直線與圓錐曲線的位置關系的常見類型及解題策略

■河南省溫縣第一高級中學 馬惠云

高考解析幾何解答題第二問大多考查直線與圓錐曲線的位置關系,主要問題是求范圍、方程、定值或最值等。其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問題在思想上要重視數形結合思想、方程思想、函數思想、化歸思想、分類討論思想的應用。方法上其常規思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯立,消元、化簡,然后應用根與系數的關系建立方程,從而將幾何問題轉化為代數問題,基本的運算技巧是設而不求,整體代入。但是也要注意運用平面圖形的幾何性質發現某些量的值或數量關系,從而達到簡化運算的目的。

例1 設拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點。若|A F|=3|B F|,則l的方程為( )。

圖1

解法一:如圖1所示,作出拋物線的準線l1及點A,B到準線的垂線段A A1,B B1,并設直線l交準線于點M。設|B F|=m,由拋物線的定義可知|B B1|=m,|A A1|=|A F|=3m。由B B1∥,所以|MB|=2m,則|MA|=6m。故∠AMA1=3 0°,得∠A F x=∠MA A1=6 0°,結合選項知C項正確。

例2 已知曲線Γ上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2。

(1)求曲線Γ的方程。

(2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A。直線y=3分別與直線l及y軸交于點M,N。以MN為直徑作圓C,過點A作圓C的切線,切點為B,如圖2所示。試探究:當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時,線段A B的長度是否發生變化?證明你的結論。

圖2

解析:(1)解法一:設S(x,y)為曲線Γ上任意一點,依題意,點S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等,所以曲線Γ是以點F(0,1)為焦點,直線y=-1為準線的拋物線,所以曲線Γ的方程為x2=4y。

(2)當點P在曲線Γ上運動時,線段A B的長度不變。證明如下:

設P(x0,y0)(x0≠0),則

方法小結:(1)求拋物線的標準方程時一般要用待定系數法求p的值,但首先要判斷拋物線是否為標準方程,若是標準方程,則要由焦點位置(或開口方向)判斷是哪一種標準方程。

(2)注意應用拋物線定義中的距離相等進行轉化,從而解決問題。

(3)直線與拋物線有一個交點,并不表明直線與拋物線相切,因為當直線與對稱軸平行(或重合)時,直線與拋物線也只有一個交點。