“三角形的三邊關(guān)系”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

教學(xué)實(shí)錄：

一、出示結(jié)論，理解結(jié)論

師：在《幾何原本》中有一句這樣的話（課件出示圖1）。來(lái)，齊讀一遍。（板書(shū)：三角形任意兩邊之和大于第三邊）能理解這句話的意思嗎？誰(shuí)愿意說(shuō)一說(shuō)？

生1：就是兩邊的長(zhǎng)度和要比第三邊長(zhǎng)。

師：（在黑板上畫(huà)出三角形）你能上來(lái)比劃出你的意思嗎？（生1比劃）這就是任意兩邊之和大于第三邊的意思嗎？（底下有學(xué)生舉手）你為什么舉手？

生2：不止有這兩邊之和大于這一邊，還有這兩邊之和大于這一邊、這兩邊之和大于這一邊。

師：你們都能聽(tīng)明白他說(shuō)的意思嗎？（有學(xué)生搖頭）如果我給這三條邊都取上名字，（給三角形的三條邊分別標(biāo)上a、b、c）你能再說(shuō)一次嗎？

生2：有a+b>c，還有a+c>b和b+c>a。（板書(shū)： a+b>c，a+c>b，b+c>a）

師：你們都同意嗎？（生：同意）你現(xiàn)在明白這句話的意思了嗎？（生1點(diǎn)頭）你們都能明白？（其他學(xué)生點(diǎn)頭）

二、驗(yàn)證結(jié)論

1.引出質(zhì)疑，引發(fā)驗(yàn)證

師：這句話的意思你們是明白了，那對(duì)于這句話，你相信嗎？（連續(xù)問(wèn)一排學(xué)生）

學(xué)生有的說(shuō)相信，有的說(shuō)不相信。

師：有人相信，有人不相信，怎么辦？面對(duì)一個(gè)結(jié)論，我們不能輕易相信，也不能輕易不信，怎么辦？

生：驗(yàn)證。

2.學(xué)生驗(yàn)證，引發(fā)質(zhì)疑

師：那你們要怎樣驗(yàn)證？（生：畫(huà)一個(gè)三角形）黑板上正好有一個(gè)三角形，用它試試可以嗎？接下來(lái)干嗎？

生：測(cè)量三條邊的長(zhǎng)度。（師測(cè)量并板書(shū)）

師：然后呢？（生：再比較）要比較幾次？（生：3次）這個(gè)例子可以說(shuō)明這句話是對(duì)的。那你現(xiàn)在相信這句話嗎？（生：不相信）有例子可以說(shuō)明這句話是正確的，為什么你還不相信？（生：還有其它的三角形）確實(shí)如此，只通過(guò)一個(gè)例子就能說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是對(duì)的嗎？你們接下來(lái)想做什么？（生：再畫(huà)一個(gè)三角形）請(qǐng)你們拿出鉛筆、尺子在稿紙上舉例驗(yàn)證。

學(xué)生動(dòng)手畫(huà)三角形，然后分組驗(yàn)證。

師：有誰(shuí)愿意分享你的驗(yàn)證結(jié)果？分享時(shí)可以按照這樣的形式：你畫(huà)的三角形三條邊的長(zhǎng)度分別是多少，通過(guò)這個(gè)例子說(shuō)明這句話是不是正確的。（請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)分享）通過(guò)剛剛的例子（板書(shū)：舉例子）都說(shuō)明這句話是對(duì)的。有沒(méi)有說(shuō)明這句話是錯(cuò)誤的例子？（學(xué)生搖頭）現(xiàn)在，你們相信這個(gè)結(jié)論了嗎？（生：相信）有還不相信這句話的嗎？（一生搖頭）這么多人都相信了，你怎么還不相信？

生：不見(jiàn)得所有的三角形都是這樣的，可能有特別的三角形。（有剛剛相信的學(xué)生又說(shuō)不相信了）

師：你怎么變了？你怎么也變了？三角形的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，我們能把所有的三角形都一一進(jìn)行驗(yàn)證嗎？（生：不行）那怎么辦？

生：就像他說(shuō)的，是不是有不是這樣的三角形？

師：你怎么這么厲害呢？既然無(wú)法研究所有的三角形，我們有時(shí)候要換個(gè)角度思考：是不是有兩邊之和不大于第三邊也能?chē)扇切蔚模浚ò鍟?shū)：不大于）如果有一個(gè)這樣的反例存在，（板書(shū)：反例）我們就可以說(shuō)這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)的。

