基于改進(jìn)馬爾柯夫鏈的區(qū)域干旱預(yù)測

(新疆塔里木河流域管理局，新疆 庫爾勒 841000)

1 引 言

塔里木河流域位于新疆南部，該地區(qū)降水稀少，蒸發(fā)強(qiáng)烈，生態(tài)環(huán)境極度脆弱，“綠洲經(jīng)濟(jì)，灌溉農(nóng)業(yè)”是其顯著特點，干旱是對綠洲灌溉農(nóng)業(yè)的最大威脅。已有文獻(xiàn)報道中，鮮有基于氣象干旱指數(shù)的該流域干旱預(yù)測研究。鑒于此，本文在前人研究基礎(chǔ)上，以塔里木河流域的阿克蘇地區(qū)為研究區(qū)，根據(jù)流域內(nèi)典型氣象站1961—2010年的逐月降水量數(shù)據(jù)，采用SPI(Standadized Precipitation Index)作為氣象干旱指數(shù)[1-2]，利用改進(jìn)馬爾柯夫鏈對研究區(qū)干旱進(jìn)行預(yù)測，以期為防旱減災(zāi)提供參考。

2 計算方法

2.1 馬爾柯夫鏈

馬爾柯夫鏈?zhǔn)茄芯磕骋皇录臓顟B(tài)及狀態(tài)間轉(zhuǎn)移規(guī)律的隨機(jī)過程，其基本原理如下[3-4]：

設(shè)馬爾柯夫鏈有m個狀態(tài)a1，a2，…，am，記轉(zhuǎn)移時刻為t1，t2，…，tn，某一轉(zhuǎn)移時刻的狀態(tài)為m個狀態(tài)之一。記

Pij(n，K)=P[X(tn+K)=aj|X(tn)=ai]

i,j=1,2,…,m

(1)

Pij(n，K)為過程從時刻tn狀態(tài)ai經(jīng)K步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)aj的概率。一般而言，Pij(n，K)與i,j,K,n有關(guān)。當(dāng)Pij(n,K)與n無關(guān)時，則稱為齊次馬爾柯夫鏈。

取K=1，Pij稱為一步轉(zhuǎn)移概率。由一步轉(zhuǎn)移概率可構(gòu)成一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：

(2)

令時刻t的無條件概率分布或邊際概率分布為Pi=[pt(1),pt(2),…,pt(m)]，其中pt(j)是概率P[X(t)=j]。若時刻t已發(fā)生，則pt已知。那么，t+1時刻的條件分布為

Pt+1=PtP(1)

(3)

2.2 加權(quán)馬爾柯夫鏈

其計算步驟如下[5-6]：

a.計算SPI值，確定干旱狀態(tài)。

(4)

式中fij——SPI值由狀態(tài)i至j的頻數(shù)；

pij——各頻數(shù)除以各行之和得到的矩陣;

Pj——矩陣(fij)m×n的第j列之和除以各行各列的總和得到的值；

m——最大階數(shù)。

c.計算各階自相關(guān)系數(shù)rk:

(5)

(6)

式中rk——第k階自相關(guān)系數(shù);

xt——t時段指標(biāo)值；

n——序列長度。

由于式(5)計算值偏小，利用式(6)進(jìn)行修正。根據(jù)rk的容許限(顯著水平a=5%)來確定干旱預(yù)測的階數(shù)。將各階自相關(guān)系數(shù)歸一化，得到不同滯時的馬爾柯夫鏈的權(quán)重。計算式為

(7)

d.計算預(yù)測概率，即：

(8)

max(PiiE)——i時段指標(biāo)值的預(yù)測狀態(tài)。

3 模型應(yīng)用

3.1 加權(quán)馬爾柯夫鏈計算結(jié)果

本文以新疆阿克蘇河支流庫瑪拉克河協(xié)和拉水文站SPI序列為例，基于1961年3月至1995年12月的干旱狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，對1996年1月至2007年12月的干旱狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測驗證，數(shù)據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率見表1。

