摩擦傳動的壓電定位臺高精度跟蹤控制

嚴剛峰 方 紅 譚健敏 羅浚溢

(成都大學信息科學與工程學院， 成都 610106)

0 引言

近年來，隨著科技的迅速發展，在光學工程、精密機械制造、精密儀器儀表、集成電路制造、航空航天工業、機器人等高新技術領域，迫切需要微米級的驅動和定位跟蹤技術，傳統的電磁電機已很難在高精度上滿足需求，壓電執行器作為壓電致動裝置的一個分支，是利用壓電元器件的逆壓電效應，將壓電元器件的往復運動轉換為彈性元件的微小運動，并通過摩擦力的作用將彈性元件的微小運動轉換成動子宏觀的運動，其結構非常緊湊、轉子慣性較小、響應制動很快、可直接驅動負載，具有低速和高轉矩的特性。而傳統電磁電機雖然轉速較高，但是轉矩較小，且易受環境電磁場的影響。壓電執行裝置不僅沒有電磁場，而且還具有良好的定位以及速度的可控性。選用壓電執行裝置作為執行元件，設計合理的控制策略來實現高精度的驅動控制具有重要意義。

關于壓電執行器的研究主要集中在壓電電動機的結構研究及其驅動電路設計[1-5]，最大行程僅為幾微米的壓電執行器控制方法研究[6-14]，以及壓電材料的性能分析及其實驗研究[15-18]。對于具有大行程的壓電工作臺的高精度跟蹤控制方法的研究則報道很少。本文首先針對選用的摩擦傳動壓電定位臺，根據其工作原理，建立摩擦傳動的壓電定位臺控制系統的時域數學模型，然后根據該模型，設計一種加模型補償的滑模變結構控制策略。

1 摩擦傳動壓電定位臺控制系統建模

1.1 摩擦傳動的壓電定位臺控制系統

選用如圖1所示摩擦傳動的壓電定位臺控制系統，壓電電動機、電機驅動器及其電源、摩擦傳動工作臺都選用PBA Systems公司的PLS8-115型壓電定位臺系統。

圖1 摩擦傳動的壓電定位臺控制系統Fig.1 Piezoelectric positioning control system with friction-driven1.電機驅動器 2.電源 3.編碼器 4.壓電電機 5.工作平臺

該定位臺系統工作原理是利用壓電陶瓷的逆壓電效應，原理示意圖如圖2所示，在給摩擦傳動的壓電定位臺輸入驅動電壓之后，壓電電動機中的壓電陶瓷就會產生逆壓電現象，產生的縱向延伸和橫向彎曲的形變，在陶瓷指尖所在的狹小橢圓通道里產生超聲駐波，擠壓驅動帶的陶瓷指尖就會產生如圖2所示運動方向的驅動力，通過壓電電動機內部的驅動電路控制2個陶瓷指尖產生高頻的交替振動，由交替振動的陶瓷指尖和驅動帶之間的摩擦力來驅動固定在驅動帶上的工作平臺作如圖2所示方向的直線運動。在沒有驅動電壓輸入時，陶瓷指尖對驅動帶的壓力可在工作平臺上維持一個保持力矩，不產生移動。

圖2 壓電電動機定位臺工作原理示意圖Fig.2 Operation principle diagrammatic sketch of piezoelectric motor positioning stage

1.2 摩擦力類型

壓電電動機系統中主要存在的摩擦力類型有靜摩擦力、庫侖摩擦力、粘性摩擦力和拖動摩擦力。其中靜摩擦力是在物體運動速度為零時所受的摩擦力，此時，只要物體所受的作用力小于最大靜摩擦力，則靜摩擦力始終與施加于物體的作用力相平衡。靜摩擦力通常只能通過實驗來描述。庫侖摩擦力是一種機械阻尼力，其中的能量是通過滑動摩擦而消耗的，由彼此擠壓的2個表面的相對運動所產生，庫侖摩擦總是抵抗相對運動并且與法向接觸力成比例。粘性摩擦力是物體運動時的阻力，粘性摩擦力抵抗任何物體通過接觸與另一物體產生相對運動。對應于系統具有良好潤滑的情況，粘性摩擦力與速度成比例。拖動摩擦力是固體物體與液體或氣體之間的摩擦力，與速度的平方成比例。

各種復雜摩擦力模型主要都采用靜摩擦力、庫侖摩擦力、粘性摩擦力和拖動摩擦力的不同組合形式作為系統所受摩擦力模型的基本構成[19]。

1.3 系統建模

為了確定摩擦傳動的壓電定位臺控制系統所受各種摩擦力的情況，首先設計了三角函數波(周期為6 s，正向幅值為1.5 V，負向幅值為-2.1 V)作為輸入的開環測試信號，此時測得的摩擦傳動壓電定位臺控制系統的響應速度如圖3所示。

圖3 三角波輸入時摩擦傳動壓電定位臺的響應速度Fig.3 Response speed of piezoelectric motor positioning stage when a triangular wave input was applied

由圖3可以看出，輸入作用克服靜摩擦力，在速度過零處有明顯的跳變。另外，摩擦傳動的壓電定位臺速度很小，固體與空氣之間的拖動摩擦因數很小，還有摩擦傳動的壓電定位臺的截面面積也很小，因此拖動摩擦力非常小，可以忽略，建模時可不考慮拖動摩擦力。注意到電動機的正反行程相應的摩擦因數是不同的，根據牛頓第二定律，結合摩擦傳動的壓電定位臺所受的靜摩擦力、庫侖摩擦力以及粘性摩擦力，摩擦傳動的壓電定位臺系統的模型表示為

