淺談如何在解決問題中培養學生的畫圖策略

廣西南寧市云景路小學（530028） 藍 青

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確指出：“幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”這里的“幾何”主要是指圖形，“直觀”是指將復雜、抽象的問題變得簡明、形象。由此可見，畫圖可以幫助學生直觀地理解數學。人教版教材雖然沒有設立專門的系統教學畫圖策略的單元，但從整體編排上來看，教材內容中還是有清晰的畫圖策略的教學線索，即：實物圖—示意圖—線段圖（或其他較為抽象的圖示）。這遵循了學生的認知規律，引導學生經歷了“具體—表象—抽象”的認知過程，使學生的思維從具體操作的形象思維逐步過渡到符號、圖標的抽象思維。那么，教師應如何整體把握教材中的畫圖策略，逐步將策略顯性化，使學生在解決實際問題的過程中能夠自覺地運用畫圖的策略呢？

一、注重誘導學生形成畫圖思維

【教學片段一】二年級下冊“兩步計算解決問題”。

圖1

師：（出示圖1）為了快速地理解題意，我們可以畫圖表示。誰能用圖來表示90個面包呢？

生1：畫90個圓圈。

生2：畫一個大的圓形，里面寫“90個面包”。

師：哪種方法既快速又簡便地表示出了90個面包？

生3：生2的方法。

師：那么，老師用一個長方形來表示90個面包。（出示長方形圖）已烤的36個面包應占這個長方形的多少呢？

（師生討論得出：已烤的面包比90個面包的一半少一些，用灰色表示已烤的36個面包）

師：剩余部分表示的是什么呢？

生4：表示剩下還有多少個面包沒烤。

師：剩下的面包要怎么烤？

生5：每次烤9個。

通過討論，得出完整的示意圖（如圖2）。

圖2

【反思】教師如果直接出示圖2，學生屬于被動接受，理解起來就有困難。因此，教師設計了教學沖突——一個一個地畫90個面包的表示方式太麻煩了，促使學生產生想要畫簡便示意圖的內在需求。圖2很好地展示了解決問題的過程：要求出剩下的還要烤幾次，就需要先求出剩下的有多少個這一中間問題。畫圖策略的應用培養了學生分析問題的能力，讓學生理解和掌握當遇到要解決兩步計算的問題時，應該如何思考，思考的順序是什么。教師只有在學生思維的困惑處點撥，引領學生通過自主探索，提煉出解決問題的策略，才能最終達到知識的內化。

二、幫助學生體會畫圖策略的價值和作用

【教學片斷二】三年級下冊“數學廣角——集合”。

圖3

師：（出示圖3）如何表示出兩項比賽都參加的學生？你能不能借助圖、表或其他方式，讓人一眼就看出結果呢？（讓學生體會兩個集合中的公共元素構成的交集）

生1：可以用連線的方式，如圖4。

圖4

生2：可以像圖5這樣。

圖5

師：同學們解決問題的能力真強，畫出了這么多不同的圖示。你更喜歡哪一幅？為什么？

（學生交流后，教師介紹韋恩圖的做法，如圖6）

圖6

【反思】當抽象的敘述文字被轉化為直觀的圖形時，學生對題目中的數量關系一目了然，自然會對畫圖的策略產生興趣，此時教師追問：“現在比較圖形和文字，哪種方式更好理解？為什么？”有如順水推舟，讓學生在圖形和文字兩者的比較中體會到了畫圖的價值。學生動手畫圖之后，通過觀察比較，將數與形的意義對應起來，結合舊知就能解決問題。最后，教師請學生說說“9+8-3表示什么”，讓學生再次數形對照，理解列式原理，從而深刻體會畫圖策略的價值和作用。

三、重視對學生運用解決問題策略的指導

【教學片段三】四年級下冊“數學廣角——雞兔同籠”。

教師出示例1：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數有8個頭，從下面數有26只腳。雞和兔各有幾只？”學生嘗試用不同方法解題。