3.尋找反例，引發(fā)矛盾，深度感受

師：下面我提供一些數(shù)據(jù)，要研究反例的話，你怎么選？（出示圖2）（生：4、5、10）為什么？（生：因?yàn)?+5<10）（板書(shū)4、5、10）還有其他的選擇嗎？（生：4、6、10）為什么？（生：因?yàn)?+6=10）（板書(shū)：4、6、10）

師：這樣吧，下面我們先研究三條邊長(zhǎng)分別為4厘米、6厘米、10厘米能否圍成三角形。請(qǐng)你們打開(kāi)學(xué)具袋，用三根這樣長(zhǎng)度的紙條圍一圍，看能不能?chē)扇切巍＃▽W(xué)生動(dòng)手圍）有能?chē)扇切蔚膯幔空?qǐng)你上臺(tái)圍一圍。（學(xué)生上臺(tái)展示）你們覺(jué)得這個(gè)是邊長(zhǎng)分別為4厘米、6厘米和10厘米的三角形嗎？

生：不是，這兩條邊的頂點(diǎn)沒(méi)連接在一起。

師：有人認(rèn)為這是（4、6、10）的三角形，有人不同意，怎么辦？當(dāng)我們用實(shí)物操作遇到問(wèn)題的時(shí)候，我們可以借助想象來(lái)解決。（出示圖3）如果要圍成三角形，該怎么辦？（生：把4、6兩條邊往中間靠）（課件演示從圖3到圖4的過(guò)程，學(xué)生感受兩邊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程及運(yùn)動(dòng)軌跡）

師：（指上臺(tái)圍三角形的學(xué)生）你現(xiàn)在還覺(jué)得（4、6、10）能?chē)扇切螁幔浚ㄉ翰荒埽槭裁茨阕兞耍?/p>

生：因?yàn)楫?dāng)4厘米和6厘米連在一起時(shí)會(huì)與10厘米的線段重合。

師：還有覺(jué)得（4、6、10）能?chē)扇切蔚膯幔浚ㄓ袀€(gè)別學(xué)生臉上有疑惑但是沒(méi)舉手）我們?cè)賮?lái)感受一次（課件演示圖3-圖4的過(guò)程）我知道，你們一定會(huì)有疑問(wèn)，通過(guò)想象（4、6、10）不能?chē)扇切危瑸槭裁从脤?shí)物又好像能?chē)赡兀浚ǔ鍪緢D5）這幾根是長(zhǎng)度分別為4厘米、6厘米、10厘米的三條線段。要把它們圍成三角形，我們得這樣。（課件演示由圖5到圖6的過(guò)程）圍成三角形后，我們可以找出它們的三個(gè)頂點(diǎn)。不難發(fā)現(xiàn)，我們圍成的三角形其實(shí)并不是實(shí)物表示的那樣，而應(yīng)該是用虛線表示的三角形。這個(gè)三角形的上面兩條邊的長(zhǎng)度分別為多少？（生：4厘米、6厘米）那底下的那條邊長(zhǎng)度是多少？（生：不知道）有10厘米嗎？（生：沒(méi)有）如果底邊長(zhǎng)有10厘米會(huì)怎么樣？（生：會(huì)與上面兩條邊重合）現(xiàn)在能明白，實(shí)物圍成的三角形的邊長(zhǎng)并不是（4、6、10）了吧！那（4、5、10）你們覺(jué)得可以圍成三角形嗎？（生：不可能）endprint

師：你是怎么想的？

生：（4，6，10）都不可能?chē)扇切危?，5，10）就更不可能?chē)扇切瘟恕?img src="https://cimg.fx361.com/images/2018/03/13/hnjx201802hnjx20180226-5-l.jpg" style=""/>

師：為什么更不可能？

生：因?yàn)?厘米和5厘米加起來(lái)還沒(méi)有10厘米長(zhǎng)，圍不成。

師：你們都是這樣想的嗎？我們一起來(lái)看看。（課件演示圖7）通過(guò)剛才的觀察，你們覺(jué)得兩邊之和等于第三邊可以圍成三角形嗎？（生：不能）那兩邊之和小于第三邊能?chē)扇切螁幔浚ㄉ翰荒埽┮簿褪钦f(shuō)我們找不到反例。

