單元再建構：在知識結構中教與學
——以“等腰三角形”單元教學實踐為例

■施俊進

一、問題的提出

在當前的初中數學教學現狀中，教師更多的是先教單課，而后再利用單元復習等，來對前面的學習過程進行總結、歸納、提升，走的是“先分后總”的歸納之路，行的是“先樹木，后森林”的邏輯程序。這種教學的弊端是顯而易見的——學生難以把多個“單體”的“知識點”有機地聯系起來，每一個知識點都是一個零碎的“原子”，呈碎片化狀態，很不利于識記、理解、運用，也難以讓學生較好地“帶得走”。

建構主義認為學習的本質是個體積極主動的自主建構過程，學習的內容不僅包括非結構性知識，而且包括結構性知識（結構性知識是喬納森劃分的學習類型之一，指習得概念或命題的多樣性而又相互關聯的網絡）。而處于某種聯系中的知識往往能讓學習者實現一種“情境記憶”，它實際上處于一種框架式的或者聯系式的記憶之中，記住一點就能帶出許多，這樣的學習就是真正的“活”的學習。

二、在結構中教與學

“結構決定功能，結構決定效率”“結構一變，活水自然來”。對數學教材進行“再建構”，它所引發的教學功能是不可小覷的。管理學大師熊彼特將“生產要素的重新組合”稱為“建立新的生產函數”，還視之為創新的根本。“單元再建構”就是相關的“生產要素的重新組合”。“萬變不離其宗”，還是要在“生產要素的重新組合”上發力，在“單元再建構”上做文章。

例如，學習“等腰三角形”（北師大版《義務教育教科書·數學》八年級上冊）時，按常規教學，是將等腰三角形的內容分四課時進行（依次為等腰三角形的性質、性質的運用、等邊三角形和等腰三角形的判定），最后復習（綜合應用）。這是先讓學生學習“部分”，而后到“整體”的方法。這是根據北師大版“螺旋式”上升的特點，逐步將學生的推理能力由合情推理上升為演繹推理。

尤其是“等腰三角形”第一課時，先證明“兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等”，再根據全等三角形的定義得到“全等三角形的對應邊相等、對應角相等”，然后再研究等腰三角形性質的證明。

顯然，這樣的做法是“教教材”，而不是“用教材教”。首先，全等三角形的判定方法“AAS”和性質放在此處，明顯將全等三角形的知識體系割裂開來，不利于學生在整體上掌握全等三角形；其次，在研究等腰三角形時，花一定的時間具體研究全等三角形的判定和性質，必然會沖淡主題（等腰三角形）；第三，就知識而言，學生在小學就已知道等腰三角形的定義及相關概念，在七年級時，已經通過折紙的方式，知道了等腰三角形的性質和等邊三角形的性質；第四，就能力而言，學生已初步掌握證明的基本方法并且具有初步的演繹推理能力（證明了平行線中的相關結論），而“等腰三角形”這一節的證明都是基本要求，難度不大。

2017年12月25日，在蘭州市實驗區李庾南“自學·議論·引導”教學法實驗工作推進會中，筆者執教了“等腰三角形”一課?？紤]到“等腰三角形的知識結構”，即“研究幾何圖形的基本套路”（定義、表示、性質和判定），筆者采用了反常規的教學方法，首先幫助學生建立知識體系框架，即形成“整體”知識，后續再讓學生站在知識“整體”的高度，自主而深入地研究知識整體的各個“局部”，根據以下教學目標重新組織了教學內容，取得與會專家的高度評價。

教學目標：（1）在利用實驗操作獲得對等腰三角形性質的感性認識的基礎上，通過推理論證培養學生的科學精神，提高推理論證能力；（2）經歷等腰三角形的性質和判定的證明與探索過程，豐富學習感受，激發學習興趣。

顯然，教學重點是等腰三角形的性質、判定的證明和數學化（用符號表示）；教學難點是將實驗操作獲得的感性認識進行理性概括。

具體教學過程（簡略）是這樣的：

環節一 起始階段

師：（1）認識這兩個幾何圖形吧？它們有什么區別？（2）什么樣的三角形叫作等腰三角形？如何用符號表示？

追問：你知道“有兩邊相等”是什么意思嗎？“有兩邊相等”與“只有兩邊相等”有何不同？

意圖：采用全班學習的形式，通過與一般三角形對比，不僅揭示等腰（邊）三角形的圖形特征，而且滲透三角形的分類，明確研究的對象（等腰三角形和等邊三角形），為進一步研究等邊三角形的性質打好伏筆。