方法一：畫圖法。（如圖7）

圖7

方法二：列表法。

方法三：假設法。

①假設籠子里全都是雞，就有8×2=16（只）腳。現在多出了26-16=10（只）腳，因為一只兔比一只雞多2只腳，所以就有10÷2=5（只）兔。因此，籠子里有3只雞，5只兔。

②假設籠子里全都是兔，就有4×8=32（只）腳。現在少了32-26=6（只）腳，因為一只雞有2只腳，所以就有6÷2=3（只）雞。因此，籠子里有3只雞，5只兔。

解決例1后，教師再出示古代的雞兔同籠問題：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數有35個頭，從下面數有94只腳。雞和兔各有幾只？”學生解答后，教師追問：“在這三種解法中，你們覺得用哪一種最簡便？”學生交流得出當只數較少時，用畫圖法計算最簡便；當只數較多時，用假設法計算最簡便。

【反思】隨著雞、兔只數的增多，學生就會發現使用畫圖法和列表法不如假設法簡便。在教學中，教師要重視對學生運用解決問題策略的指導，先通過畫圖策略將隱性的解決問題的策略顯性化，再選取最佳的策略。如在求解問題前，教師可以鼓勵學生思考需要運用哪些解決問題的策略；在解決問題的過程中，教師可以根據具體情況，適時使學生注意是否要調整解決問題的策略；在解決問題之后，教師要鼓勵學生反思自己所使用的策略，并組織交流。教師還可以總結一些解決問題的策略，讓學生收集使用這些策略的典型實例。

四、注重畫圖策略教學中數學思想的滲透

【教學片段四】三年級上冊“求一個數是另一個數的幾倍”。

圖8

師：（出示圖8）擦桌椅的人數到底是掃地的幾倍呢？你能用圖清楚地表示出來嗎？比一比，誰的圖讓我們一眼就能看出擦桌椅的人數是掃地的幾倍？

（學生嘗試畫圖）

師：同學們都能用圖來表示題目中的信息和問題，有的同學用小人表示、有的同學用○、△、×。等簡單的符號來表示，這些圖都畫出了數量以及數量之間的關系。通過圈一圈的方法同學們都明白了，要求擦桌椅的人數是掃地的幾倍，就是看12里面有幾個4。

師：會列算式計算嗎？說說你的想法。（指名列式，師板書：12÷4=3）

師：為什么用除法計算？（學生交流想法）

師：要求擦桌椅的人數是掃地的幾倍，就是求12里面有幾個4，因此用除法計算。要注意，“倍”表示兩個數量之間的關系，不是單位名稱，結果后面不用寫“倍”字。

【反思】這節課的教學目的是使學生經歷從圖文情境—圖示化—模型化（算式）的解題過程，通過多元表征，讓學生從多角度理解“求一個數是另一個數的幾倍”就是“求一個數里有幾個另一個數”。初步建立求倍數問題時用除法計算的數學模型，并幫助學生把解題經驗上升為數學方法。但在實際教學中，很多教師容易將大量時間花在畫圖的教學上，沒有在課堂上構建數學模型，滲透轉化的數學思想。借助圖畫只是過程狀態，并不是最終結果。解決問題要借助形，但不是依賴形，要讓“形”（圖形）變為“象”（表象），讓眼前的形變為腦中的形，從內在提高學生解決問題的能力。在運用畫圖策略解決問題的過程中，除了滲透轉化的思想方法外，還可以適時滲透假設、比較、分類、類比等思想方法，不僅可以增強學習的趣味性，調動學生學習的主動性，還可以發展學生思維的靈活性，有助于學生數學素養的全面提升。

總之，在小學數學教學中，教師應該讓學生養成一種用直觀的圖形語言刻畫和思考問題的習慣，有機滲透數學思想方法，培養學生的幾何直觀能力，切實提高學生的思維能力和解決問題的能力。