師：現(xiàn)在你們相信這句話嗎？（生：相信）同學(xué)們，面對(duì)一個(gè)結(jié)論，如果我們能找到一些例子說(shuō)明它是正確的，又不能找到反例，我們就可以相信它。今天我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是三角形的三邊關(guān)系。（板書(shū)課題）我希望今天你們能學(xué)會(huì)這個(gè)內(nèi)容，更希望你們能記住今天我們學(xué)習(xí)內(nèi)容的這個(gè)過(guò)程，期待以后的你們?cè)絹?lái)越會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。今天我們的課就到這了，謝謝你們，下課！

評(píng)析

“三角形任意兩邊之和大于第三邊”是平面幾何中有關(guān)三角形三邊關(guān)系的一條重要定理，位于《幾何原本》第20號(hào)命題。在《幾何原本》中，它是利用“大邊對(duì)大角”的定理證明的。人教版初中數(shù)學(xué)教材中是通過(guò)觀察簡(jiǎn)單的幾何事實(shí)，結(jié)合“兩點(diǎn)之間線段最短”這一樸素、直觀的公理推導(dǎo)出三角形的三邊關(guān)系。

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，三角形的三邊關(guān)系的教學(xué)路徑一般是這樣的：首先，拋出問(wèn)題“什么樣的三條線段才能?chē)扇切巍薄＝又l(fā)給學(xué)生一些長(zhǎng)度不等的紙條，比如，長(zhǎng)度分別為4cm、5cm、6cm、10cm的四根紙條，讓學(xué)生動(dòng)手操作，試圖獲得一些事實(shí)：（4cm、5cm、6cm）與（5cm、6cm、10cm）可以圍成三角形，而（4cm、6cm、10cm）與（4cm、5cm、10cm）卻不能?chē)伞Ｗ詈螅龑?dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出：三條線段滿(mǎn)足任意兩條線段長(zhǎng)度的和大于第三條線段時(shí)可以圍成三角形（為敘述方便，我們稱(chēng)之為結(jié)論①，以下同），即三角形任意兩邊之和大于第三邊（結(jié)論②）。

嚴(yán)格地說(shuō)，結(jié)論①是判定，是對(duì)教師教學(xué)伊始所拋出問(wèn)題“什么樣的三條線段才能?chē)扇切巍钡幕卮穑Y(jié)論②是性質(zhì)，它回答的問(wèn)題是三角形三邊具有什么樣的關(guān)系。兩者互為逆命題，邏輯上并不等價(jià)。但在實(shí)際教學(xué)中，老師們就是這么做的：為了得到結(jié)論②，先研究結(jié)論①。這樣倒過(guò)來(lái)研究，在教學(xué)中將面臨以下兩個(gè)問(wèn)題。

第一個(gè)問(wèn)題，當(dāng)回答“什么樣的三條線段能?chē)扇切巍睍r(shí)，學(xué)生歸納出的結(jié)論常常是兩條較短線段的和大于第三條線段時(shí)，能?chē)扇切危ńY(jié)論③）。這一結(jié)論對(duì)于判斷三條線段能否圍成三角形來(lái)說(shuō)，比結(jié)論①三條線段滿(mǎn)足任意兩條線段長(zhǎng)度的和大于第三條線段時(shí)，可以圍成三角形更簡(jiǎn)潔有力，因?yàn)榻Y(jié)論③只需判斷一次，而結(jié)論①卻需要判斷三次。但結(jié)論③并不是本節(jié)內(nèi)容想要達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)。第二個(gè)問(wèn)題，我們知道，當(dāng)兩條線段等于第三條線段時(shí)，比如（4cm、6cm、10cm），是不可能?chē)扇切蔚模珜W(xué)生動(dòng)手操作時(shí)，由于實(shí)際操作中存在誤差，卻常常“圍成”了三角形，而且對(duì)此堅(jiān)信不疑。這是三角形的三邊關(guān)系教學(xué)中公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn)。

