數(shù)學(xué)理性：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的至高訴求

江蘇南京市六合區(qū)仕金學(xué)校（211500） 鄭壽寶

數(shù)學(xué)作為人類文化的一部分，包含數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、語言、思想、精神等，特別是在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)發(fā)展的過程中，數(shù)學(xué)將其理性精神發(fā)揮得淋漓盡致，僅為人類的發(fā)展提供了理性的思維方式和工具。故，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，實(shí)則是對(duì)數(shù)學(xué)理性的追求。

數(shù)學(xué)理性一般體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一，客觀的、理智的研究立場(chǎng)。數(shù)學(xué)研究的對(duì)象并非客觀世界中真實(shí)存在的，而是人類抽象思維的產(chǎn)物，但是在研究中，我們應(yīng)當(dāng)采取純客觀的立場(chǎng)，通過嚴(yán)格的邏輯分析去揭示其內(nèi)在的性質(zhì)。第二，精確的、定量的思維方式。數(shù)學(xué)理性的“數(shù)學(xué)味”就體現(xiàn)在它的“精確”“定量”上，不應(yīng)含糊，這既是科學(xué)研究的基本方法，也是科學(xué)研究的基本目標(biāo)。第三，批判的、開放的理性精神。批判的精神讓我們能時(shí)刻提醒自己不要淪為權(quán)威主義者，而要用可靠的論證來進(jìn)行判斷。

明確“數(shù)學(xué)理性”范疇后，要做的就是讓學(xué)習(xí)者具備“數(shù)學(xué)理性”。基于理性的客觀性、學(xué)習(xí)者的主觀性，具備“數(shù)學(xué)理性”的要旨可概括為“客觀”和“主觀”，即”研究數(shù)學(xué)的理性“和”理性的研究態(tài)度“。

一、引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)

“抽象”是數(shù)學(xué)的特性，“抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)”則是數(shù)學(xué)理性所在。

如教學(xué)蘇教版教材三年級(jí)上冊(cè)“倍的認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生通過條件“藍(lán)花有2朵，黃花有6朵”就能感受到“黃花的朵數(shù)是藍(lán)花的3倍”，也能通過“藍(lán)花有2朵，紅花有8朵”感受到“紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的4倍”等倍數(shù)關(guān)系，至此，對(duì)于學(xué)生來說，“倍”還只是一個(gè)表象認(rèn)識(shí)，而對(duì)于為什么“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”還不清楚，學(xué)生的認(rèn)知上缺一個(gè)“倍”的抽象過程。“擺一擺、畫一畫”則給學(xué)生抽象出“倍”的含義提供了途徑。擺：擺出2朵藍(lán)花、6朵黃花，為了能看出黃花的朵數(shù)是藍(lán)花的3倍，擺的同時(shí)還需體現(xiàn)出“份數(shù)對(duì)應(yīng)”，如圖1。

圖1

圖2

把圈中的花拿走后（如圖2），從僅有兩種數(shù)量，到對(duì)應(yīng)份數(shù)，再到留下的“圈”，這是逐步抽象的過程，也是逐步厘清“倍”的本質(zhì)的過程。“畫一畫”也是抽象出“倍”本質(zhì)的途徑，具體思維過程亦是從表象到本質(zhì)，這里就不展開說明了。

以上課例反映了數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是停留在表面而是要抽象出本質(zhì)，這正是數(shù)學(xué)理性使然。

二、讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論形成的過程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)包含對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論、公式等結(jié)果的認(rèn)知，更需經(jīng)歷基本的活動(dòng)過程，積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)，“還原數(shù)學(xué)結(jié)論形成的過程”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理性思考，即明白“所以然”。

