Zgymund空間到Bloch空間的微分復合算子

羅志丹

（汕頭大學數學系，廣東 汕頭，515063）

0 引言

最早關于復合算子描述的是Nordgren[1]，結合解析函數與泛函分析理論，解決了Hardy空間上的相關問題.再則Cowen和MacClue刻畫了復合算子在一些具體函數空間內的有界性和緊性[2].各類函數空間上的復合算子在接下來的研究中得出了一些很好的成果[3-4].

近五年來，關于復合算子的研究，著重研究其在各類函數空間上的有界性和緊性.比如與Bloch空間相關的文獻[5-9]；與Bergman空間相關的文獻[10-12]；與Zygmund空間相關的文獻[13-14].

2010年，李頌孝在文獻[5]中得到經典微分復合算子DCφ從Zygmund空間到Bloch空間的有界性和緊性的充要條件.我們討論二階微分復合算子D2Cφ，為推廣到一般廣義微分復合算子DmCφ作必要準備.

1 準備知識

定義微分復合算子：

2 引理

引理2.1[14]設f屬于Zygmund空間，則

引理2.2當n≥2時，單位圓盤上的解析函數f屬于Zygmund空間，則

證明類似文獻[4]中性質8，此處省略.

引理2.3設算子D2Cφ∶Z→B是有界算子，則D2Cφ是緊算子當且僅當對于任意的有界序列，當它在D上內閉一致收斂于0時，有

此引理為文獻[15]中引理2.10特殊情形.

3 主要結果及其證明

引理3.1設φ是單位圓盤D上的解析自映射，則為有界算子的充要條件是同時滿足以下三個條件

證明：充分性

必要性

因為D2Cφ是上的有界算子，則存在常數C，使得

由函數φ（z）的有界性及三角不等式，可得

因此，

由D2Cφ的有界性，可得

由上式，可得

結合不等式（8），條件（2）得證.

選取函數

由D2Cφ的有界性，可得

由上式得

結合不等式（7），則（3）得證.

選取函數

由D2Cφ的有界性，可得

從而

即（1）得證.

引理3.2設φ是單位圓盤D上的解析自映射，算子是緊算子的充要條件是算子D2Cφ有界，且同時滿足

證明：充分性

若算子 D2Cφ有界，且（9）、（10）、（11）成立，由假設可知，對于?ε＞0，則?δ∈（0，1），當時滿足

分別對A、B項進行估計，

應用（4）、（5）和（6）對 B 進行估計

由于當k→∞時，fk在D上的緊子集一致收斂到0，由柯西估值定理，k→∞時，在D上的緊子集K上有.因此，若k→∞時，ε任意小，我們得到

根據引理3.1.1，充分性得證.

必要性

若 D2Cφ是空間上的緊算子，顯然D2Cφ是有界算子，選取D上的點列{zk}k∈N使得當k→∞時，有，也就是，對任意的ε＞0，存在正整數N，使得當時k＞N，有.

選取函數族

即（3.10）成立.

選取函數

{gk}也是空間上內閉一致收斂于0的有界列，故由引理2.3得

所以

即（3.11）成立.

選取函數

{hk}也是空間上內閉一致收斂于0的有界列，由引理2.3得

由（10）、（11）、（12）式得

即（9）成立.

[1]NORDGREN E A.Composition operators[J].Canad J Math，1968，20：442-449.

[2]COWENJRCC，MACCLUER B I.Composition operators on spaces of analytic functions[M].Boca Raton：CRC press，1995.

[3]SHAPIRO J H.Composition operators and classical function theory[M].New York：SpringerVerlag，1993.

[4]ZHU K.Bloch type spaces of analytic functions[J].Rocky Mountain J Math，1993，23（3）：1143-1177.

[7]LONG J，QIU C，WU P.Weighted composition followed and proceeded by differentiation operators from Zygmund spaces to Bloch-type spaces[J].Journal of Inequalities and Applications，2014，2014（1）：152-163.

[8]SHI Y，LI S.Differences of composition operators on Bloch type spaces[J].Complex Analysis and Operator Theory，2017，11（1）：227-242.

[9]ZHOUZ，CHER.Onthecompositionoperatorson the Bloch space of several complex variables[J].Science in China Series A：Mathematics，2005，48：392-399.

[10]CLIFFORDJ H，ZHENG D.Composition operators on Bergman spaces[J].Chinese Annals of Mathematics，2003，24（4）：433-448.

[11]COUPETB.Decomposition atomique des espaces de Bergman[J].IndianaUniversityMathematicsJournal，1989，38（4）：917-941.

[12]HU Q，ZHU X.Compactgeneralized weighted composition operatorson the Bergman space[J].Opuscula Mathematica，2017，37（2）：303-312.

[13]YE S，HU Q.Weighted composition operatorson the Zygmund space[J].Abstract and Applied Analysis，2012，2012：1-9.DOI：10.1155/2012/462482.

[14]YES，LINC.CompositionfollowedbydifferentiationontheZygmundspace[J].Acta Mathematica Sinica，2016，59（1）：11-20.

[15]TJANI M.Compact composition operators on some Mobius invariant Banach spaces[D].Michigan：Michigan State University，1996.