時，露天開采下采空區頂板破壞失穩是一個非線性、不連續性的突變過程，而突變理論是研究不連續性現象的新興學科[11-12]。因此，可以考慮從能量守恒和突變失穩的角度研究露天開采下采空區頂板安全厚度。近年來，突變理論在巖體系統動力失穩中應用廣泛。任智敏、張欽禮、趙延林等[13-15]基于突變理論研究了大跨度巷道頂板、礦山采場以及采空區重疊頂板失穩問題；馬莎、鄭東健等[16-17]建立了地下洞室和高拱壩失穩的尖點突變模型；楊治林、邵愛軍等[18-19]采用突變理論分析了回采巷道底板巖層失穩破斷和礦坑底板突水機理。以上應用證明了突變理論可以解釋礦巖系統結構失穩的非線性動力學特征。

本研究基于材料力學、彈性力學等基礎力學理論，分析露天采場下采空區頂板受力狀態，建立固支梁力學結構模型；根據能量守恒原理，研究由頂板彎曲應變能、水平荷載做功和垂直均布荷載做功組成的采空區頂板結構總能量方程，從而表達采空區頂板勢能函數；采用突變理論，建立采空區頂板系統的尖點突變模型，獲得采空區頂板失穩判別式，進而推導采空區頂板安全厚度計算模型。

1 采空區頂板結構力學模型及總能量

1.1 采空區頂板結構力學模型

為了便于分析，將地表機械施工設備擬為靜力荷載，按等效均布的方式作用在采空區頂板上方[20]。采空區頂板承受機械施工設備的動荷載作用，按靜力荷載處理時需要乘以動荷載系數。露天開采下采空區頂板受力發生彎曲變形，頂板所受上覆巖層荷載qr及機械施工設備荷載qs之和可視為垂直均布荷載q，同時考慮采空區頂板受側向水平荷載p。在垂直均布荷載q及水平荷載p共同作用下，容易引發采空區頂板突發失穩。采空區頂板兩端嵌入圍巖中，視為頂板兩端無角位移和線位移，將其簡化為固支約束。頂板視為僅在軸向有變形，在其他方向不發生變形的定向支座，則采空區頂板可簡化為如圖1所示的固支梁力學結構模型。假設頂板巖梁在受力變形過程中始終保持在彈性范圍內，且服從平截面假設。采空區頂板長度為a，寬度b(研究取單位寬度1 m)，頂板厚度為h。

圖1 固支梁力學結構模型Fig.1 Mechanical structure model of clamped-clamped beam

1.2 采空區頂板結構總能量

根據能量原理[21-22]，并結合采空區頂板力學結構模型分析得到頂板結構總能量

W=U+Wp+Wq，

(1)

式中，U為頂板彎曲應變能，J；Wp為水平荷載做功，J；Wq為垂直均布荷載做功，J。

根據邊界條件，頂板巖梁的撓曲線方程：

(2)

式中，δ為常量；s為從頂板巖梁端點到軸線上任意點的弧長，m。

頂板彎曲應變能

(3)

式中，I為頂板巖梁斷面的慣性矩，m4；M(x)、K(x)為頂板巖梁彎曲后，以巖梁端點為原點的撓曲線上的弧坐標在s處橫截面上的彎矩和撓曲線曲率；μ為頂板巖體的泊松比；E為頂板巖體的彈性模量，MPa。

撓曲線上任意點s處變形后的單元弧如圖2所示，由于sinθ=(df)/(ds)=f′，θ=arcsinf′，頂板巖梁變形曲線在s處的曲率：

(4)

圖2 s處形變后的單元弧Fig.2 Element arc after deformation at s

將式(4)代入式(3)后作Taylor展開，再將式(2)代入積分，省略余項和常數項得：

(5)

水平荷載p做功

Wp=-pε,

(6)

式中，ε為頂板巖梁在水平荷載作用下的位移量，m。

頂板巖梁兩端的位移量

(7)

將式(7)作Taylor展開，省略余項和常數項得：

(8)

