權(quán)重信息不完全的混合型多屬性決策方法研究

葉帆+葉永

摘 要： 針對屬性權(quán)重信息不完全且屬性取值為精確數(shù)、語言標度、區(qū)間數(shù)、直覺模糊數(shù)、區(qū)間直覺模糊數(shù)的混合型多屬性決策問題，根據(jù)五種不同形式的屬性值規(guī)范化定義，建立每種形式下屬性值之間的相關(guān)系數(shù)。基于偏愛程度的加權(quán)平均（PDWA）算子和逼近理想解（TOPSIS）法構(gòu)建單目標最優(yōu)化模型求出各屬性的權(quán)重，通過對屬性值和屬性權(quán)重的線性集結(jié)，得到排序結(jié)果。最后通過數(shù)值算例，驗證了該方法的可行性和操作性。

關(guān)鍵詞： 混合型多屬性決策； 不完全權(quán)重； 偏愛程度的加權(quán)平均算子； 逼近理想解法； 相關(guān)系數(shù)； 單目標最優(yōu)化模型

中圖分類號： TN911?34； F272.1 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2018）06?0158?04

Abstract： In allusion to the problems that attribute weight information is incomplete and the attribute values are precise numbers in the hybrid multiple attribute decision making with linguistic labels， interval numbers， intuitionistic fuzzy numbers and interval intuitionistic fuzzy numbers， correlation coefficient between attribute values of each form is built according to five different forms of normalized definitions for attribute values. A single target optimization model based on preference degree weighted averaging （PDWA） operator and TOPSIS method is established to solve the weight of each attribute. The ranking result is obtained by means of linear aggregation of attribute values and attribute weights. The feasibility and operability of the method are verified by means of numerical examples.

Keywords： hybrid multiple attribute decision making； incomplete weight； PDWA operator； TOPSIS method； correlation coefficient； single target optimization model

0 引 言

多屬性決策問題普遍存在于社會、經(jīng)濟、教育、管理等各個決策，是決策理論與方法研究的重要內(nèi)容之一。決策者在決策中往往需要提供方案之間的偏愛信息，而對于定性和定量皆存的偏愛信息，用精確數(shù)、語言標度、區(qū)間數(shù)、直覺模糊數(shù)、區(qū)間直覺模糊數(shù)的混合型屬性值去表示，顯得更加方便、合適。由此統(tǒng)一混合屬性值形式的研究已日益得到了重視[1?6]。逼近理想解（TOPSIS）法[7]自1981年由Hwang，Yoon提出以來， 獲得了廣泛的應(yīng)用，尤其在混合屬性值的多屬性決策問題上也取得了一定的進展 [8?12]。本文針對只有部分權(quán)重信息的混合型多屬性決策問題，定義了每種形式下屬性值之間的相關(guān)系數(shù)，根據(jù)TOPSIS方法原理建立了最優(yōu)決策模型求得權(quán)重，并對方案進行優(yōu)劣排序。

1 基本概念

定義1 設(shè)[X=x1，x2，…，xn]是有限方案集[13] ，

[A，B∈IVIFSX]

[A=xi，μALxi，μAUxi，vALxi，vAUxi：xi∈X]

[B=xi，μBLxi，μBUxi，vBLxi，vBUxi：xi∈X]

稱：

[EIVIFSA=i=1nμ2ALxi+μ2AUxi+v2ALxi+v2AUxi+π2ALxi+π2AUxi2] （1）

是[A]的信息直覺能，其中：

[πALxi=1-μALxi-vALxi]

[πAUxi=1-μAUxi-vAUxi]

稱：

[CIVIFSA，B=12i=1n[μALxiμBLxi+μAUxiμBUxi+ vALxivBLxi+vAUxivBUxi+ πALxiπBLxi+πAUxiπBUxi]] （2）

是[A]和[B]的相關(guān)程度，進一步稱：

[KIVIFSA，B=CIVIFSA，BEIVIFSA?EIVIFSB] （3）

是[A]和[B]的相關(guān)系數(shù)。

定義2 設(shè)[X=x1，x2，…，xn]是有限方案集，

[A，B∈FSX]