表1 庫瑪拉克河水文指標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

加權(quán)馬爾柯夫鏈對協(xié)和拉水文站的平均預(yù)測合格率為72%，其中對無旱狀態(tài)的預(yù)測合格率達(dá)到80%，對輕度干旱的預(yù)測合格率為50%左右，而對中度以上干旱的預(yù)測合格率較差。出現(xiàn)此類結(jié)果的原因：轉(zhuǎn)移概率矩陣中，重度干旱、極端干旱的轉(zhuǎn)移概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于無干旱與輕度干旱的概率；預(yù)測期內(nèi)實際發(fā)生達(dá)到中度干旱及以上的月數(shù)較少。該方法對無旱的預(yù)測較為準(zhǔn)確，對干旱的發(fā)生也有一定預(yù)測能力，可作為早期干旱預(yù)警的參考。加權(quán)馬爾柯夫鏈預(yù)測結(jié)果見表2。

表2 加權(quán)馬爾柯夫鏈預(yù)測結(jié)果

對馬爾可夫鏈進(jìn)行平穩(wěn)分布檢驗，結(jié)果見表3。

表3 平穩(wěn)分布概率及重現(xiàn)期

從表3可見，無旱及輕度干旱的概率較大，中度以上干旱的概率極小(為0.13)，這解釋了加權(quán)馬爾柯夫鏈對中度以上干旱預(yù)測效果較差的原因。

3.2 雙原則馬爾柯夫鏈

利用雙原則對模型進(jìn)行改進(jìn)。設(shè)Ri為加權(quán)和Pi與i狀態(tài)多年發(fā)生頻率Hi的比值：

Ri=Pi/Hi=Pi/(ni/n)

(9)

式中，Ri越大，i狀態(tài)的概率越大。

預(yù)測決策中需考慮原加權(quán)和Pi最大及各狀態(tài)發(fā)生頻率超過多年平均概率的幅度(Pi-Hi)，于是引入Si，以Pi與Pi超過Hi之和對預(yù)測結(jié)果作決策：

Si=Pi+(Pi-Hi)=Pi+(Pi-ni/n)

(10)

取Pj=maxPi、Rk=maxRi，比較Rj與Rk、Sj與Sk進(jìn)行預(yù)測。當(dāng)j=k時，表明兩種原則預(yù)測效果吻合。當(dāng)j≠k時，表明兩種原則預(yù)測結(jié)果不吻合。

雙原則馬爾科夫鏈預(yù)測結(jié)果見表4。

表4 雙原則馬爾柯夫鏈預(yù)測結(jié)果

通過對加權(quán)馬爾柯夫鏈模型進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后對中度以上干旱等級的預(yù)測能力有所提高，并成功預(yù)測出一場極端干旱的出現(xiàn)，雙原則馬爾柯夫鏈能夠為流域干旱預(yù)警及抗旱方案的制定提供較好的參考價值。

4 結(jié) 語

a.加權(quán)馬爾柯夫鏈對協(xié)和拉水文站的平均預(yù)測合格率為72%，其中對無旱狀態(tài)的預(yù)測合格率達(dá)到80%，對輕度干旱的預(yù)測合格率為50%左右，而對中度以上干旱的預(yù)測合格率較差。

b.加權(quán)馬爾柯夫鏈優(yōu)化后，提高了中度以上干旱等級的預(yù)測精度，并成功預(yù)測出一場極端干旱的出現(xiàn)。

c.加權(quán)馬爾科夫鏈可預(yù)測流域洪旱特征，計算結(jié)果為一個狀態(tài)(區(qū)間)而非一個具體的數(shù)值，預(yù)測范圍擴(kuò)大，其預(yù)測成功率也相應(yīng)增加，但該方法是純數(shù)學(xué)理論方法，對流域下墊面及其他因素影響考慮較少，且對極值的預(yù)測存在缺陷，因此需要采取改進(jìn)措施以提高其預(yù)測精度。

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