環節二 探究階段

師：等腰三角形作為三角形，具有一般三角形的一切性質。具有哪些性質？因為等腰三角形的邊有特殊的數量關系（相等），那么大家已經知道等腰三角形有哪些特殊的性質了吧？

追問：大家是怎么知道等腰三角形的這些特殊性質的？

生1（展示并講解）：將等腰三角形紙片對折后，折痕兩側部分完全重合，兩個底角也完全重合，說明等腰三角形是軸對稱圖形，而且等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）；頂角、底邊在折痕兩側部分也完全重合，說明折痕既是頂角平分線，又是底邊上的中線；而折痕與底邊組成的兩個角也完全重合，就是相等，又因為它們拼成了一個平角，所以都是直角，那么折痕也是底邊上的高，所以三線合一。

師：折紙是實驗操作。通過折紙，我們發現了這些命題。那么這些命題到底成立不成立呢？是不是所有的等腰三角形的兩個底角都相等？你是如何判斷將等腰三角形對折后兩邊能完全重合的？實驗操作得到的結果是不是一定成立呢？

生（全體）：不一定成立。要證明！

師：實驗操作得到的命題不一定成立，我們必須通過推理的方法，從“兩腰相等”這個條件出發，有理有據推出這些結論。

意圖：通過個人學習（回顧“知道了什么”，提取頭腦中的知識鏈，即回顧由實驗得到的等腰三角形的性質）、全班學習（交流“怎么知道的”，即交流、概括實驗與推理的關系），讓學生的注意力迅速高度集中，明確研究的具體內容，提高學生自主獲取、自主建構、自我發展、自我超越的熱情和能力。

環節三 推理論證階段

師：如何證明“等腰三角形是軸對稱圖形”“等邊對等角”和“三線合一”？這些命題的題設和結論分別是什么？請結合圖形，說出“已知”和“求證”分別是什么？（學生在獨立思考后，再小組交流，最后全班交流）

生2：作頂角平分線AD，則可證明△ABD≌△ACD（SAS），說明將等腰三角形紙片沿頂角平分線AD對折后，折痕兩側部分完全重合，所以等腰三角形是軸對稱圖形；同時由全等三角形的性質可知∠B=∠C，BD=CD，∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°，從而AD既是底邊上的中線，又是底邊上的高。

師：你們是怎么想到這種方法的？

生3：我們在折紙時發現那折痕就是等腰三角形的頂角平分線。

師：折紙（實驗操作）不僅讓我們發現了命題，而且為我們提供了證明思路。還有什么方法可以得到以上的結論？

生4：作底邊上的高AD，則可證明△ABD≌△ACD（HL）……

生5：作底邊上的中線AD，則可證明△ABD≌△ACD（SSS）……

說明：構造全等三角形，再利用全等三角形的性質證明了等腰三角形的這些性質。這為我們以后證明邊和角相等提供了新的理論依據。

意圖：采用先個人學習，再小組學習，最后全班學習的形式，學生在個人學習的基礎上，自由地發表見解，交流討論，拓展探究，按照“如何證明軸對稱性質→須證被某直線分成的兩三角形全等→怎樣構造這個三角形→全等的理由→推理過程”的思路進行推理論證，獲得了等腰三角形性質的知識結構，提升了學生自主學習、主動學習和自覺學習的深度和廣度。同時讓學生明確實驗操作只是發現了命題（或提供了證明的思路），但命題是否正確必須要根據條件有理有據地推出結論，培養了學生科學的學習態度和科學精神。

環節四 歸納總結階段

師：如何用符號語言表示等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）？

生6：△ABC中，∵AB=AC，∴∠C=∠B。

師：就是將上面的“已知”與“求證”分別改為“∵”和“∴”，以后可直接使用，不必再構造全等三角形并且證明三角形全等了。通過以上的證明，我們發現命題“三線合一”包含了哪幾個命題？也就是說，AD具備哪些性質就必定具有其他性質？請大家用符號表示。（學生獨立思考后，全班交流。）

生7：△ABC中，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC于D，BD=DC。這表明等腰三角形的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上的高。

生8：△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴BD=DC，AD平分∠BAC。這表明等腰三角形的底邊上的高既是底邊上的中線，又是頂角平分線。

生9：△ABC中，∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC于D，AD平分∠BAC。這表明等腰三角形的底邊上的中線既是底邊上的高，又是頂角平分線。