(1)

其中

式中m——電動機轉子質量Fs——靜摩擦力

a1——歸一化粘性系數

a2——歸一化庫侖摩擦系數

a3——摩擦傳動的壓電定位臺系統電壓到作用力的轉換常數

u——輸入電壓

圖4 摩擦傳動壓電定位臺的脈寬輸入響應速度Fig.4 Pulse-width input response speed of piezoelectric motor positioning stage

根據PBA Systems公司PLS8-115型摩擦傳動壓電定位臺系統說明[20]，可確定a3=6 N/(V·kg)。

為了確定模型中的其余常數，可以先設計脈寬沖擊響應來確定，并且脈寬幅值大于最大靜摩擦力，采用這樣的測試，可以使系統的響應受靜摩擦力的影響最小。為此，首先輸入脈沖寬度是0.4 s，幅值為-2.3 V和1.6 V的脈寬沖擊信號，可以得到系統響應如圖4所示。

由圖4可以得到方程

(2)

選用完全相同的方法，選擇的脈寬仍為0.4 s，脈寬信號的幅值分別為-1.8 V和1.3 V，-2 V和1.5 V，-2.1 V和1.7 V，-2.5 V和2 V，這樣可以得到參數辨識的方程為

XA=Y

(3)

其中

記

es=Y-XA

(4)

(5)

(6)

由此可解得

A=(XTX)-1XTY

(7)

可以得到a1p=104.015 4，a1n=117.144 1，a2p=3.102 3，a2n=6.821 6。

將所得參數代入模型，此時不考慮靜摩擦力，可得模型仿真輸出與實驗測試結果對比如圖5所示。

從圖5中可以看出，粘性摩擦力有一定的滯后，通過對粘性摩擦力的作用加入延時，反復測試，在粘性摩擦力滯后0.003 5 s時，可以得到此時模型的仿真輸入與實驗測試結果的比如圖6所示。

圖5 0.4 s脈沖寬度脈沖振幅作用下的速度對比曲線Fig.5 Contrast curves of velocity under acting of 0.4 s pulse width with of pulse amplitude

圖6 0.4 s脈沖寬度、脈沖振幅作用下的速度對比曲線(粘性摩擦力滯后)Fig.6 Contrast curves of velocity under acting of 0.4 s pulse width of pulse amplitude (viscous friction hysteresis)

靜摩擦力的準確仿真是很難實現的，此時系統速度為零，用于摩擦傳動的壓電定位臺控制系統設計的模型為

(8)

其中

運用該模型，輸入選用三角函數波(周期為6 s，正向幅值為1.5 V，負向幅值為-2.1 V)信號，可得模型輸出與摩擦傳動的壓電定位臺系統的實測輸出如圖7所示。由圖7可以看出，盡管存在一定誤差，但用于控制方法設計，還是可以比較準確地反映摩擦傳動的壓電定位臺系統的輸出。

圖7 三角函數(振幅為1.5 V，-2.1 V，周期為6 s)輸入作用下的速度對比曲線Fig.7 Contrast curves of velocity under triangle wave input signal acting of 0.4 s period with -2.1 V and 1.5 V of amplitude

2 控制方法設計與測試

跟蹤的位置信號如圖8所示。

圖8 期望的跟蹤信號Fig.8 Desired tracking signal

根據系統建模結果，選擇模型補償加滑模控制作為系統的控制方案，控制系統結構如圖9所示。

圖9 壓電定位臺控制系統結構圖Fig.9 Structure of piezoelectric motor positioning stage control system

先將滑模面定義為

(9)

其中

e(t)=xd(t)-x(t)

式中e(t)——跟蹤誤差

xd(t)——期望的跟蹤信號

x(t)——實際的位置信號

將控制器設計為

(10)

(11)

設實際系統可以描述為

(12)

其中d(t)為系統干擾，該值非常小，設實際系統與建模結果存在如下關系

(13)

對于系統(12)選用控制器(10)，合理設計控制器中的參數，系統(12)是穩定的，選擇如下正定的Lyapunov函數，為了書寫簡便，下面的論證省去時間變量t。

(14)

則

(15)

(16)

作為對比，首先選用傳統的PI控制器作為系統的控制信號，通過調整比例系數KP和積分系數KI，通過實驗可得，在系統不產生振蕩時，以誤差最小作為PI控制器參數的選取依據，由此，可得KP=26 000，KI=2 400，此時系統的誤差如圖10所示。

圖10 PI控制時系統的跟蹤誤差Fig.10 Tracking error of PI control

圖11 模型補償加滑模控制時系統的跟蹤誤差Fig.11 Tracking error of inverse system compensation plus sliding mode control

圖12 s與的關系Fig.12 Relationship between s and

3 結論

(1)通過采用逆系統模型補償結合滑模控制，可以達到很高的控制精度，對于本文采用的摩擦傳動的壓電定位臺，所得到的最大跟蹤誤差為0.010 95 mm，相對誤差達到0.054%。

(2)對于采用摩擦傳動的系統，由于靜摩擦力的影響，速度在過零時會產生較大誤差，但此時速度為零，難以建模，如能及時有效補償傳動時系統所受的靜摩擦力，控制精度可以進一步提高。

(3)逆系統的輸出作為前饋控制對提高控制精度起主要作用，因此系統建模的精度越高，則逆系統補償后，誤差越小，此時需要的滑模控制補償作用就越小，系統的性能就會越高。

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