多邊形的外角和與邊數無關性質的新證

毋桂萍

中學教材中在推導多邊形的內角和及外角和的計算公式時，一般采用下列步驟：

首先將一個n邊形分成（n-2）個三角形，從而得到n邊形的內角和為（n-2）180°。

再由相鄰外角與內角的互補關系得到n邊形的外角和恒為360°的結論，從而也間接地證明了多邊形的外角和與其邊數多少無關的這一重要性質。

但是，由上述方法得到的外角和性質，主要是通過代數演算而得到的，致使學生甚至一部分教師很難從幾何意義上徹底理解。為了向學生說明其幾何意義，老師們也絞盡腦汁地進行了多種探索，但終是沒能揭示其實質。下面舉兩種常見的解釋方法：

（1）外角變小說：如果一個多邊形的邊數增加，則一些內角便會增大，對應的外角就會隨之變小。這時雖然外角的個數增加，但由于一些外角變小，使得外角和保持不變。這種說法不能說明外角個數增加與外角度數變小之間的數量關系，因此缺乏說服力。

（2）繞圈說：以圖1為例：將鉛筆尖作為指向，鉛筆的另一端作為始點，先將鉛筆置于圖中多邊形的CD邊上，并沿線段CD指向D點。然后將鉛筆沿線段CD向D點滑移，使始點置于D點，再將鉛筆按逆時針方向旋轉到DE邊上并指向E點，此時鉛筆轉過的角度就是∠D的外角。用同樣的操作方法，將鉛筆的始點依次滑移到E、A、B、C各點并旋轉后會發現，鉛筆轉過的總的角度正好是多邊形的各個外角之和，而同時鉛筆也正好旋轉了一整周，即360°。于是得到多邊形的外角和恒為360°而與其邊數無關的結論。這一解釋方法，雖然形象直觀地直接得到了多邊形外角和的值，但絲毫沒有提及外角和與邊數之間的變化過程及其相互關聯，因此也不理想。

不過，值得一提的是，上述“繞圈法”的一個獨特作用是顛覆本文開頭提到的傳統教材中的“由內角和求外角和”的編排順序，改為由外角和求內角和：

設n邊形的各個內角分別為A1，A2，…An，由上面的繞圈法可知n邊形的外角和恒為360°，又由相鄰外角與內角的互補關系，便可以得到計算n邊形外角和的表達式為：

于是，得到n邊形的內角和的公式：

這便是由多邊形的外角和推得的熟知的多邊形的內角和公式。

特別地，當n=3時，就可以得到三角形的內角和為180°。

上述有趣的推證方法，還可以作為學生數學課外活動的內容。

下面給出筆者關于這一問題的純幾何證明方法。

定理：多邊形的外角和與其邊數無關。

證明：需要說明的是，中學教材中所說的多邊形，都是指簡單的凸多邊形，即各個內角均小于180°的簡單的多邊形。

首先看一種最簡單情況：假設多邊形只增加了一條邊，為保證增加一條邊后，多邊形仍是凸多邊形，我們可以過原多邊形的相鄰的兩個頂點，例如A、B兩點，畫一條外凸的弧線（不一定是圓弧），如圖2所示。在弧線上取一點P，連接PA、PB，此時若將P點作為多邊形的一個新頂點，則這個新的多邊形便比原多邊形多了一個頂點和一條邊，從而也就多了一個外角∠MPB。同時，原多邊形在頂點A和點B處的外角也由原來的∠RAB和∠SBA，分別變成∠RAP和∠SBP，分別減小了∠PAB和∠PBA的度數。

又由于∠MPB同時也是△PAB的外角，由三角形的外角定理可知：

∠MPB=∠PAB+∠PBA。

這個等式說明：新多邊形增加的那個外角∠MPB的度數，與原來多邊形的兩個外角∠RAB和∠SBA變成新多邊形的外角后減少的度數（即∠PAB+∠PBA）正好相等，兩者抵消后，使得新舊兩個多邊形的外角和相等。這就證明了當多邊形增加一條邊后，多邊形的外角和保持不變。

若再增加一條邊，證明的方法相同。就是說，不論多邊形增加多少條邊，其外角之和恒保持不變。（反之，若邊數減少，證明方法類似，只是順序相反。）

由于中學數學材中研究的是邊數有限的多邊形，所以，以上步驟就完成了定理的證明。（外角和的值恒為360°的推導，仍可用教材中的方法。）

以上證法的特點是，徹底揭示了問題的本質，即：當一個多邊形的邊數增加（或減少）時，新增（或減少）的那個外角的度數恰同與它相鄰的兩個外角減少（或增加）的度數之和相等而互相抵消，使得多邊形邊數的改變不會影響其外角和的值（只會影響其內角和的值）。此外，本證法還能從幾何圖形的直觀上看清楚外角之間隨著多邊形邊數改變的變化情況，使得這一長期困擾師生的難題得到徹底解決。

編輯 李博寧