[A=xi，μAxi：xi∈X]

[B=xi，μBxi：xi∈X]

稱：

[EFSA=i=1nμ2Axi+1-μAxi22] （4）

是[A]的信息直覺能，稱：

[CFSA，B=12i=1nμAxiμBxi+1-μAxi1-μBxi] （5）endprint

是[A]和[B]的相關(guān)程度，進一步稱：

[KFSA，B=CFSA，BEFSA?EFSB] （6）

是[A]和[B]的相關(guān)系數(shù)。

定義3 設(shè)[X=x1，x2，…，xn]是有限方案集，

[A，B∈IFSX]

[A=xi，μAxi，vAxi：xi∈X]

[B=xi，μBxi，vBxi：xi∈X]

稱：

[EIFSA=i=1nμ2Axi+v2Axi+π2Axi2] （7）

是[A]的信息直覺能，其中[πAxi=1-μAxi-vAxi]，稱：

[CIFSA，B=12i=1nμAxiμBxi+vAxivBxi+πAxiπBxi] （8）

是[A]和[B]的相關(guān)程度，進一步稱：

[KIFSA，B=CIFSA，BEIFSA?EIFSB] （9）

是[A]和[B]的相關(guān)系數(shù)。

由于模糊數(shù)和直覺模糊數(shù)可以看作是區(qū)間直覺模糊數(shù)的特殊情況，所以集合[FS，][IFS，][IVIFS]上的相關(guān)系數(shù)[KA，B]具有以下性質(zhì)：[KA，B=KB，A]； [0KA，B1]；[A=B?KA，B=1]。

通過以上定義，可以計算方案間的相似性，并且比較不同形式的屬性值后做出合理的決策，進一步地，可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)來簡單合理擴展混合型多屬性決策的TOPSIS方法。

2 擴展TOPSIS方法

設(shè)[X=x1，x2，…，xn]是混合型多屬性決策問題的方案集，[u=u1，u2，…，um]是屬性集，對于各個方案由專家根據(jù)不同的屬性給出不同類型的屬性值，而屬性權(quán)重信息可由如下幾種方式給出：

1） [wiwj]；

2） [wi-wjδi>0]；

3） [wiδiwj，0δi1]；

4） [δiwiδi+εi，0δiδi+εi1；]

5） [wi-wjwk-wl，j≠k≠l]。

記[H]為上述形式的信息組成的屬性權(quán)重約束集。設(shè)關(guān)于混合評價信息的決策矩陣規(guī)范化后矩陣為[R=rijm×n]，在擴展TOPSIS方法做出決策的過程中，需要在權(quán)重信息不完全的情況下確定合理的權(quán)重信息[w=w1，w2，…，wmT]。所以先根據(jù)PDWA算子[6]將每個方案在不同屬性下的偏愛程度PD集結(jié)成最終值[PDWAwri1，ri2，…，rim]，[i=1，2，…，n]，計算每個方案的得分[SPiw]，顯然方案的得分越高，則此方案越優(yōu)。于是建立以下優(yōu)化模型（M）：

[Max SPiw， i=1，2，…，n]

[s.t. w=w1，w2，…，wnT∈H， wi0， i=1，2，…，m， i=1mwi=1]

通過求解模型（M），可得到最優(yōu)解，即每個方案[Oi]下關(guān)于各個屬性的權(quán)重向量[wi=w（i）1，w（i）2，…，w（i）mT]。為了得到最后統(tǒng)一的屬性權(quán)重[w=w1，w2，…，wmT]，把所有的方案作為一個整體考慮，于是建立了最優(yōu)解[wi=w（i）1，w（i）2，…，w（i）mTi=1，2，…，n]的權(quán)重矩陣，如下：

[W=w（1）1， w（2）1， …， w（n）mw（1）2， w（2）2， …， w（n）m ? ? ? ?w（1）m， w（2）m， …， w（n）m]

同時，計算屬性值規(guī)范化后[rij]的得分[sij]和得分矩陣[S=sijm×n]，再計算矩陣[STWTSTW]的歸一特征向量[ω=ω1，ω2，…，ωnT]，用如下方法求出合成向量作為屬性權(quán)重向量[w=w1，w2，…，wmT]：

