基于擬合的亞像素邊緣檢測的算法比較

王楚+王亞剛

摘 要：針對傳統(tǒng)的邊緣檢測算法精度不高，提出了基于不同核函數的最小二乘擬合的亞像素邊緣檢測算法。采用Canny算子對圖像邊緣進行粗定位，再以基于梯度幅值擬合的高斯函數與基于灰度值擬合的反正切函數和雙曲正切函數作為擬合核函數，對一幅拍有標準量塊圖像的邊緣進行檢測，結果表明該算法能夠有效的進行亞像素邊緣檢測。

關鍵詞：亞像素邊緣檢測；Canny算子；最小二乘擬合；核函數

DOIDOI：10.11907/rjdk.172671

中圖分類號：TP312

文獻標識碼：A 文章編號：1672-7800（2018）002-0060-03

0 引言

目前圖像邊緣提取技術按照精度級別可分為兩類：一類是整像素級別；另一類是亞像素級別。整像素級別的檢測算法主要有 Sobel 算子、 Roberts 算子、LOG算子和Canny 算子等[1-3]，其中Canny算子效果最佳，但是此類算法定位精度差，易受噪聲干擾產生偽邊緣。20世紀70年代提出了亞像素級別的檢測算法，它主要有插值算法[4]、矩方法[5]和擬合算法[6]。插值算法復雜度高運算速度慢，矩方法運算精度僅低于擬合算法，但其穩(wěn)定性不高。擬合算法首先用Canny算子進行邊緣粗定位，然后找出邊緣的法線，在法線方向上，灰度值近似符合反正切函數和雙曲正切函數分布，梯度幅值近似符合高斯函數分布。

1 亞像素邊緣檢測原理

圖像處理理論表明，圖像實際邊緣的像素灰度在梯度方向上近似符合如圖1（a）所示的分布。1，2，3，4，5，6，7，8點的灰度值擬合分布圖像近似可以通過反正切函數或雙曲正切函數的平移和伸縮等基本變換得到。邊緣的準確位置即亞像素邊緣位置位于整像素點4與5之間，即灰度值變化率最大的位置。因此需要對有限離散點的灰度值進行擬合，然后找出擬合后曲線的一階導數等于零的位置，這個位置就是所要定位的亞像素邊緣位置。也可利用差分計算像素點位置的梯度幅值如圖1（b）所示，其分布圖像近似符合高斯函數圖像。對1，2，3，4，5，6，7點的梯度幅值進行最小二乘擬合，高斯函數的均值位置就是待定的亞像素邊緣位置。

2 亞像素邊緣擬合算法

2.1 高斯函數擬合算法

首先利用Canny算子進行邊緣粗提取，在給定的像素領域內按線性擬合，找出邊緣的切線方向，然后在邊緣切線的法線方向附近提取a，b，c，d，e，f，g，h，I，j，k等若干像素點的梯度幅值。如圖2所示，將這些像素點向法線投影得到的點作為待擬合點，以左下角的第一個像素點的投影點作為坐標原點，其它像素投影點到這個投影點的距離作為橫坐標x，梯度幅值作為縱坐標y，進行高斯曲線擬合[8-10]。

一維高斯函數表達式為：

其中，u為高斯曲線的均值，即對稱軸位置，σ為標準差。

對像素點4法線方向插值得到的離散梯度幅值進行高斯曲線擬合，得到的均值位置就是所要定位的亞像素邊緣位置。考察高斯函數會發(fā)現(xiàn)，直接對其擬合計算量較大，可以直接在其兩端取常用對數得到：