將式(8)代入式(6)，再將式(2)代入積分得：

(9)

其中，水平荷載p的計算公式為

(10)

式中，χ為側壓力系數；μ0為上覆巖層的泊松比。

垂直均布荷載q做功

(11)

將式(2)代入式(11)積分得：

(12)

由于將采空區頂板視為單位寬度的固支梁，此時頂板巖梁所受垂直均布荷載q為線荷載。則垂直均布荷載q的計算公式為

q=qr+qs=γHb+νF,

(13)

式中，γ為上覆巖層容重，kN/m3；H為上覆巖層高度，m；ν為動荷載系數；F為頂板巖梁所受機械施工荷載，kN/m。

將式(5)、式(9)、式(12)代入式(1)中，得到頂板結構的總能量方程，即采空區頂板系統勢函數解析式：

(14)

2 采空區頂板系統尖點突變模型

突變理論作為研究巖體系統動力失穩的一個數學理論，它注重研究系統中某些變量為何從連續逐漸變化導致系統狀態的突然變化[23-24]。其中，尖點突變模型因其臨界曲面容易構造，幾何直觀性強，目前應用最為廣泛，本研究選用此模型。

尖點突變模型勢函數的標準形式可表示為

W(x)=x4+mx2+nx,

(15)

式中，x為系統的狀態變量，m、n為控制變量；x、m、n構成勢函數的三維空間。

根據式(14)和式(15)可知，采空區頂板系統勢函數W的空間曲面可由尖點突變模型的平衡曲面和分叉集表示，如圖3和圖4所示。平衡曲面的折痕在m—n平面上的投影為系統的分叉集，分叉集將m-n平面分成2個區域，在較小區域內存在2個穩定平衡點和1個不穩定平衡點，在較大區域內只有1個穩定平衡點。

圖3 尖點突變模型的平衡曲面Fig.3 Balance surface of the cusp catastrophe model

圖4 尖點突變模型的分叉集Fig.4 Bifurcation set of the cusp catastrophe model

令

對式(14)作變量代換，將其轉化為尖點突變模型的標準形式：

(16)

根據式(15)和式(16)得到尖點突變模型的控制變量參數：

(17)

3 采空區頂板安全厚度計算模型

3.1 計算模型

對式(15)進行求導，得到采空區頂板系統平衡方程為

W′(x)=4x3+2mx+n.

(18)

如圖3所示，W′(x)=0方程為尖點突變模型的平衡曲面。平衡曲面分為上葉、中葉和下葉，頂板狀態隨著狀態變量x的變化而變化。

將W′(x)=0方程與W′′(x)=0方程聯立消去x，得到分叉集方程：

Δ=8m3+27n2.

(19)

從圖4可以看出，只有滿足m≤0時，系統才能跨越分叉集發生突變失穩。因此，系統發生突變失穩的必要條件為m≤0。

根據式(17)，并將I=h3/12代入得：

(20)

由式(20)知，當采空區頂板所受側向水平荷載p越大，頂板巖體的彈性模量E越小，頂板厚度h越小，采空區頂板長度a越大，采空區頂板越容易發生突變失穩。由于采空區頂板所受側向水平荷載p、頂板巖體的彈性模量E、頂板厚度h等幾何力學參數是采空區頂板內部特性。因此采空區頂板突變失穩的必要條件與采空區頂板內部特性有關，與外部條件無關。

如圖4所示，分叉集方程是系統穩定性的平衡方程。當Δ>0時，W′(x)=0方程只有1個實數根，對應有1個平衡位置，此時系統處于穩定狀態；當Δ<0時，W′(x)=0方程有3個實數根，對應有3個平衡位置，此時控制變量(m，n)已越過分叉集，系統處于失穩狀態；當Δ=0時，W′(x)=0方程有3個實數根，對應存在2個平衡位置和1個非平衡位置，當控制變量(m，n)越過分叉集上B點時，系統必然發生突躍，系統處于失穩狀態。因此，當Δ=0時，采空區頂板系統處于臨界平衡穩定狀態，構成系統發生突變失穩的充分條件。

