一種Wollaston式偏光棱鏡分束特性的研究

楊敬順，韓培高*，閆玉甫，吳福全，郝殿中

(1.曲阜師范大學 山東省激光偏光與信息技術重點實驗室，曲阜 273165； 2.曲阜師范大學 物理工程學院 激光研究所，曲阜 273165)

引 言

隨著偏光技術以及激光應用的快速發展，各種偏光分束器件得到了越來越廣泛的應用，其中Wollaston棱鏡是最典型的也是目前應用和研究較廣泛的偏光分束棱鏡[1-4]。由于Wollaston棱鏡被分束的o光、e光均發生偏折，具有較大的分束角[5-7]，因此在航空、醫療以及環境監測等領域都有著重要應用[8-12]。傳統Wollaston棱鏡由光軸相互正交的冰洲石晶體組成。研究表明，傳統Wollaston棱鏡分束角并不具有完全的對稱性，且隨著結構角的增大，分束角的不對稱性越來越明顯[13-15]。但在某些特殊的偏光技術應用中，要求分束角嚴格對稱[16]，這是傳統Wollaston棱鏡所不能滿足的。ZHANG等人提出了一種修正式Wollaston對稱分束棱鏡[17]，此棱鏡不僅結構簡單，而且可以實現對稱分束。本文中針對這種對稱分束棱鏡，討論了其出射的o光、e光分束角與棱鏡結構角和修正角的關系、光強分束比隨結構角的變化以及入射角變化對棱鏡分束角和出射光對稱性的影響，為該棱鏡的設計和應用提供了理論指導。

1 Wollaston式對稱分束棱鏡基本原理

Wollaston式對稱分束棱鏡結構以及分光光路圖如圖1所示。圖中，1、2、3分別表示光線經過棱鏡時的3個界面，S為棱鏡的結構角；雙箭頭以及圓點表示晶軸的方向；θ1和θ2分別為第2塊方解石晶體中o光和e光與水平方向的夾角；φ1和φ2分別是o光和e光與水平方向的夾角。為了實現對稱分束，在傳統Wo-llaston棱鏡結構的基礎上，對棱鏡的出射端面3進行角度為Δφ的修正，使得φ1=φ2。這里，把Δφ稱為修正角，φ1和φ2分別稱為o光分束角和e光分束角。這種設計既保證了棱鏡的對稱分束，同時也保證了棱鏡有較大的分束角。

Fig.1 Schematic of optical path of Wollaston-type symmetric beam-splitting prism

2 o光、e光分束角及修正角與結構角的關系

如圖1所示，由于入射光垂直入射到界面1，光軸和入射光垂直，因此o光、e光將以不同的相速度沿入射光方向同向傳播。其中，o光和e光分別垂直于主截面(紙面)和平行于主截面振動。光線進入第2塊晶體時，由于光軸方向垂直于紙面，因此在通過界面2后，第1塊晶體中的o光、e光將分別變為e光、o光。最后，在界面3處，o光、e光分別以φ1+Δφ和φ2-Δφ的折射角出射。

根據折射定律，在修正面3處有：

(1)

其中：

(2)

式中，no,ne分別為o光和e光在晶體中的主折射率。作者選取入射光波長λ=632.8nm，no=1.658，ne=1.486。將(2)式分別帶入(1)式可得到o光、e光分束角關于結構角S和修正角Δφ的關系，如圖2所示。

Fig.2 Relationship among splitting angle of o light and e light, structure angle and deviation angle

由圖2可知，當修正角Δφ=0時為傳統Wollaston棱鏡，此時φ2和φ1隨棱鏡結構角的增大而增大，且總有φ2>φ1。在棱鏡結構角大于20°以后，φ1和φ2的差值逐漸變大，棱鏡的對稱分束性能也越來越差。圖2中兩曲面重合曲線表示當實現對稱分束，即φ1=φ2時，修正角隨結構角的變化關系，可見當實現對稱分束時，隨著棱鏡結構角增大，修正角也要增大。通常情況下一般選取Wollaston棱鏡的結構角在20°～40°之間，相應的修正角在0.05°～0.97°之間變化。

3 光強分束比與結構角的關系

由圖1可知，出射的o光和e光分別經過了界面1、界面2和界面3，把第1塊棱鏡中的o光稱為第1束光，第1塊棱鏡中的e光稱為第2束光。

其中第1束光振動方向垂直于入射面為s振動，根據菲涅耳公式，其在各界面的強度反射系數為：

(3)