高斯曲線的極值點，即灰度值變換率最大的位置，即梯度幅值最大值位置為μ對應的位置。

2.2 反正切函數擬合算法

反正切函數[11]為：

圖像實際邊緣的灰度分布近似符合反正切函數，通過基本的圖像平移和伸縮變換就可以得到灰度分布函數，設變換后的函數為：

其中ω，A為伸縮因子，φ，m為平移因子。如圖2所示，a像素點的位置為坐標原點，邊緣切線方向為y軸，法線方向為x軸，將這些像素點向法線投影，以左下角的第一個像素點即a的投影點作為坐標原點，其它像素投影點到a點投影點的距離作為橫坐標x，像素點的灰度值作為縱坐標y，以式（9）作為擬合核函數，通過最小二乘擬合算法，求得A，ω，φ，m。

通過上述中的理論得知，亞像素邊緣位于灰度值變化率最大的位置，對其求一階和二階導數得到：

從式（10）可知，灰度值變化率最大位置和拐點位置重合，位于反正切函數x=-φω位置，此位置即是亞像素邊緣位置。

2.3 雙曲正切函數擬合算法

雙曲正切函數[12]為：

圖像實際邊緣的灰度分布近似符合雙曲正切函數，通過圖像基本的平移和伸縮變換就可以得到近似的灰度分布函數，設變換后的函數為：

其中，ω，A 為伸縮因子，φ，m為平移因子。如圖2所示，a像素點的位置為坐標原點，邊緣切線方向為y軸，法線方向為x軸，將這些像素點向法線投影，以左下角的第一個像素點的投影點作為坐標原點，其它像素投影點到這個投影點的距離作為橫坐標x，像素點的灰度值作為縱坐標y，以（12）式作為擬合核函數，通過最小二乘擬合算法，可以求出A，ω，φ，m。通過上述中的理論得知，亞像素邊緣位于灰度值變化最大的地方，對其求一階和二階導數得到：

從式（13）可知，灰度值變換率最大位置和拐點位置重合，位于雙曲正切函數x=-φω位置，此位置即是亞像素邊緣位置。

3 評價試驗

3.1 評價方法

用一幅拍有標準量塊的圖片（192×210）對上述算法進行評價，如圖3所示，檢測如圖所示的矩形框標記的亞像素邊緣位置，利用matlab2014a 實現(xiàn)上述三種算法。

先利用標準差為0.5的5×5的高斯濾波模板對量塊圖進行濾波，然后采用Canny算子進行邊緣粗提取，邊緣定位在29列像素點附近位置。對29列像素點在法線方向的12個像素點的梯度幅值進行擬合，然后對29列像素點在法線方向的13個像素點的灰度值進行擬合，如圖4（a）、（b）、（c）所示。

3.2 實驗數據和評定結果

如表1（a）、（b）、（c）所示，R-Square項為確定系數[13]，其表征擬合效果的好壞，其數值越大擬合效果越好；Value項為擬合參數，Standard Error項為參數標準差，標準差越小擬合效果越好。xc為高斯函數的均值位置，b，c代表上文中的ω，φ。對于基于梯度幅值的高斯函數擬合，亞像素邊緣位置位于高斯函數均值位置。由表1知該位置即是xc。對于基于灰度值的反正切擬合和雙曲正切擬合，亞像素邊緣位置位于x=-cb。高斯函數，反正切函數和雙曲正切函數擬合定位的亞像素邊緣位置分別位于7.126，7.356和7.042個像素點位置。根據確定系數，參數標準差和定位位置綜合判斷得出結論，此三種擬合方法均能達到亞像素邊緣檢測的目的，高斯函數擬合效果較好，反正切函數效果好，雙曲正切函數擬合效果一般，三種算法的評定結果如表2所示。endprint

4 結語

根據邊緣灰度值和邊緣梯度幅值的分布特性，對一幅灰度圖像首先利用 Canny算子進行邊緣粗定位，然后以高斯函數，反正切函數和雙曲正切函數三種函數作為擬合核函數，定位亞像素邊緣位置，該擬合算法能夠達到亞像素邊緣檢測的目的，具有精度高、抗噪聲等優(yōu)點，在立體視覺定位[14]和工業(yè)影像測量[15]中具有重要作用。

參考文獻：

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