意圖：通過全班交流（適時小組學習），歸納總結等腰三角形的性質（研究性質定理的題設和結論以及符號表達，即將性質數學化），尤其將“三線合一”性質細化為三個命題，進一步深化對性質的理解，為正確運用性質奠定基礎。

環節五 完善對等腰三角形性質的認識階段

師：三邊都相等的三角形是等邊三角形，那么等邊三角形有什么性質呢？

生10：和等腰三角形一樣，等邊三角形也是軸對稱圖形，兩底角也相等，也就有“三線合一”性。

生11：等邊三角形的三個內角都相等，并且都是等于60°。

師：你是怎么得到的？

生 12：∵AB=AC，∴∠C=∠B；∵AC=CB，∴∠A=∠B，∴∠A=∠B=∠C，又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°。

師：大家能具體說下等邊三角形“三線合一”性質嗎？（學生獨立思考后，再全班交流）

生13：等邊三角形的任一邊上的高、中線和該角平分線相互重合。

生14：等邊三角形的任一角的平分線和該角對邊上的高、中線相互重合。

師：“等邊對等角”是指在同一個三角形中，由邊相等可以轉化為角相等，由此你想到了什么？

生15：我想到了“等角對等邊”。

師：你是逆向思考。“等角對等邊”具體是什么意思？如何證明？

（眾生靜思）

師：要判定一個三角形是等腰三角形，只能根據等腰三角形的定義，這就是說：已知∠B=∠C，證明△ABC的兩邊相等（即AB=AC）。如何證明AB=AC呢？

生16：構造全等三角形，如圖，作輔助線AD。

師：要證明△ABD≌△ACD，已經具備什么條件，還要增加什么條件？

（學生先獨立思考，再小組交流，最后全班交流）

生17：要證明△ABD≌△ACD，已經具備一邊AD和一角∠C=∠B，若增加條件：AD平分∠BAC，根據“AAS”可證，從而得AB=AC。

生18：若AD是BC邊上的高，根據“AAS”可證，從而得AB=AC。

生19：若AD是BC邊上的中線，卻不能證明△ABD≌△ACD，因為這是“SSA”，不能判定三角形全等。

師：“SSA”不能判斷三角形全等，在這里是可以證明△ABD≌△ACD的，但需要證明三次三角形全等，留給大家課后思考。通過猜想、證明，我們得到等腰三角形的判定定理“有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）”，請大家用符號語言表示。（生答：△ABC中，∵∠C=∠B，∴AB=AC）

師：剛才我們由“等邊對等角”逆向思考，想到了“等角對等邊”，說明了在同一個三角形中，相等的邊和相等的角可以相互轉化。由“等邊對等角”，你還能想到什么呢？

生20：我想到“大邊對大角”。

……

師：是否正確？若正確，如何證明？留給大家課后思考。

意圖：采用個人學習、全班學習的方式，引導學生回到等邊三角形的定義，說出等邊三角形的性質，完善了對等腰三角形的性質的認識。通過“由等邊對等角，你想到了什么？”引導學生積極思考，不僅得到同一個三角形中，“等邊=等角”，拓展了知識結構，而且思維跳躍到延學內容“大邊=大角”。

環節六 反思總結階段

引導學生圍繞問題思考：（1）我們是如何研究等腰三角形的？（2）在研究的過程中，體會到哪些重要的學習經驗或學習方法？

師生共同總結：（1）通過實驗操作只是得到命題或提供命題的證明思路。為此，用推理的方法，由條件有理有據地推出結論；（2）一般研究幾何圖形的內容為定義、表示法、性質和判定；（3）等腰三角形的“等邊對等角”和“等角對等邊”就是將同一個三角形中邊的相等關系與角的相等關系相互轉化。

環節七 課外作業

1.閱讀教材，完成教材隨堂練習。

2.在△ABC中，AB＞AC，求證：∠C＞∠B。

3.在△ABC中，∠B=∠C，AD是BC邊上的中線。求證：AB=AC。

附：板書設計。

三、對“單元再建構”的幾點思考與說明

1.“學材”，簡單地說就是學習材料，或者說是學習資源。

這些“學材”都是在一段時間內相對穩定的、靜態的、可視的學習材料。實際上“學材”還包含在某段時間內會發生變化的、動態的、隱蔽的學習材料。如學生的學習經驗、教師的教學情感、教學經驗，學生的學習態度、師生關系等。課堂教學中如何用好那些會發生變化的、動態的、隱蔽的學習材料（尤其是學生的學習經驗），對“學生所學的知識能夠實現結構化”起著重要的作用。