式中，當i=2時,第1束光在第2個界面對應的折射角和反射角分別為A2=θs,2,B2=S;當i=3時，第1束光在第3個界面對應的折射角和反射角分別為A3=φ2-Δφ,B3=θ2-Δφ;θs,2和n分別為第1束光在界面2處的折射角和空氣折射率。

設入射自然光光強I，Wollaston式對稱分束棱鏡的e光透射光強為：

(5)

對于第2束光其振動方向在入射面內為p振動，同理可得：

(6)

式中，當i=2時，第2束光在第2個界面對應的反射角和折射角分別為C2=S,D2=θp,2;當i=3時，第2束光在第3個界面對應的反射角和折射角分別為C3=θ1+Δφ,D3=φ1+Δφ;θp,2為第2束光通過界面2的折射角。

結合折射公式可得e光、o光的光強分束比F=Ie/Io，F隨結構角變化的曲線如圖3所示。由圖可見：在實現對稱分束時，棱鏡的光強分束比在0.98以上，且分束比隨結構角的變化幅度不明顯。

Fig.3 Relationship between intensity radio and structure angle

4 出射光對稱性與入射角和結構角的關系

4.1 e光分束角

圖4中S是棱鏡結構角，α,β分別為光線在界面1處的入射角和o光折射角，i2,γ為o光在界面2處的入射角和折射角，i3,φ2-Δφ為e光在出射端面3處的入射角和折射角。當第1束光線入射到棱鏡后，在界面1、界面2、界面3處，利用折射定律可得到下列關系式：

(9)

聯立(9)式，可得到第1束光即出射光e光分束角φ2與結構角S和入射角α的關系。

Fig.4 Optical path of the first light beam under non-vertical incidence

4.2 o光分束角

如圖5所示建立空間坐標系，以第1塊晶體的光軸方向為y軸正方向，以第2塊晶體光軸方向為x軸正方向，z軸沿水平方向。其中α為光線入射角；ek,es分別代表e光波波矢方向單位矢量和e光線方向單位矢量；θk為e光波波矢方向與界面1法線的夾角；θk,s為離散角，即e光波波矢ek和e光線es的夾角；θ2,e,θ2,o分別為e光波在界面2處的入射角和折射角；θ3,o,φ1+Δφ分別為o光在出射端面3處的入射角和折射角。

Fig.5 Optical path of the second light beam under non-vertical incidence

(10)

e光波矢可表示為：

(11)

對于e光，其折射率大小與波矢量和光軸夾角θk,p有關，即:

(12)

在界面1處根據折射定律有：

(13)

聯立(10)式、(11)式可得:

cosθk,p=ek·ep=-sinθk(14)

將(14)式代入(13)式中，可得：

(15)

由圖5可知，e光波在界面2處和界面3處的入射角分別為θ2,e=θk+S和θ3,o=S-θ2,o+Δφ，在界面2和界面3處，由折射定律可得：

ne′sinθ2,e=nosinθ2,o(16)

nosinθ3,o=nsin(φ1+Δφ)(17)

結合(14)式～(17)式，可得o光分束角φ1與結構角S和入射角α的關系。

4.3 棱鏡分束特性與結構角和入射角的關系

定義m=φ1-φ2為出射光束的不對稱度，φ=φ1+φ2為棱鏡分束角，則m越大表示棱鏡對稱分束性能越差，φ越大表示棱鏡分束性能越好。結合(12)式～(17)式，可得棱鏡分束角φ、出射光線不對稱度m隨結構角S和入射角α的變化關系，如圖6所示。

Fig.6 a—relationship among splitting angle, structure angle and incident angle b—relationship among asymmetry degree, structure angle and incident angle

由圖6可知：修正式Wollaston棱鏡分束角隨棱鏡結構角的增大而增大，但隨入射角的變化不明顯。當棱鏡結構角S=30°，光線入射角從-3°～+3°變化時，棱鏡分束角變化約為0.01°，可見入射角的輕微變動對分束角的影響可以忽略；相反，棱鏡兩出射光線的不對稱度m受入射角變化影響較大，但隨結構角的變化很小。可以看出，光線分別以正角度和負角度入射時，不對稱度的變化近似關于入射角為零時對稱，當入射角在-3°～+3°之間變化時，兩出射光線的不對稱度小于6°。

