點到直線的距離公式及其在基坑監測中的應用

戴水財，戴戈暉

(1.中南大學地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083； 2.湖南師范大學附屬中學，湖南 長沙 410006)

1 點到直線的距離公式

(A2+B2)S2=(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]=A2(x-x0)2+B2(y-y0)2+A2(y-y0)2+B2(x-x0)2

=[A(x-x0)+B(y-y0)]2+[A(y-y0)-B(x-x0)]2

≥[A(x-x0)+B(y-y0)]2=(Ax0+By0+C)2(∵Ax+By+C=0)

(1)

(2)

2 實際工作中直線方程的表達方式

實際工作中，直線l往往用經過兩點的坐標方式表達。如直線經過P1(x1，y1)和P2(x2，y2)。則直線l的表達方程為：

(y2-y1)x-(x2-x1)y+y1x2-y2x1=0

(3)

其中：A=y2-y1B=x1-x2C=y1x2-y2x1

(4)

(5)

3 點與直線位置關系的判斷

判斷點P0(x0，y0)與直線l：Ax+By+C=0的位置關系，就是要確定點P0(x0，y0)在直線l的左邊還是右邊(或者是上邊還是下邊)。

過點P0(x0，y0) 作一條水平直線y=y0，與直線l：Ax+By+C=0相交于P′(x′，y0)，如圖1所示，則：

(6)

當x′≥x0時，點P0(x0，y0)與直線l的左側(或下邊)；

當x′≤x0時，點P0(x0，y0)與直線l的右側(或上邊)。

圖1 點與直線的位置關系

4 點到直線的距離的工程應用

在現實生活中，經常需要間接求解點到某一條特定直線的距離。如城市基礎設施建設中，經常需要開挖建筑基坑。開挖基坑時需要在基坑頂部的圍護結構上布設測量點，監測支護結構的水平位移變化，而位移變化的重要方向就是基坑邊的垂直方向，因此，需要間接求解監測點位到基坑邊垂直方向的距離。如果開始確定一個初始基準值，就可以連續測量出測點位到基坑邊垂直方向的變化量，這個變化量對于判斷基坑是否安全非常重要。需要說明的是，工程坐標系的X/Y軸和數學坐標系的X/Y軸正好相反。因此，計算時需要把工程坐標系的X坐標和Y坐標交換，代入上述計算公式。

以長沙市地鐵3號線某車站基坑為例。該車站基坑水平位移監測的工程坐標經過處理后的原始測量數據見表1，地鐵車站基坑部分水平位移測點位置平面圖見圖2。該基坑四個端點分別為1號、5號、7號和11號，四條邊分別為1-5、5-7、7-11和11-1。基坑邊1-5布設有2號、3號和4號監測點；基坑邊5-7布設有6號監測點；基坑邊7-11布設有8號、9號和10號監測點。基坑四條邊的直線方程系數計算結果見表2。監測點到基坑邊的垂直距離計算結果見表3，這個計算結果與圖2中CAD作圖得出的結果一致。

基坑測量數據 表1

基坑邊直線方程系數 表2

測量點到基坑邊的垂直距離 表3

圖2 地鐵車站基坑水平位移測點位置平面圖

5 結 語

本文介紹了點P0(x0，y0)到直線l：Ax+By+C=0的距離公式的推導，并結合工程實例，對基坑測量監測點位對于基坑邊垂直方向變化的大小和方向進行了分析和計算，測量數據可以在電子計算表格中自動編程實現，還可以用編程語言編輯程序更好實現。在此基礎上，可以進一步對一個時期的測量數據進行變形分析，對于監控基坑的安全有著重要的意義。

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