2.“單元再建構”是“學材再建構”的基本表現形式，就是根據數學知識發生的規律及其內在聯系、學生學習的基礎與可達到的高度以及思維發展能力，將學材分為單元或知識模塊，分課時實施，以從整體上達成教學要求，優化思維品質，習得學習方法，陶冶生命情操。

這樣的“單元再建構”（將研究幾何圖形的內容“定義、表示法、性質和判定”作為一個單元）的本質就是將相關知識點納入一個結構或框架中，使習得的知識結構化、能力結構化。（結構性能力是指一種個體或組織的綜合能力、整合能力，并且是結構性的、體系性的綜合能力）當然，每個單元是更大結構中的點或小截面。顯然，單元再建構不只是教師的行為，學生更應成為單元再建構的主體。這樣，才能直抵數學核心素養。（整體建構知識之間的關系，發展數學學力）

3.學材、學生決定學法，學材、學法影響生成。

把等腰三角形的“定義、表示法、性質和判定”作為一個單元（結構）進行教學（“單元再建構”），是因為學生已經知曉這些知識內容。只不過如何實現從實驗走向推理論證，同時通過推理論證培養學生的科學精神，提高推理論證的能力（學生已經具備演繹推理的基本能力），這是“建構”的目的。顯然，通過“單元再建構”，保證了教學或課程資源的豐富；同時根據學習內容和學生在學習過程中的實際反應，有機、靈活、交替地運用個人學習、小組學習、全班學習的形式（可以直接進行全班學習交流，也可以個人學習后直接進行全班學習交流）來實現自主學習和合作學習。

根據學習內容，靈活而交替地運用“個人學習、小組學習、全班學習”的形式，保證了教學形式的活潑、教學結構的靈活、教學氛圍的民主和活躍；同時保證了“生成是學生自己的事”?？紤]到“等邊=等角”是反映同一個三角形中邊角之間相等的轉化關系的，在客觀世界中“相等”與“不相等”關系是普遍存在的，有時“相等”與“不等”之間既對立又可以相互轉化，再加上“等邊=等角”是證明“大邊=大角”的理論依據，安排延學“大邊=大角”，既作為“等邊對等角”的應用，又是對學生滲透“對立統一”“矛盾轉化”等辯證唯物主義觀點的教育，同時完善了等腰三角形的知識結構。為此，通過“由等邊對等角，你想到了什么？”引導學生積極思考，不僅得到同一個三角形中“等邊=等角”，拓展了知識結構，而且思維跳躍到延學內容“大邊=大角”。這樣重在生成知識，生成技能，生成思想方法，生成智慧，生成情感，生成學力，它們最終都指向于“學力有提升”。

“單元再建構”就是把割裂的、碎片化的知識有效地連接起來，把問題解決的關鍵或問題的實質揭示出來，使學生不僅知其然，而且知其所以然，知道知識之間的聯系，學生生成的不僅是知識和技能，而且還有方法和能力，更有情感和素養?！皢卧俳嫛本褪恰霸诮Y構之中教知識”，或者說“讓學生所學的知識能夠實現結構化”，這顯然是數學教學涵育學生核心素養的重要方向和主要途徑。這就像是一串串的葡萄，因為有葡萄藤在起串聯作用，拎起來就不是一顆一顆的葡萄，而是一串串的、可以輕松“帶得走”的葡萄。

本文系江蘇省教育科學“十三五”初中專項重點資助課題“初中數學‘學材再建構’研究”（課題編號：E-a/2016/06）研究成果之一。

［1］李庾南.“自學·議論·引導”教學法［M］.北京：人民教育出版社，2013（7）.

［2］李庾南，陳育彬.中學數學新課程教學設計30例［M］.北京：人民教育出版社，2007（6）.

［3］施俊進，徐小建.例談初中數學“學材再建構”實施策略和原則［J］.數學教學通訊（中旬），2017（4）：5-8.

［4］施俊進.“學程單”：優化“學”的智慧追求［J］.江蘇教育（中學教學），2017（2）：51-53.

［5］施俊進.初中數學“學材再建構”研究初探［J］.學校管理，2016（6）：38-39.

［6］施俊進.“單元再建構”：章節起始課教學的實施智慧——《不等式及其解集》教學實踐與反思［J］.教育研究與評論，2017（11）：36-41.

［7］施俊進.注重知識本質 追求適合的教學深度——“相交線（一）”的教學實踐與反思[J].中國數學教育，2015（7-8）：52-57.