我們知道，教學(xué)三角形的內(nèi)角和時(shí)，一般是先給出一些形狀、大小各異的三角形，再要學(xué)生通過(guò)測(cè)量和計(jì)算各個(gè)三角形的內(nèi)角和，探索三角形內(nèi)角和有什么規(guī)律。學(xué)生通過(guò)測(cè)量和計(jì)算很容易發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和等于（或接近）180度，從而較順利地歸納出結(jié)論“三角形的內(nèi)角和是180度”。受此啟發(fā)，教學(xué)三角形的三邊關(guān)系時(shí)，我們能不能也順過(guò)來(lái)，從正面直接研究三角形三邊的長(zhǎng)度有什么規(guī)律（性質(zhì)）呢？答案是否定的。比如，給出一些三角形（如下圖所示），接著學(xué)生測(cè)量出每條邊的長(zhǎng)度，然后提出問(wèn)題：“仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生是不可能通過(guò)觀察三角形各邊的長(zhǎng)度發(fā)現(xiàn)三角形兩邊之和大于第三邊這一結(jié)論的。不止學(xué)生不能，一般成年人如果之前不知道這個(gè)結(jié)論，也很難做到。這也是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)三角形的三邊關(guān)系時(shí)倒過(guò)來(lái)研究的一個(gè)重要原因。

怎么辦呢？周楷老師給出了一條解決該問(wèn)題的思路。

周楷老師的三角形的三邊關(guān)系的教學(xué)路徑顯然不同，沒(méi)有采取所謂的探究性學(xué)習(xí)，而是將教學(xué)重心放在如何理解這個(gè)結(jié)論上。雖然直接給出結(jié)論，但沒(méi)有降低教學(xué)的難度和思維的含量，相反整節(jié)課的數(shù)學(xué)味更濃，思維含量更高，是一種有意義的接受性學(xué)習(xí)。

首先，直接把結(jié)論“三角形任意兩邊之和大于第三邊”拋給學(xué)生，提出問(wèn)題：“你明白這句話是什么意思嗎？”在學(xué)生理解這句話后，接著追問(wèn)：“你相信嗎？”“信或者不信，應(yīng)該怎么辦？”引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生用事實(shí)驗(yàn)證的沖動(dòng)，“畫(huà)一個(gè)三角形看看”。畫(huà)出三角形后，“怎么驗(yàn)證呢？”引導(dǎo)學(xué)生測(cè)量三條邊的長(zhǎng)度。

整節(jié)課，可以分為“理解、質(zhì)疑、驗(yàn)證、思辨”四個(gè)環(huán)節(jié)。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，每一個(gè)環(huán)節(jié)都是一次思維上的考驗(yàn)。事實(shí)上，僅僅理解這個(gè)結(jié)論就不是一件容易的事。“任意是什么意思？”“對(duì)于一個(gè)具體的三角形而言，任意兩邊之和大于第三邊，意味著什么？”這些問(wèn)題對(duì)一個(gè)四年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)都不容易回答。只有當(dāng)學(xué)生明白“對(duì)于一個(gè)具體的三角形而言，當(dāng)三條邊a、b、c同時(shí)滿(mǎn)足a+b>c、b+c>a、a+c>b時(shí)，才能說(shuō)任意兩邊之和大于第三邊”這個(gè)道理后，才算真正理解了這句話。

如何驗(yàn)證是學(xué)生經(jīng)歷的又一次考驗(yàn)。畫(huà)一個(gè)三角形，要驗(yàn)證任意兩邊之和大于第三邊是否正確，我們?cè)撛趺醋瞿兀繉W(xué)生其實(shí)并沒(méi)有這方面的經(jīng)驗(yàn)。驗(yàn)證完黑板上的三角形后，學(xué)生又各自畫(huà)出一些三角形，通過(guò)測(cè)量驗(yàn)證結(jié)論的正確性。問(wèn)題是，這樣就夠了嗎？從正面舉例子，例子再多，也不能說(shuō)明結(jié)論是正確的。怎么辦？找反例！如果能找到一個(gè)反例則說(shuō)明結(jié)論是錯(cuò)誤的，如果找不到反例，則結(jié)論就更可靠。以上關(guān)于驗(yàn)證的整個(gè)過(guò)程對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，由于平時(shí)缺乏相關(guān)訓(xùn)練，因此更顯得彌足珍貴。

最后一個(gè)思辨環(huán)節(jié)將整節(jié)課推向高潮。學(xué)生動(dòng)手操作時(shí)，似乎（4、6、10）也能?chē)扇切巍５趧?dòng)畫(huà)演示的幫助下，通過(guò)想象及理性的思考，學(xué)生最終明白（4、6、10）是不可能?chē)扇切蔚摹?/p>

以上是周楷老師本節(jié)課的價(jià)值所在。對(duì)于教材中眾多不太好進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的教學(xué)內(nèi)容而言，本節(jié)課提供了一條全新的思路。這種處理方式值得推廣。

（作者單位：長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)博才寄宿小學(xué)長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)教研室）endprint