[w=Wω=w（1）1， w（2）1， …， w（n）mw（1）2， w（2）2， …， w（n）m ? ? ? ?w（1）m， w（2）m， …， w（n）mω1ω2 ?ωn= ω1w1+ω2w2+…+ωnwn] （10）

另外，根據(jù)得分矩陣[S=sijm×n]，得到混合屬性值的正、負理想解：[O+=maxsijj=1，2，…，nriji=1，2，…，mT=r+1，r+2，…，r+mT] （11）

[O-=minsijj=1，2，…，nriji=1，2，…，mT=r-1，r-2，…，r-mT] （12）

然后利用式（3）、式（6）、式（9）分別計算各個方案與正理想解和負理想解的相關(guān)系數(shù)：

[S+i=j=1mwjKrij，r+j] （13）

[S-i=j=1mwjKrij，r-j] （14）

最后，根據(jù)相對貼近度：

[Ci=S-iS-i+S+i， i=1，2，…，n] （15）

給出所有備選方案的排序。

3 應(yīng)用舉例

考慮從4個不同的品牌，但是相同功率的空調(diào)中選擇一個品牌的空調(diào)購買，當然在決策的過程中，希望購買的空調(diào)價格越低、適用范圍越大、噪音越小、售后服務(wù)越好。該決策問題的備選方案是4個不同品牌的空調(diào)，記為[xi][i=1，2，3，4]，受關(guān)注的屬性是價格、適用面積、噪音和售后服務(wù)，分別用[ui][i=1，2，3，4]表示。其中，適用面積和售后服務(wù)是效益型屬性，而其他屬性則是成本型。不同品牌空調(diào)的價格，適用面積的最大最小值和噪音的分貝范圍可以直接從商家得知，而它們的售后服務(wù)由專家來評價，于是確定了價格是精確數(shù)，適用范圍是區(qū)間數(shù)，噪音是直覺模糊數(shù)，售后服務(wù)是語言標度的混合多屬性決策問題，決策矩陣如表1所示。

其中售后服務(wù)的評價用一般的七級語言標度來表示，即G，P，VG，EG屬于集合：endprint

[S=s0=Extremely Poor，s2=Poor，s4=Fair， s6=Good，s7=Quite Good，s7.5=Very Good， s8=Extremely Good]

使用前面的規(guī)范化方法將決策矩陣化為規(guī)范化矩陣，如表2所示。

假設(shè)屬性權(quán)重信息不完全，約束集為：

[H=w10.1，0.3w20.5，0.1w20.2， w3-w2w4-w1，w40.4]

利用優(yōu)化模型（M）求出最優(yōu)權(quán)重向量并組成權(quán)重矩陣為：

[W=0.10.40.10.10.20.10.10.20.30.40.40.30.40.10.40.4]

計算得分矩陣[S=sijm×n]，解得[STWTSTW]的歸一化特征向量[ω=0，0.000 48，0.022 46，2.155 36T]，進而求得屬性權(quán)重[w]：

[w=Wω=0.10.40.10.10.20.10.10.20.30.40.40.30.40.10.40.4 00.000 480.022 462.155 36 =0.1，0.198 9，0.301 1，0.399 9T]

根據(jù)得分矩陣[S=sijm×n]，確定正理想解[O+]和負理想解[O-]為：

[O+=1，0.285 7，0.142 9，0.230 8，0，[0.935 7，0.98]，[0，0]；][O-=0，0，0.285 7，0，0.307 7，[0，0.2]，[0.5，0.7]]。

最后利用式（1）～式（9）和式（13）～式（15）分別求出各方案與正理想解和負理想解的相關(guān)系數(shù)，各方案相對貼近度及排序，如表3所示。

4 結(jié) 論

本文定義不同類型屬性值的信息直覺能、關(guān)聯(lián)程度和關(guān)聯(lián)系數(shù)，利用偏愛程度的加權(quán)平均算子拓展了TOPSIS方法，并將此方法應(yīng)用于決策領(lǐng)域，為屬性權(quán)重信息不完全的混合型多屬性決策問題提供了一條有效路徑。從而不僅豐富和發(fā)展了混合型多屬性決策問題的理論研究，而且為促進其實際應(yīng)用進行了有益的嘗試。

參考文獻

[1] YANG J B， SEN P. A general multi?level evaluation process for hybrid MADM with uncertainty [J]. IEEE transaction on systems， man and cybernetics， 1994， 24（10）： 1458?1473.