將式(17)代入式(19)中，再將I=h3/12代入，得到采空區頂板失穩的臨界判別式：

(21)

由以上分析知，當Δ>0及m>0時，構成了采空區頂板系統保持穩定的充要條件。則采空區頂板安全厚度表達式為

(22)

為簡化計算模型，將采空區上覆巖層和頂板巖體視為同一巖層，則上覆巖層泊松比μ0和頂板巖體泊松比μ相等，即μ0=μ。

將式(10)代入式(22)中，進一步得到采空區頂板安全厚度

(23)

采空區頂板臨界厚度函數關系式為

(24)

由式(22)和(24)知，露天開采下采空區頂板安全厚度與采空區長度a、垂直均布荷載q、水平荷載p、頂板巖體泊松比μ、頂板巖體彈性模量E等有關。因此，影響露天開采下采空區頂板安全厚度因素較多，并非是單一的。通過合理布置采場結構參數、控制采空區上方機械施工荷載大小等措施，改變影響采空區頂板厚度的因素大小，保證各相關因素在合理安全范圍內，確保采空區頂板安全厚度不小于其臨界厚度，使它們不滿足頂板系統發生突變失穩的充要條件，從而控制采空區頂板失穩的發生。

3.2 工程驗證

某露天礦境界內遺留有淺埋采空區，這些采空區是由于采用房柱式回采方法形成的，其工程模型如圖5所示，采空區頂板受力可簡化為圖1所示的力學結構模型。

圖5 工程模型Fig.5 Engineering model

選取該區域某一采空區為研究對象，該采空區巖性主要為頁巖、砂巖、粉砂巖。采空區長度a=20 m，寬度8 m，埋深為H=80 m。采空區頂板巖體的彈性模量E=2 200 MPa，容重γ=26.5 kN/m3，泊松比μ=0.24。地表機械施工設備對采空區頂板巖梁產生的荷載為F=320 kN/m，通過查閱常用機械設備動荷載系數表，該機械設備的動荷載系數取ν=2。

根據式(13)計算出垂直均布荷載q=2 760 kN/m，將各值代入式(24)中，解得采空區頂板臨界厚度h=5.67 m。考慮到工程安全，理論計算的臨界頂板厚度值應乘以工程安全系數，該工程安全系數取2，則最終臨界頂板厚度為h=11.34 m。當h>11.34 m時，采空區頂板保持穩定；當h<11.34 m時，采空區頂板將發生突變失穩。

在同等條件下，選取的最終臨界頂板厚度11.34 m與現場安全預警經驗值12 m基本一致。露天開采下采空區頂板安全厚度計算模型得到了驗證，具有一定的工程應用價值。

4 結 論

(1)基于能量守恒原理和突變理論，推導出由頂板彎曲應變能、水平荷載做功和垂直均布荷載做功組成的露天開采下采空區頂板結構總能量方程。建立了采空區頂板系統尖點突變模型，獲得了露天開采下采空區頂板失穩判別式，建立了露天開采下采空區頂板安全厚度計算模型，對研究露天開采下采空區穩定性具有一定的工程指導意義。

(2)根據露天開采下采空區頂板安全厚度計算模型，采空區頂板安全厚度與采空區長度、垂直均布荷載、水平荷載、上覆巖層泊松比、頂板巖梁彈性模量等因素有關。要使采空區頂板保持穩定，應采取措施保證各相關因素在合理安全范圍內，確保采空區頂板安全厚度不小于其臨界厚度。

(3)運用露天開采下采空區頂板安全厚度計算模型對某露天礦采空區頂板厚度進行計算驗證，理論計算出的最終采空區頂板臨界厚度為11.34 m，與現場安全預警經驗值12 m基本一致。表明建立的采空區頂板安全厚度計算模型合理可行，為露天開采下采空區頂板安全厚度設計提供了理論計算依據。

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