如教學(xué)蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)“圓面積計(jì)算方法”時(shí)，“圓面積等于半徑的平方乘圓周率”這個(gè)計(jì)算方法并不復(fù)雜，學(xué)生都能夠運(yùn)用公式解決問題。這節(jié)課教學(xué)的核心在哪里？是用它來解決問題，還是探索出公式形成的過程？顯然后者是每一個(gè)教師的用心所在。教師可以“怎樣計(jì)算出圓這種曲線圍成的圖形面積呢？”為切入點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生可能會(huì)受到之前研究圖形面積方法的影響選擇用數(shù)方格的方式開展研究，但一定會(huì)發(fā)現(xiàn)“數(shù)方格”的方式所得到的面積不準(zhǔn)確，因?yàn)槭乔€圍成的圖形，將“曲線圖形”轉(zhuǎn)換成“直線圖形”是此時(shí)研究面積的內(nèi)在需要，至此，將圓轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形繼續(xù)研究，圓的面積計(jì)算方法也應(yīng)運(yùn)而生。這個(gè)探索過程給了學(xué)生一個(gè)“明白圓的面積為什么這樣算”的答案，也是一次學(xué)生自我還原知識(shí)結(jié)論形成的過程，即知道了“所以然”。其實(shí)“還原數(shù)學(xué)結(jié)論形成的過程”不僅在面積計(jì)算的教學(xué)中有所體現(xiàn)，乘法口訣的教學(xué)、單位進(jìn)率的學(xué)習(xí)、分?jǐn)?shù)的理解等無不重視“所以然”，明白了數(shù)學(xué)中的“所以然”，才能明晰數(shù)學(xué)的理性。

三、讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)的邏輯性

能體悟數(shù)學(xué)的邏輯性是理解數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，也是數(shù)學(xué)理性的彰顯。如“商不變的性質(zhì)”的教學(xué)中，學(xué)生通過下表中對(duì)除法算式的計(jì)算、觀察、交流、推理、發(fā)現(xiàn)等過程，就能從除法算式的共同點(diǎn)推出一般性結(jié)論：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)都乘或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），商不變。

整個(gè)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)歸納、推理的過程，是從一般性中尋找共性的過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不僅形成了結(jié)論，更體悟了數(shù)學(xué)的邏輯性。

被除數(shù) 除數(shù) 除法算式 商100 20 100÷20 5 100×2 20×2 200÷40 100×4 20×4 100÷2 20÷2 100÷4 20÷4

又如，根據(jù)平行四邊形“兩組對(duì)邊分別平行且相等，對(duì)角相等”的特點(diǎn)，能推出“只有一組對(duì)邊平行的四邊形不是平行四邊形”“有一組對(duì)邊不相等的四邊形不是平行四邊形”，也能做出“因長(zhǎng)方形對(duì)邊平行且相等、四角相等，所以屬于平行四邊形”等判斷。

四、讓學(xué)生體悟理性的研究態(tài)度

1.了然“是什么”

“理性”的態(tài)度首先是了然“是什么”。研究數(shù)學(xué)的任何一種元素，都需從其“是什么”開始。如學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，學(xué)生在操作、猜測(cè)、合作、交流后基本能探索出“對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等”等平行四邊形的獨(dú)有特質(zhì)；又如“3x 和 33”，“3x”表示的是“3 乘 x”，而“33”則是3個(gè)十和3個(gè)一的和。這些即是研究的第一個(gè)層面——了然“是什么”，是理性的開始。

2.追尋“為什么”

“理性”的態(tài)度其次是追尋“為什么”。蘋果掉在地上，我們會(huì)習(xí)以為常，而蘋果砸在了牛頓頭上，他卻追問“為什么蘋果會(huì)往地面掉落而不是往空中飛”，萬有引力定律據(jù)此被他發(fā)現(xiàn)，這是理性的研究態(tài)度帶來的發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，“理性地追尋為什么”是下一個(gè)發(fā)現(xiàn)的開始，數(shù)學(xué)皇冠上的明珠“哥德巴赫猜想”的內(nèi)容都已經(jīng)十分清楚了，當(dāng)屬“是什么”，但數(shù)學(xué)研究者并未停止探索，仍苦苦去追尋“為什么”，正因?yàn)橛羞@樣理性的態(tài)度，陳景潤(rùn)方摘得桂冠，數(shù)學(xué)才能得到一次次的發(fā)展。

克萊因說：“數(shù)學(xué)是一種理性的精神，使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度。”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)什么，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的訴求在哪里，數(shù)學(xué)理性當(dāng)屬我們思考并實(shí)踐的方向。數(shù)學(xué)理性帶給學(xué)生的不僅僅是純粹的數(shù)學(xué)知識(shí)，更是一種精神，能夠引導(dǎo)學(xué)生在多維學(xué)科中深度學(xué)習(xí)。

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