[2] 張琦，程培源，程月蒙.一種基于混合多屬性的VIKOR群決策方法[J].測控技術(shù)，2017，36（6）：136?141.

ZHANG Qi， CHENG Peiyuan， CHENG Yuemeng. A group decision making method based on mixed multi?attribute and VIKOR [J]. Measurement and control technology， 2017， 36（6）： 136?141.

[3] 許成磊，段萬春，孫永河.多屬性群決策的混合結(jié)構(gòu)偏好識別與融合方法[J].中國管理科學(xué)，2016，24（8）：139?145.

XU Chenglei， DUAN Wanchun， SUN Yonghe. The recognition and integration method to composite structure preference of multi?attribute group decision making [J]. Chinese journal of management science， 2016， 24（8）： 139?145.

[4] 羅黨，李詩.基于“離合”思想的混合型灰色多屬性決策方法[J].控制與決策，2016，31（7）：1305?1310.

LUO Dang， LI Shi. Hybrid grey multiple attribute decision?making method based on "clutch" thought [J]. Control and decision， 2016， 31（7）： 1305?1310.

[5] 徐選華，蔡晨光，梁棟.基于混合多屬性信息的復(fù)雜多階段決策方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2015，37（10）：2315?2321.

XU Xuanhua， CAI Chenguang， LIANG Dong. Complex multi?stage decision making method based on mixed multi?attribute information [J]. Journal of systems engineering and electronics， 2015， 37（10）： 2315?2321.

[6] YU X， XU Z， CHEN Q. A method based on preference degrees for handling hybrid multiple attribute decision making problems [J]. Expert systems with applications， 2011， 38（4）： 3147?3154.

[7] HWANG C L， YOON K. Fuzzy multiple attribute decision making： methods and applications [M]. Berlin： Springer， 1981.endprint

[8] ZHANG Huimin， YU Liying. MADM method based on cross?entropy and extended TOPSIS with interval?valued intuitionistic fuzzy sets [J]. Knowledge?based systems， 2012， 30（2）： 115?120.

[9] JOSHI D， KUMAR S. Interval?valued intuitionistic hesitant fuzzy Choquet integral based TOPSIS method for multi?criteria group decision making [J]. European journal of operational research， 2016， 248（1）： 183?191.

[10] WANG C Y， CHEN S M. Multiple attribute decision making based on interval?valued intuitionistic fuzzy sets， linear programming methodology， and the extended TOPSIS method [J]. Information sciences， 2017， 397/398： 155?167.

[11] PARK J H， PARK I Y， KWUN Y C， et al. Extension of the TOPSIS method for decision making problems under interval?valued intuitionistic fuzzy environment [J]. Applied mathematical modelling， 2011， 35（5）： 2544?2556.

[12] 葉帆，應(yīng)祖?zhèn)洌瑓侵纹?不完全信息下的區(qū)間直覺模糊數(shù)的多屬性決策方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報，2010，24（1）：70?75.

YE Fan， YING Zubei， WU Zhiping. A multi?criteria decision?making method for interval?valued intuitionistic Fuzzy sets with incomplete attribute weights [J]. Communication on applied mathematics and computation， 2010， 24（1）： 70?75.

[13] PARK G P， KWUN Y C， PARK J H， et al. Correlation coefficient of interval?valued intuitionistic fuzzy sets and its application to multiple attribute group decision making problems [J]. Mathematical and computer modelling， 2009， 50（9/10）： 1279?1293.

[14] 徐澤水.區(qū)間直覺模糊信息的集成方法及其在決策中的應(yīng)用[J].控制與決策，2007，22（2）：215?219.

XU Zeshui. Methods for aggregating interval?valued intuitionistic fuzzy information and their application to decision making [J]. Control and decision， 2007， 22（2）： 215?219.endprint