5 結 論

基于折射定律和菲涅耳公式，對一種修正式Wollaston對稱分束棱鏡的分束特性進行了研究。理論分析表明：棱鏡出射的o光、e光與水平方向夾角主要取決于棱鏡結構角，受棱鏡修正角影響較小；當棱鏡結構角在20°～45°之間時，相應的修正角在0.05°～0.97°之間變化，棱鏡的光強分束比保持在0.98以上，且分束比隨結構角的變化幅度很小；以小角度入射時，入射角主要影響出射光束對稱性，當入射角在-3°～3°之間變化時，兩出射光線的不對稱度小于6°，可以保證較好的對稱分束效果。

[1] YAO H T, LI G H, PENG H D,etal. The splitting angle and light intensity ratio of Wollaston prism within its viewing field angle[J]. Journal of Qufu Normal University, 2008, 34(2): 51-54(in Chinese).

[2] MA L L, SONG L K, WU F Q. Design of parallel and symmetric beam splitting prism based on Wollaston prism[J]. Optical Technique, 2003, 29(5): 602-603(in Chinese).

[3] ZHU H F, SONG L K, WANG X M. Study about splitting intensity ratio of a prism with variable beam splitting angle[J]. Optical Technique, 2003, 29(5):614-616(in Chinese).

[4] ZHU H F, HAN R F, GUO W T,etal. Analysis of optical properties of Wollaston-type parallel-splitting prism[J]. Acta Photonica Sinica, 2013, 42(9):1118-1122(in Chinese).

[5] ZHAO K H, ZHONG X H. Optics(Ⅱ)[M]. Beijing: Peking University Press, 1984: 182-183(in Chinese).

[6] DENG H Y, WU F Q, TANG H J. The spectral properties of the splitting angle for Wollaston prism[J]. Laser Journal, 2005, 26(4): 42-43(in Chinese).

[7] ZHANG Ch M. Interference imaging spectroscopy[M]. Beijing: Science Press, 2010: 47-49(in Chinese).

[8] ZHANG Ch M, ZHAO B Ch, XIANG L B,etal. Wide-field-of-view polarization interference imaging spectrometer [J]. Applied Optics, 2004, 43(33): 6090-6094.

[9] LIU J, JIN W Q, WANG Y H,etal. Design of simultaneous imaging polarimetry with double separate Wollaston prism[J]. Acta Optica Sinica, 2015, 35(5): 0511001(in Chinese).

[10] LIN X, ZHOU F, LI H,etal. Static Fourier-transform spectrometer based on Wollaston prism[J]. Optik—International Journal for Light and Electron Optics, 2014, 125(14):3482-3484.

[11] KUDENOV M W, MISKIEWICZ M, SANDERS N,etal. Achromatic Wollaston prism beam splitter using polarization gratings[J]. Optics Letters, 2016, 41(19):4461-4463.

[12] WU H Y, ZHANG Ch M, ZHAO B Ch. Theoretial analysis on extending the field-of-view of the imaging spectrometer based on combined Wollaston prisms[J]. Acta Physica Sinica, 2009, 58(2): 930-935(in Chinese).

[13] HUANG J Y, WU F Q, LI G H. Symmetry of beam splitting angle for uniaxial crystal prism[J]. Laser Technology, 1996, 20(2): 104-107(in Chinese).

[14] HUANG J Y, WU F Q. The study about design and measure of uniaxial crystal prism with excellecent symmetry of the beam splitting angle[J]. Journal of Optoelectronics·Laser, 1995, 6(4): 211-215(in Chinese).

[15] LI G H, WU F Q, YU D H. Study of asymmetry of beam splitting angle for polarization beam splitting prism[J]. Journal of Applied Optics, 1991, 12(4): 21-25(in Chinese).

[16] MENG F H, SONG L K, KONG F Zh,etal. A new symmetric beam-splitting polarization prism[J]. Laser Technology, 2006, 30(6): 670-672(in Chinese).

[17] ZHANG X, WU F Q, PENG H D,etal. Symmetric beam splitting prism based on Wollaston prism[J]. Laser Journal, 2008, 29(1): 21-22(in Chinese).

[18] SHEN W M, SHAO Zh X. Dispersion between ordinary ray and extraordinary ray in unisxial crystals for any orientation of optical axis[J]. Acta Optica Sinica, 2002, 22(6):765-768(in Chinese).

[19] WU L, ZHANG Ch M, YUAN Y,etal. Exact calculation of the lateral displacement and optical path difference of savart polariscopes[J]. Acta Optica Sinica, 2005, 25(7):886-889(in Chinese).

[20] LIAO Y B. Polarization optics[M]. Beijing: Science Press, 2003:71-79(in Chinese).